DE LA. YABIATION DES INTÉGRALES DOUBLES
Posons dy= Xdx H- Ydf H- Zdz -1- Pdp + Qdq -f- Txdr -I- &/5 +Trfr , ce qui donne dans l'hypothèse des limites constantes oîi l'on peut [37/1] considérer comme nulles d'elles-mêmes les variations àx el ^,
eu sorte que l'équation du problème devient
[Z8z + njJ + Q^î + R^r + S^s + '£^t]dxdx=:^o. (i4)
Il faut considérer à parties termes en 8p^ ^^,etc., afin de leur faire subir les transformations qui sont de l'essence du calcul des variations.
On a
jjnp.dxdy^Jfn^^^.^^^
Dans cette équation l'intégrale double
y dxdf»8z
est censée prise dans les mêmes limites que l'intégrale double proposée : quant à l'intégrale simple/ P^>^^^, qui est amenée par une première intégration relative à la variable a:^ il faut, pour en fixer la valeur, concevoir qu'après cette première intégration opérée, on a substitué successivement pour x les valeurs ^^J'j '^0/ [^^4]» et retranché le second résultat du premier, ce que nous indiquons par la notation abrégée
la seconde intégration relative à j devant d'ailleurs être prise entre les limites 7* = Oçr, =zjr^ ^j = Oç'o==/o- En conséquence nous écrirons
[^Prf^.^z]
On trouverait de la même manière
la fonction ^ désignant l'inverse de <{;, ainsi qu'on Ta expliqué dans le n° cité.
Il vieiit ensuite
£n tenant compte des limites des intégrales, nous écrirons j suivant la notation employée ci-dessus ,
\^oX
■jri^'^^y-^^-
Le même calcul donnera
Enfin, si nous considérons le terme affecté de ^Sj nous obtiendrons par un calcul analogue
On a d'ailleurs
d'où / ' ^
DE LA VARIATION DES INTl^GRALES DOUBLES. 151
389. Si ron réunit ces divers résultats, on mettra Féquation (i4) sous la forme
N:;]r>ir[(-s-l>-H''i*:
Le coefficient de 8z^ sous les signes de double intégration, doit être nul pour toutes les valeurs de x^jy comprises entre les limites de l'intégrale double, ce qui donne l'équation aux différences partielles entre ^,^, z,
Z— — — ^ 115: Él^ d^ /x
dx dy dx* dxdy dy^
Chacune des intégrales simples qui entrent dans Féquation (A) s'étend à tous les éléments de la courbe mjijnji^ [fig. 8o) iqui trace sur le plan xj les limites de l'intégrale double. Donc, pour tous les systèmes de valeurs de x^y^ qui correspondent à des points pris sur cette courbe, les variations ^zj S^, ^q doivent satisfaire aux équations
Enfin il faudra qu'on ait
ou bien
(S^z)^j,ç^,^ désignant ce que devient S^3 pour les valeurs .x'^rjr^^nrcp^^r^, et ainsi de suite.
3U(). On peut se représenter la variable z comme l'ordonnée d'une surface. Si l'intersection de cette surface avec le cylindre (]ui se projette en .^j suivant la ligne injijnji^ était une courbe donnée de position dans Tespace, la variation ^z serait nulle pour tous les poiuts qui appartiennent à cette ligne d'intersection : par suite rc(}uation (c) serait satisfaite d'elle-même, et les équations {b) se réduiraient à
Si en outre la nature du problème déterminait la direction du plan tangent «i la surface, tout le long de la ligne d'intersection, les variations 5/?, ^q s'évanouiraient, et par suite les équations (é) seraient satisfaites d'ellesmêmes.
Lorsque la ligne d'intersection et la direction du plan tangent le long de cette ligne ne sont point déterminées par les conditions du problème, il faut, pour satisfaire aux é(|uations ( /i ) , égaler séparément à zéro les coefiîcients do oz^S/jj^rj, c'est-à-dire poser
et ces dernières équalioiis doivent subsister pour tous les points de la ligne d'intersection dont la projection en.ij-est la courbe /ujijnji^.
