INTEGRALES DÉFINIES MULTIPLES. APPLICATIONS

GJÊOMETRIQUES ET PHYSIQUES.

% i^^. Intégrales doubles. — Application à la cubature des volumes termines par des surfaces courbes quelconques.

351. Soit y (^,^) une fonction de deux variables indépendantes x^^ laquelle est supposée conserver toujours des valeurs finies entre les limites Xoy ix:; y^^y. On pourra prendre d'abord la somme des valeurs infiniment petites de f {xy j) dy entre les limites y^^ y; et cette somme, ou l'intégrale définie

sera une certaine fonction de x. Si l'on prend ensuite la somme des valeurs infiniment petites de

entre les limites x^y x , on aura V intégrale définie double

ou, en supprimant les parenthèses pour plus de simplicité dans l'écriture,

/ ^ / ^A^xrYxdx-, {a)

et cette somme est manifestement celle de toutes les valeurs infiniment petites du second ordre que peut prendre

88 LIVRE V. CHAPITRE Vf.

la fonction

quand on y fait varier x par intervalles infiniment petits dx^y par intervalles infiniment petits dy^ entre les limites x^^ x; y^^y.

En d'autres termes, si Ton divise l'intervalle x — x^ en m parties égales SX^ l'intervalle y-^y^ en n parties égales tky; que l'on prenne la somme de toutes les valeurs

de la fonction

f{x^)by^ (*)

en combinant toutes les valeurs de x comprises dans la

série

avec toutes les valeurs de^ comprises dans cette autre

série

^o, Jo + t^y^y. + aAj, . . .7. + (« i) A^; à mesure que l'on prendra pour m ^t n des nombres plus grands^ ou pour les intervalles Aj;, ^y des fractions plus petites des intervalles primitifs, la somme obtenue convergera vers une certaine limite, qui est prëcisémrat la valeur de la double intégrale (a).

Il suit de là, que l'ordre des intégrations n'a aucune influence sur la valeur de l'intégrale double, et qu'on peut écrire indifféremment

/ * / ^A^xrWdx, ou r j ''j{x,x)dxdy.

352. Si l'on construit la surface dont :i;, ^ et ^ = y*(^,^) désignent les coordonnées rectangulaires, la quantité {U) mesurera le volume d'un parallélépipède rectangle qui aurait pour base A^ ^y^ et pour hauteur l'ordonnée z. Les intersections des plans latéraux de ce parallélépipède avec la surface circonscrivent un quadrilatère courbe dont la projection en xy est le rectangle

INTEGRALES DOUBLES. GUBATURES. 89

^ ^. Le Tolume compris entre ces plans latéraux, la base du parallélépipède [b) et la surface z^=:f{x^y)^ ne diffère du volume du parallélépipède (é) que par un certain volume (p) moindre que Ax ^y {tkz)^ (Jiz) étant la différence des valeurs extrêmes que prend l'ordonnée z pour les points de la surface qui se projettent en :r;^ dans l'intérieur ou sur le contour du rectangle Aj; A^. Quand la fonction z n'éprouve pas de solution de continuité du premier ordre, (Jiz) est une quantité du même ordre de grandeur que âJCy ^y : donc, si Aj;, Aj^ sont des quantités très-petites du premier ordre, auquel cas le volume du parallélépipède Çb) est une quantité très-petite du second ordre, le volume (p) se réduit à une quantité très-petite du troisième ordre. Donc l'intégrale (a), qui est la limite vers laquelle converge la somme des quantités (é) par le décroissement indéfini des dimensions Aj?, A^, mesure le volume limité dans un sens par le plan ^, à lopposite par la surface courbe, et latéralement par quatre plans, dont deux sont menés parallèlement au plan xz aux distances j-o^ y* Le quotient

exprime encore la moyenne de toutes les valeurs, en nombre infini, que prend (pour les points du plan œ/ compris dans l'étendue du rectangle déterminé par l'intersection de ce plan avec les quatre plans perpendiculaires que l'on vient de définir) la hauteur z, ou plus généralement la fonction /'(^,^) qui peut avoir une signification géométrique ou physique quelconque [33].

353. Quand on aura efFectué les deux intégrations indiquées par l'expression (a), le résultat obtenu sera une fonction des limites supérieures Xy jr que nous désignerons par F(;r,^); de sorte qu'on a, en vertu de la définition,

Si Ton pouvait trouver, par un moyen quelconque, une fonction F (^, y) qui satisfît à l'équation (c), la fonction f étant donnée, toute autre fonction de la forme

FC^^r) + ?^ + Ijj (^i)

où T, ^ désignent des fonctions absolument arbitraires, y satisferait pareillement. En effet, quand on prend la dérivée partielle de la fonction (c,) par rapport à Xj on fait disparaître la fonction +^, et ensuite^ lorsqu'on prend la dérivée partielle par rapport à j* de la fonction

dx dx '

on fait disparaître la fonction -4 — Le résultat serait le * dx

même, si l'on opérait les deux diiTérentiations dans un

ordre inverse.

Pour trouver une fonction F(x,^) qui satisfasse à

l'équation (c), il suffit de prendre d'abord l'intégrale

indéfinie

en regardant x comme une constante, et après avoir multiplié par dx le résultat obtenu, de prendre encore l'intégrale indéfinie de cette fonction différentielle, en traitant dans la seconde intégration x comme variable et