CHAPITRE PREMIER
INTECRAlTION D£S FONCTIOJVS ALGEBRIQUES.
294. Nous avons indiqué dans le premier livre [cbap. III et IV] les principes de la théorie des quadratures et de l'intégration des fonctions d'une seule variable : principes dont la connaissance nous était dès lors utile, tant pour nous former une idée générale de la nature et des applications de l'analyse infinitésimale, que pour l'éclaircissement de certains points de doctrine que l'on a coutume de rattacher au calcul différentiel. Maintenant nous entrons dans le calcul intégral proprement dît; et il s'agit d'abord d'étudier les procédés d'après lesquels, étant donnée une fonction différentielle d'une seule 'variable, on trouve son intégrale, quand on peut exprimer
analytiquement cette intégrale sous forme finie, en n'employant que les fonctions al géb riquesou les fonctions transcendantes déjà connues.
Lorsque, pour intégrer une îoncûonfxdx^ on la décompose en plusieurs autres dont on connaît les intégrales , ce procédé s'appelle intégration par décomposition. Exemple :
y'^ dx f{sïr^x + co^^x)dx Pdx C dx
Àv^xco^x j sin*j:cos'^ J co^x j^\v?x
= tan g X — cot X + consU Si l'on pose
^ := f ^ , dx :=: (f'tdty
la fonction ^^^ deviendrai une fonction différentielle
de ^, de la forme
f{<ft).<f'tde,
£n admettant que l'on sache intégrer cette dernière fonction, il suffira de substituer pour ty après l'intégration, sa valeur en a:, et Ton aura l'intégrale de la proposée» Ce procédé s'appelle intégration par substitution.
Ainsi, pour avoir l'intégrale
xdx
X + a on posera
x'=zt» d'où xdx zr^- dt;
l'intégrale proposée deviendra
- / ^ = - log (f + a') 4- const. = - log (ar* +a')+ const.
Ces deux artifices de calcul, joints à celui de Yinté^ gration par parties [55], sont d'un usage continuel, et la pratique apprend à les combiner de manière à arriver par la voie la plu$ courte au résultat cherché : on en
verra de nombrèira exemple» dans ce qui doit suivre.
§ i^^. Fonctions rationnelles.
295. Une fonction différentielle de Xy algébrique,ratiônnelle et entière, peut toujours se décomposer en monômes de la forme a x'^cLcy et par conséquent peut toujours s'intégrer algébriquement, paisqu'on a^ pur le renversement des règles de la diflSérentiation ,
af^da: zz: h const. (a)
IW+ I
Quelquefois cette opération s'abrëj^e par des substitutions. Soit, par exemple,
djr .= (ax + by^ dx:
on posera fla:-|-é=:r, et il viendra
jr = - /rflfe= ■ , + goity^ssz^ -^ + const. (i)
Les formules {a) et (t) subsktent pour des valeurs de m positives ou négatives , entières ou frajotionnaires^ ou même irrationnelles. Elles ne tombent en défaut que pour la valeur m£=~^ t , qui rend infini le teitne
et en effet l'on sait que dans ce cas
dx
— = log X + consi, \V)
£n passant aux intégrales définies, on a
af^dx = ' ; (c\
et quand on fait dans le second membre è& l'équatioa précédente mz=z — i , il se présente sous la forme ^ , ce qui nous montre que le second membre de l'équation (a) , dans la même hypothèse, n'est pas infini, mais indé-
terminé, à cause de la constante arbitraire qu'il renferme et qui doit être supposée infinie, en même temps que le terme variable .
On a
-^^T — ^ ==:ar*«+* log x;
donc, si l'on applique au second membre dé l'équation (c) la règle ordinaire pour la détermination des valeurs qui se présentent sous la forme indéterminée^, on trouvera
— = logx — logx^,
ainsi qu'on le conclurait directement de la formule (^). Soit
fx désignant une fonction algébrique entière, et m un nombre entier positif : on posera, comme ci-dessus, ojc-^-b^zt; et après qu'on aura substitué pour jr, dans fx, sa valeur en t; et effectué les développements des puissances , la différentielle d/ sera la somme de termes de la forme
N désignant un coefficient constant; aii moyen de quoi la détermination de l'intégrale^ sera ramenée à l'intégration d'une suite de différentielles monômes.