391. Dans le but de montrer une application de cette tliéorie,su])posons que l'on demande la surface assujettie à passer par un contour donné, et dont l'aire, dans la portion circonscrite par ce contour, est un ndnimum* Cette surface ne serait plane que si la ligne de contour par laquelle elle doit passer était comprise dans un
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plan. L'intégrale double qu'il s'agit de rendre un miniimm est [3 69]
JoiJime les fonctions R, S, T sont nulles, et que la vaiation 8z s'évanouit aux limites, à cause de l'invariailité de la ligne de contour , les équations [ù) et (c) se rouvent satisfaites : il suffit de déterminer l'orrlounée zen )nction de :v,jr, de manière à satisfaire à l'cquation (a) ui devient
di ^ ^ — ""'
»u en développant les calculs ,
(i + y>y ^pqs -h (i +/> ~ o, (rf)
k[uation ['^81] caractéristique des surfaces pour les- :}uelies, en tous leurs points , les deux rayons des courbures principales sont égaux en grandeur et opposés en direction. La surface cherchée doit en outre être assujettie à passer par la ligne donnée, qui circonscrit l'aire mmitnum^ condition par laquelle il faudrait déterminer les fonctions arbitraires qui entreraient dans l'intégrale de l'équation (r/).
La surface décrite par la révolution de la chaînette
autour de l'axe des .r, est (parmi les surfaces de révolution assujetties à passer par deux cercles parallMes donnés) celle dont l'aire a la valeur minimum [384]. I^es deux rayons des courbures principales de cette surface de révolution sont : 1^ le rayon de courbure de la chaînette méridienne; 2^ la portion de la normale comprise entre la courbe méridienne et l'axe de révolution [^85] ; et en
154 LIVRE V. CHiLPITRE VIII.
effet Ton a trouvé [384] ^^^ ^^ deux lignes sont égales et opposées de direction.
392. Quand on n'admet pas que les limites de l'intégrale double soient fixées invariablement par un contour tracé sur le plan a^j on ne peut plus supposer nulles les variations ^^ , 8/^ du moins pour les points situés sur les limites de l'intégrale [37^] . On a dans ce cas
^Jjydxdy ^ffdySldx +ffdxSUr +Jjf^^dxdr z=zjrdySdlx +ffdySdty +ffVidxdy
=fnxdy +/Y8yda: +ff{8Y- £ ^^ - ^ *r>^^/ •
Chaque intégrale simple est censée prise le long de la ligne de contour qui limite l'intégrale double , selon les explications données précédemment.
D'après un calcul analogue à celui du n" SyS , si l'on pose pour abréger
et que l'on conserve aux lettres Z,P, Q,R,S, T leur signification , en omettant , pour plus de simplicité , les termes d'un ordre supérieur au second, on aura
dx «J dx dy
|.R?^^.S— +T— • dx" dxdy dy^ '
puis
-/[(^-S-|>-«S]-'r rrf„ de do cfK tfs dns
DE LA. VARTATIOD DES Iin':éGRÀL£S DOUBLES. 155
11 faudra donc , pour l'évanouissement de la variation Je l'intégrale double :
1° Que l'équation («), aux différences partielles entre les variables x^y^z^ subsiste pour toutes les. valeurs de r,^ comprises entre les limites de cette intégrale;
a** Que pour les valeurs de ^ , ^ correspondant aux points situés sur la ligne de contour qui limite l'intégrale double, on ait les deux équations
ou
Celles-ci correspondent aux équations {h) du n° 389, et se décomposeront de diverses manières , suivant les relations que la nature du problème établira entre les variations ^x^ ^y^^z^ ^p y^q^ pour les points situés sur la ligne de contour. Si, par exemple , ces cinq variations sont indépendantes et arbitraires, les deux équations se décomposeront en cinq autres ,
V n rr ^ d^ dS ^ dT dS
3** Enfin il faudra que l'équation S8u = o soit satisfaite, par l'évanouissement de S ou de 8u , aux points extrêmes de la digne de contour, comme cela a été indiqué pour le cas oîi la ligne de contour est réputée invariable.
