Pour simplifier l'expression du radical R, sans

nuire à la généralité du problème d'intégration qui nous

occupe, désignons par t une nouvelle variable, et posons

r+st xz=z :

1 + ^ nous pourrons disposer des coefficients r et s^ de manière

à faire évanouir dans le polynôme R^ les coefficients des puissances impaires de t; et il s'agit de prouver qu'on satisfait toujours à cette double condition par des valeurs réelles de r, s.

Mettons le polynôme R* sous la forme

a, p, y, ^ étant les racines de l'équation R^=o. On aura, en substituant pour x sa valeur en ^,

pa g[r-Hx4-(5-a>] [7^p+(5-p)^] [^Y+(^"Y>] M-^M)^] ;

et l'on fera évanouir les puissances impaires de t, si l'on

pose

(r a)(j— p) +(r— P) (i— a)=o, (r y)(,J) + (r-J;(5-Y)=o, OU bien

ars — (a H- P) (r + 5) + aap=o, 2rs— (y + i)(r + s) +2yi = o;

d'où

<x + P— (y + S) Or, d'après la composition des équations du second

degré, ret «f seront des quantités réelles, si les valeurs de r^s et de rs sont elles-mêmes réelles, et si Ton a en outre

ou^ en substituant,

Lorsque les quatre racines a, p, y, 8 sont réelles, il est permis de supposer que ces lettres les désignent suivant leur ordre de grandeur; la troisième condition sera satisfaite, et les deux autres le seront indépendamment de toute supposition.

Si deux racines sont imaginaires, en sorte qu'on ait

les valeurs de r -|- j* et de rs ne cesseront pas d être réelles : l'inégalité (i3) deviendra

[(f-.Y)'+v'].[((^-^)'+vr „

et «era par conséquence vérifiée. On prouverait aussi facilement qu'il en est encore de même, quand les quatre racines sont imaginaires.

A la vérité, si l'on supposait a -j- p =y-|-5, les valeurs de r-|-^etde rs deviendraient infinies; mais on aurait en même temps

R' = e[a;' — (ol + P)^ -f- aP] [a:'— (a + P)^ + yS] ;

INTÉGRATIOir DES FONCTIONS ALGEBRIQUES. Î7

en sorte qu'il suffirait de poser

pour faire évanouir dans R les puissances impaires de U Une autre exception se présenterait, si l'on avait a=Y, ^1=1 J; car alors les valeurs de r-|- j, rs prendraient la forme \ ; mais il est visible que dans ce cas le polynôme R' deviendrait un carré parfait, et que la fonction à intégrer serait rationnelle.