296. En général, une fonction différentielle algébrique, rationnelle et fractionnaire, est formée d'une suite de termes de la forme «
INTJÎGHATION 0£S FONCTIONS ALGÉBHIQUES. 5
fx, ¥x désigoant deux polynômes entiers en x , et l'on peut toujours admettre que le numérateur ^i: est d'un degré inférieur à celui de Yx : autrement on effectuerait la division algébrique, et l'on transformerait la fonction proposée en
ix désignant une fonction entière etf^x une fonction de degré inférieur à celui de Fo: ; en sorte que l'intégration de la fonction (d) serait ramenée à celle de la fonction
^ dx
Ceci admis, supposons que l'éqoation algébrique
Far=o (F)
n'ait point de racines multiples, et soient
^> «o «^•.•,a±Pv/i:7, a^ip,»/", etc., ses racines , réelles et imaginaires : on pourra poser
Or, pn a (les coefficients A, , M, , N/dësignant des constantes )
L'dx
* —• Aj log {x — a,)+const. ,
tJ X'
X Ui
M,«/+N, dx
lXm,x^^i)dxi fMi{x—oL.)dx l P, ^ p.
en sorte que l'on obtient l'intégrale de tous les termes dans lesquels se trouve décomposée la^fonction (d) , et par conséquent l'intégrale de cette fonction même. On déterminerait les coefficients A/, M,, N| par les
règles ordinaires de l'algèbre, en faisant disparaître les dénominateurs dans l'équation (a) qui doit être identique j et en égalant séparément à zéro , après le développement, les facteurs qui multiplient chaque pubsance de X. On obtiendrait ainsi autant d'équations du premier degré entre les inconnues qu'il y a d'inconnues à déterminer : mais on peut aussi les calculer directement par le procédé suivant.
On a
yà? A, fa:.(x — a,)
Fx X — ai Fjs '
fr désignant une fonction entière de a: que l'on obtient par la réduction au même dénominateur de toutes les
fractions, autres que^^ — - — , qui entrent dans le second membre de l'équation (a). De là on tire
fa:= ^i ■.-, — hforiar — a,).
Lorsqu'on fait dans cette dernière équation a:=a,, le terme £r. (a: — a^) s'en va, la fraction se présente
sous la formel, et ça vraie valeur est Po,, quantité finie et différente de zéro, puisque, par hypothèse, ai est une racine simple de Téquation (F) : donc on a
A A Il viendrait de même
d» % ou
M.(«,.±p.i/=i)+N,=±:.p,V-..^^3j, (3) équatioD qui se décompose eu deux autres, à cause du
INTJ^GRATfON DES FONCTIONS ALGEBRIQUES. 7
radical V^^, et qui suffit pour déterminer les coefficients Mj, Nj.
297. Si l'équation (F) a r racines réelles égales à a , on ne peut plus poser
fx A' A" AW A.
*%-= 1 h... H 1 î h etc.;
rx X — a X — a x — a x — a,
car, à cause de l'indétermination des coefficients A', A''
etc. , cette équation ne différerait pas de
fx A ^ A.
„ — . - + etc.,
Yx X — a or— «j
et Ton n'aurait plus le nombre de coefficients nécessaire
pour établir l'identité ; mais on fera
fx k' A'^ AC'-O A(^) A,
Yx~x^a'^ {x^af^'^'^^x^ay--'^ {x-^ay'^ x^;^^^''
So\x
/ar= A(OF,:r-h AC»-- •) (j.a)F,:r+...+ A'C^r — ay-'F.jf
+ M{x—dyY,x+ [x — dfix, (4)
en désignant, pour abréger, par ^^x le polynôme entier
et par îx la fonction entière qui est le numérateur de la somme des fractions
S 1 h etc.,^^
après qu'on les a réduites au même dénominateur.
On soumet l'équation (4) à r — i différentiations
successives, et l'on fait ensuite a:=a, tant dans cette
équation que dans ses différentielles , ce qui donne :
fa=km\a 4- A('-OF.a , i .^jv
//i=A(0F\rt4-2A(^-')F>-4-2A(''-»)P,a, ^ ^ ^
et par le moyen de ces équations on détermine succès-
siveineiit les coefficients A^''\ A^'""*^ A^'""'*^. . .A", A'. Il est visible d'ailleurs qu'après la décomposition de la fonction fractionnaire proposée, chaque terme d^ la forme
: r-.aa:
[x — ay s'intègre algébriquement , à l'exception du terme
dxj
qui s'intègre par logarithmes.
