O FIS

on trouve

Au contraire , si l'on différentie i fois de suite, par rap' port à m^ l'équation

IlfTliGRALES DJFIlflES. SPÉCIALES. 173

/^^ dx %

Jo x^' + m aV/m'

il viendra

(Toù

y**^ ^ I.3.5.. .(ai— i) TT o (^* + ^>+' /wVm* a. 4. 6... ai 'a'

404. Les géomètres ont calculé par des méthodes trèsvariées les valeurs d'un grand nombre d'intégrales définies : nous donnerons comme exemples les formules d'une démonstration plus simple ou d'un usage plus fréquent, en commençant par les cas où la valeur de Fintégrale définie se tire immédiatement de l'expression trouvée pour l'intégrale indéfinie.

On tire de la formule (|x) du n"* Sog

/. „ , sini*""'a:cosa7 f* — i /* . ,

sin»*j«fac=3— . H^ / sm»*-*jrcir,

et de la formule (v)

/, sin X cos*""* X V — I /* ,

cos';rcM:= 1 1 cos''^*xax^ V V 7

foi

ou

1 *sin«*a?rfa?=^- / * sm^^^xdx.

Jo ^ Jo

^QOs'*xdx=^ 1 *cos*-**a?fltr.

Comme les mêmes formules de réduction s'appliquent aux intégrales qui entrent dans les seconds membres, on a , en désignant par %i un nombre pair quelconque ,

y*â . , fl . 1.3. 5... (ai — i) % ...

o J o 2.4.6. ,.ai a' ^ ^

et en désignant par a/-j-i un nombre impair quelconque,

y* sin*'+« xdx = I ' cos»*+' xcLv = ^ ^ V '■ x* W

o Jo 3.5.7. ..(2« + l)

Or, il est à remarquer que Ton peut toujours prendre le nombre / assez grand pour que les valeurs des intégrales

psm^^-^^xdx, psm^^xdx (3]

diffèrent d'aussi peu qu'on voudra des intégrales

j^ sin*'+" ar«ir, / ' svn}*xdxj (4)

e désignant un nombre positif susceptible de décroître au-dessous de toute limite. En effet l'on a

/ * s\n^xdx<l 6jsin*r ej,

et le second membre de l'inégalité peut évid^nment, quelque petit que soit e, tomber au-dessous de toute grandeur donnée , pour une valeur convenable de l'exposant k.

Maintenant l'on peut prendre e assez petit pour que les intégrales (4) différent chacune d'aussi peu qu'on voudra de l'intégrale

dx = e,

et pour que leur rapport diffère d'aussi peu qu'on voudra de l'unité : donc, pour des valeurs suffisamment grandes du nombre ^ , le rapport des intégrales (3) différera de l'unité d'aussi peu qu'on voudra.

On en conclut que le rapport des deux fractions formant les derniers membres des équations [b) et (c) tend

INTEGRALES DÉFmiES SPECIALES. 175

Indéfiuiment vers l'unité, pour des valeurs indéfiniment croissante^ de /. Donc

ir a.2. 4*4* 6.6. 8.8,«.

Cette expression du nombre tt, en produit continu d'une infinité de facteurs , est due à Wallis : on la retrouve de diverses manières.