CHAPITRE V
APPLICATIONS GEOMETRIQUES DE LA THÉORIE DE l'iN- TEGRATION DES ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES A DEUX VARIABLES.
488. Nous traiterons dans ce chapitre de quelques questions de géométrie qui se rapportent à Tintégration des équations différentielles à deux variables; et d'abord nous nous proposerons de déterminer les lignes dont le rayon de courbure est proportionnel à la normcdc [172], condition qui s'exprime par l'équation différentielle du second ordre
ou
k désignant un rapport constant, et les signes supérieur ou inférieur devant être choisis selon que le rayon de courbure doit être dirigé dans le sens de la normale ou eu sens contraire.
L'équation (a) est de celles où la variable indépendante n'entre pas [45i ] : elle se met sous la forme
d'où
dy l^ydy'
et eu intégrant deux fois de suite,
r^ dy
X — a zzzL m •
La quadrature indiquée s'obtient sous forme finie pour les deux valeurs At=zi, k=.i. Soit en premier lieu k=^\ : on a, en prenant le signe supérieur^
J \/mrp ^'
équation d'un cercle de rayon arbitraire, et qui a son centre sur l'axe des x. Il est évident en effet que, pour un cercle ainsi placé, la normale se confond en grandeur et en direction avec le rayon de courbure. Le signe inférieur donne
d'où
équation de la ckaînette [384]-
Lorsqu'on fait k=.%j et qu'on prend le signe supérieur, l'équation {b) donne
équation d'une cycloïde qui a l'axe des x pour base et dont le cercle générateur a pour rayon 7 b. On sait effectivement [198] que, pour la cycloïde ainsi placée, le rayon de courbure est double de la normale et dirigé dans le même sens.
Quand on prend le signe inférieur, il vient
équation d'une parabole dont l'axe serait perpendiculaire à celui des x, et qui aurait son sommet au point x=aj
489. Si le rayon de courbure, dans la courbe cherchée, devait être réciproque à l'abscisse, on aurait pour l'équation du problème
(i +/')! k , kdy'
et en intégrant
^ 'xky' j . (x^-k- c)dx
Nous pouvons désigner la constante c par — b^, la constante ^ par —, ce qui rend l'expression homogène, et
enfin permuter entre elles les lettres x,^, au moyen de quoi l'équation précédente devient identique avec la première équation (la) du n** 387. La courbe qui jouit de la propriété énoncée est donc celle à laquelle nous avons donné dans le n"" cité le nom de courbe élastique^ précisément à cause de la propriété qui vient d'être traduite en équation.
490. Cherchons une courbe telle que le produit des perpendiculaires abaissées de deux points donnés sur chaque tangente à cette courbe soit constant. Prenons pour axe des x la dr<$ite qui joint les points donnés, et pour origine le milieu de la distance qui les sépare. Appelons 2c cette distance et b^ le produit des deux perpendiculaires : l'énoncé du problème donne l'équation différentielle
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et il faudra prendre le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que les deux points d'où partent les perpendiculaires seront ou ne seront pas situés du même coté de la tangente. Cette équation se ramène à la
forme
7 = ^7' + +/, ft)
et Ton a
En la différentiant selon la méthode indiquée [448] pour le traitement des équations de cette forme, on trouve
d'où
rfj' = o, (c,)
Si l'on élimine J-' entre les équations (c) et (c',), on aura l'intégrale singulière de la première de ces équations. Pour faire l'élimination commodément^ on les met sous la forme
^ J-^^—\/{c^±yV±b% (l)
d'où l'on tire, en éliminant le radical et en élevant au carré ,
La\na
L'équation ( i ) donne aussi, quand on élève au carre les deux membres,
et si l'on égale ces deux valeurs de ;>", il vient, après la suppression des facteurs communs,
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Suivant qu'on prend les signes supérieur ou inférieur, cette équation appartient à une ellipse ou à une hyperbole dont les foyers sont les deux points d'où partent les perpendiculaires aux tangentes : 'ib est le petit axe de l'ellipse et l'axe non transverse de l'hyperbole.
I/intégrale générale de la proposée s'obtient quand on substitue dans cette équation la valeur y-=zconst.^ donnée par l'équation (c',). Cette intégrale générale est Téquation du système des droites tangentes à l'ellipse ou à l'hyperbole que l'on vient de déterminer. Il est clair que ces droites satisfont, dans la généralité mathématique, à la condition du problème; mais que la seule solution qu'on ait pu avoir en vue en l'énonçant, est fournie par l'intégrale singulière. La même remarque s'applique à tout problème géométrique qui conduit «à déterminer une courbe par une équation différentielle de la forme ('f).