Lorsque la racine a est incommensurable ^ le polynôme F,x a des coefficients incommensurables , même dans le cas où le polynôme Yx n'aurait que des coefficients rationnels : il est donc utile de savoir calculer les quantités F,« , F',«, F"ia, etc., qui entrent dans les équations (5}, sans avoir besoin de former le polynôme F,x. Or, puisquç par hyppthèse
on a
F('W = (ar — ay¥^^x + - , rix-^df- 'F,('-Ojr
+ 'iillliir(r— i) (jp— ay-'F/'-'^^-hetç,,
la suite se pi^loageant jusqu'au terme
r{r^ i) (r— a) . . .(r — ^^- i) {x~ay-'¥^x , pour les valeurs de « < r, et jusqu'au terme
-^^ '-^ ~-^ ^^—^ ,r(r— i)..-3.2.ite— «)°F 0-^):^:
pour les valeurs de i > r. Ce dernier terme étant le seul
qui ne s'évanouisse pas quand on fait ^ = a , il vient
F(0"û=r(r — ij(r — a). . .3.2.i.Fja, F(^+0a = (/-4-i)r(r - i). • .4.3.2. F\a,
F('+0« = (V-|-2)(r-+.i)/\..5.4.3.F%«, etc.;
IirTEGRATfON DES FOICGTIONS ALGÉBRIQUES. 9
et par suite on pourra chasser F,a, F^a, F'',a, etc., des équations (5).
298. Si l'équation (F) avait des racines imaginaires multiples, Fx admettant pour facteur
on poserait
fr Wx+N' M'ar+N'
MWx+NW A,
-*- [(a;-«)»+ p»]' + ^^T^, +*'*=•' et l'équation (4) se trouverait remplacée par
>=(MWj?+ NW) F,^ + (M(— )) [(x— a)' + p*] F,x +. . . + {M'x+W) [{x — a)» 4- P7-' F,x + [(a;— a)» + P']' fx.
On prendrait les dérivées successives de cette dernière équation ; où ferait ensuite a;=ai: Pj/CIi, et l'on aurait le nombre d'équations nécessaire pour déterminer tous les coefficients M^'^ , N^*'.
Admettons que ce calcul soit effectué : il s'agira d'intégrer une suite de termes de la forme
(MMx+NWyx
pour les valeurs de i plus grandes que l'unité. Or , on a
r{m>x+myx r M^x—(x)eLc
M(0 M«aH-N(') r dt
en posant, pour simplifier,
10 LlVllE V. CHAPITRE 1.
Il vient ensuite
y^ dt Ç dt Ç t^dt ,gv
D'ailleurs, le procédé de l'intégration par parties, appliqué à la fonction
donne
y' t^dt t X I Ç dt
Par la substitution de cette valeur dans l'équation (6) , on obtient
y" dt t a^— 3 r dt
Mais en appliquant le même procédé, on ramène l'intégrale
et finalement de l'intégrale
f dt
j = arc tang t + const. ;
après quoi, il n'y a plus qu'à remettre pour t sa valeur en fonction de x.
En résumé, cette analyse montre que l'on ramène à la résolution des équations algébriques l'intégration de toute fonction difTérentielIe, rationnelle et fractionnaire; et que l'intégrale d'une fonction de cette espèce s'exprime toujours par des fonctions algébriques rationnelles, et par des fonctions logarithmiques et circulaires. .
299. Quand la fonction différentielle, sans cesser d'être algébrique, devient irrationnelle, son intégrale, lorsqu'elle existe sous forme algébrique, doit renfcr-
ISTTÉGRATIOJy DES f ONCTIONS ALGEBRIQUES. 11
mer tous les radicaux irréductibles qui entrent dans la fonction différentielle, et n'en peut pas renfermer d'autres : ce qui revient à dire que Taire d'une courbe algébrique doit avoir, en fonction dé l'abscisse, précisé-^ ment autant de valeurs (réelles ou imaginaires) que l'ordonnée en comporte , ou autant que la courbe a de branches (réelles ou imaginaires).
Deux habiles géomètres de cette époque, Abel et M. Liouville, ont fait connaître des méthodes d'après lesquelles on peut reconnaître si une fonction irrationnelle comporte une intégrale algébrique ou logarithmique, et trouver directement cette intégrale, quand elle est possible. Mais nous ne les suivrons pas dans ces généralités , plus intéressantes pour le perfectionnement de la théorie que pour l'utilité des applications.
