CHAPITRE X

DES INTEGRALES DlÊFlNIES PRISES ENTRE DES LIMITES SPECIALES. DIVERS EXEMPLES DE DÉTERMINATION

d'intégrales DÉFINIES.

402. Lorsque l'intégrale indéfinie y^rdtr ne peut pas s'exprimer algébriquement ou par les fonctions transcendantes dont on a des tables y l'intégrale définie

fxdx (i)

ne peut en général être calculée qu'approximativement, par les séries ou par le procédé de sommation arithmétique dont il a été question plusieurs fois [32o] : mais dans ce cas même il arrive souvent que , pour certaines fleurs spéciales des limites, appropriées à la forme de la fonction y^ telles que

o, zboD, itiy dzTT, etc.,

la valeur de l'intégrale (i) s'obtient exactement et directement , sans qu'on ait à passer par l'intégrale indéfinie. Il arrive aussi que l'intégrale prise entre ces limites spéciales , lors même qu'on l'obtient par une intégration indéfinie, prend une expression beaucoup plus simple, DU jouit de propriétés remarquables qui n'appartiennent plus à la même intégrale, prise entre des limites quelconques. On pourrait attribuer la dénomination (tintée craies définies spéciales à celles dont on vient d'indiquer sommairement les caractères distinctifs : le calcul

et ia théorie de ces intégrales forment maintenant une branche très-importante de l'analyse.

Pour éclaircir ce sujet^ supposons que l'on demande la valeur de l'intégrale définie

* sin* xdx :

on remarquera que cette valeur est évidemment la même que celle de l'intégrale

^co^^xdx,

puisque, dans l'intervalle de o à ^tQj sin x et cos x passent suivant un ordre direct ou inverse par la même série de valeurs. Donc

*sin"^cîr=- / ^U\tî'x + cos^ x\ixz=i- 1 *dx:=z-* o Vo ^ Vo 4

A la vérité on obtiendrait le même résultat, sans recourir à la considération que nous venons d'employer , en effectuant l'intégration indéfinie , qui est possible dans ce cas, et qui donne

ysin* X dx=: ^ X "^ ^s\n ^x + const.

Aussi notre but a-t-il été seulement de montrer comment des rapports convenables , entre les limites de l'intégrale et la forme de la fonction , peuvent conduire à l'évaluation de certaines intégrales définies , sans qu'on ait besoin de passer par les intégrales indéfinies. 403. Soit encore l'intégrale

c^dx :

si nous la multiplions par une autre intégrale de même forme, où nous écrirons seulement ^ au lieu de ^, le

UrrJ^GRALES DÉFINIES SPÉCIALES. 171

produit des deux intégrales simples équivaudra à l'intégrale double

e-^'^-^y^Uydx. (2)

En effet, lorsque les limites des deux intégrales simples

ffxdx, ffydx,

ne dépendent point , pour la première de^ , pour la seconde de X , leur produit est égal à la somme qu'on obtient en multipliant chaque élément de la première par chaque élément de la seconde, c'est-à-dire à l'intégrale

double

fffxAy.dydx^

pour laquelle les limites, par rapport à chaque variable, sont les mêmes que celles des intégrales simples.

Posons maintenant ^=^^, / désignant une nouvelle variable, d'où [357] dx^=ixdt\\e!& limites de t seront encore o , ôo , et l'intégrale (a) deviendra

/ e-*^^^'^^)xdx .£&=-/ — — :; = -T w. Donc

et par conséquent

résultat d'une grande importance et d'une application fréquente. L'artifice de calcul qui nous a donné la valeur de l'intégrale (a), oe réussit que parce que les limites sont o et 00 : entre d'autres limites l'intégrale feF^dx constitue une fonction irréductible aux traiiscendantes usuelles, ou une transcendante qui doit avoir sa table propre , et dont nous avons donné plusieurs expressions en séries [317].

On conclut immédiatement de Féquation (a) et en remplaçant x par .r^ô,

^ e-^dx=^''

00 Vl

Différentions i fois de suite les deux membres de l'équation par rapport à 0 , suivant la règle du n"* 366 , et faisons ensuite 0=1 :il vient

On a d'ailleurs , pour toutes les valeurs entières et positives de /,

/•oo

«-**a:»*+'«te=o,

puisque l'intégrale est composée d'éléments qui se détruisent deux à deux.

On doit remarquer l'artifice de calcul qui consiste à tirer de la valeur connue d'une intégrale définie , celle d'une autre intégrale définie prise entre les mêmes limites, et que l'on fait dériver de la première, en différentiant ou en intégrant celle-ci sous le signe^/'[366] par rapport à un certain paramètre. C'est ainsi qu'eu intégrant par rapport à m^ entre les limites (it., v, les deux termes de l'équation