Les fonctions dont l'irrationnalité tient à la présence d'un radical carré sont celles qui se présentent le plus souvent dans les questions de géométrie et de mécanique , et il convient que nous nous occupions plus spécialement de l'intégration des fonctions de cette classe.
§ 2. FoDctîoDs à radical carre, recouYraDt un polynôme du premier ou du second degré.
300. Si, dans la fonction à intégrer, entrent rationnellement la variable a; et le radical
en sorte que, cette fonction étant mise sous la forme
/(:r,R).efar, (e)
/*soit une fonction algébrique rationnelle de .r et de R ,
on posera
i/a-^bx = tj (7)
ou
t^ — a , 2tdl /QN
^ V2 UVRE V, CHiLPlTAE I.
au moyen de quoi la fonction proposée deviendra de la forme Ftdt^ Ft désignant une fonction rationnelle de t. Admettons que le radical recouvre un polynôme du second degré, ou qu'on ait
On pourra, sans restreindre la généralité, poser c== i ^ ce qui revient à changer .r en --^, en conservant d'ailleurs aux constantes a , b leur indétermination. Soit en premier lieu
on posera
V/' <i + ^ar 4- «> = ^ — :r , ce qui donne
"" — ^t+y ^— nt+b ' '^— {^t + bf "^^^ et par la substitution de ces valeurs la fonction {e) sera rendue rationnelle.
S'il s'agit de se débarrasser d'un radical de la forme
R= V^a-^-bx — x*j
on représentera par a, ^ les racines de l'équation
X* — bx — a=o, racines que nous supposerons réelles, sans quoi le radical , restant constamment imaginaire , rendrait imaginaires tous les éléments'de l'intégrale , et par conséquent l'intégrale même.
On posera ensuite
l/a + ^o; — jca = î/(ar— a)(p— a:)=(^ — a)^,
d'où
et la substitution fera disparaître Tirrationnalité, comme dans le cas précédent.
L'irrationnalité peut encore être levée, lorsqu'elle tient à la présence simultanée dans la fonction y*de deux radicaux
car, en vertu des équations (7) et (8), on aura
Ce qui fait retomber sur le cas précédemment traité.
Exemples :
dx
[< a 'j' bx -\^ ex*
jr = -—71 . iog I — — + x^c+V^a-^bx -hcx* I + àdnst. (9)
2«» fl^=Z
K fl -{- 6x — ex*
7*5= — ^— ;=;arctanffV î r===.+const. (lo)
Pour
dx
la formule (9) donne
y = Iog (jT 4- »/i4-*») + ^o/w^, ce qui s'accorde avec l'une des équations du n® 68.
Pour
, dx
on tire de la formule (10)
y lit ■
j = — aarctangv — \'Conse*
= — arc tang h const. (1 1)
Mais on sait d'ailleurs que la valeur de^est dans ce cas
jr E=: arc sin x 4- const. (12)
Il faut dmic qùé lesl ëxpr^sdiôns (ii) et (12) rentrent Tune diÉns Tàtiti^é} et eu efFet^ A Voh pose
arc sin or = 9 , ou a:z=z sin 9 , les équations (i i) et (i 2) donneront
/ = h 9 + cànst.y 7=94- const.y
expressions équivalentes ^ à cause de Tindétermination des cûBStant^s arbitràiTes.
*§ 3. Fonctions à radical carre, recouvrant un polynôme
du quatrième degr^.
30 1 . Nous allons entrer dans une atialyse beaucoup plus compliquée en discutant le cas important où le radical qui entre dans la fonction y* est de la forme
et nous^ reiparqùèrons d'abofd qu'on peut y ramener celui oïl la fonction renfermerait deux radicaux
car on chasserait le premier en posant, d'après ce qui a
été dit ci-dessus,
e — oL jczzz . :
et la sàbstitutiôn dé cette valeur de x dans le second i*adical le changerait en un radical de la forme (^f).
Nous ferons remarquer en secotid lieu que toute intégrale de la forme
/désignant une fqnction algébrique par rapport à ^ et à R, peut être ramenée à dépendre d'une autre intégrale de la forme
F désignant une fonction rationnelle. En effet, /(^jB) ne
peut avoir que la forme
cp, ^y ^y V désignant des fonctions rationnelles de x. Or, si Ton multiplie les deux termes de cette fraction par ^-R^y on la mettra sous la forme
qui équivaut à
f, F désignant deux fonctions rationnelles de x,
