DES ÉQUATIONS INTÉGRALES SINGULIÈRES
a désignant la constante arbitraire introduite par Tintégration : si Ton élimine a entre l'équation (K) et
dF
l'équation résultante
satisfera aussi à l'équation (A*) et en sera une intégrale singulière, sauf le cas exceptionnel où la valeur de a tirée de l'équation (K) se réduirait à une constante, immédiatement ou en vertu de l'équation (x), ainsi qu'on l'a expliqué pour les équations du premier ordre.
L'équation (k) a n intégrales premières de l'ordre //, que Ton peut représenter par
Or, si l'on élimine respectivement les constantes arbitraires de chacune de ces intégrales, au moyen des équations dérivées
dF, dF, dF,
on retombera toujours sur la même intégrale singulière.
Pour fixer les idées, considérons une équation du second ordre
/(^,j,jS/0=o, (/)
dont l'intégrale complète soit
a^yU^ étant les constantes introduites par les deux intégrations successives.
Par la théorie générale, on aura les deux intégrales
du premier ordre, en éliminant alternativement a, et a, entre Téquation (L) et sa dérivée
dûc dy
que, pour plus de commodité, nous représenterons par
Cette élimination donnera
F.(-^.7y5«.) = o, F,(a:,7,7>,) = o> puis on aura les intégrales singulières du premier ordre, en chassant a^ et a^ de chacune de ces équations, au moyen des suivantes
Supposons que ce soit Tintégrale singulière donnée par Fi que nous voulions obtenir : le calcul indiqué revient à éliminer a^, a^ entre les équations (L), (f ), et la dérivée de celle-ci
di dï da^ ,rtx
o, (fj
(la, da^ da,^ ' prise par rapport à a^ et a^ , mais en considérant r/, comme une fonction de a,, implicitement déterminée par Téquation (L). On a donc
da^ d¥ dF
ce qui change l'équation (f ) en
dF^^df J^.^ /iv ^
da^ da^ da, da^ ' **'^
Ainsi l'intégrale singulière cherchée résulte de l'élimination deai,a, entre les équations (L), (f), (fi,»); ^^ comme la dernière équation ne changerait pas par la permutation des indices, la proposition se trouve démontrée. Il
DES iQUATIOfrS INTl^GRALES SINGULlilRES. 287
est facile d'étendre cette démonstration aux équations d'un ordre quelconque.
Soit, par exemple, l'équation du second ordre
qui a pour intégrale complète
-5 aa./H-aîdf + a. =0,
et pour ses deux intégrales du premier ordre
F, =a:' — 5i^7,7'-haî=o, (10)
=iiar*(/-V)'-4(^a. j(j-.a:/y+(a.-.^a;3)*=o.
lies équations (L',,,) deviennent
et l'on a par l'élimination
a;» — /• = o, 4(7— ^/)*(^'— /") = o- La seconde équation comprend la première et n'a pas plus de généralité : car, si l'on égale à zéro le facteur / — xjr\ on en tire une valeur de^ qui ne satisfait pas à l'équation proposée du second ordre.
483. Le théorème du n° 48 1 s'applique sans difficulté aux intégrales singulières des équations d'un ordre quelconque. Admettons que la proposée soit du second ordre et représentée par l'équation (/), en sorte qu'elle ait pour l'une de ses intégrales du premier ordre
F,(^,7y,fl.) = o: (L.)
en chassant a au moyen de l'équation
qui donne
OQ a l'équation du second ordre
F.(^,7y>trf) = o, (€J)
identique avec la proposée (/), ou qui u'en diffère que par la présence d'un facteur commun, fonction de x,/, y\y'* D'un autre côté, en chassant a^ de l'équation (L,)
par sa valeur tirée de -7-^=0, on a l'intégrale singulière.
Or^ si l'on différentie l'équation (xS)^ en supprimant. les
termes qui disparaissent en vertu de l'équation (L'J, il
vient
dF fdx^ dxS , dxS ff dni ,„\
d^Kd^'^T^'^'^dy^ '^^^ )~^' et la démonstration s'achève comme dans le u*" cité. Ou en conclut de même que la valeur de^' en x^jr, tirée de l'intégrale singulière, laquelle donne pour y une valeur qui vérifie la proposée, ne donne pas pour/''', y^tf t ®^c« d®s valeurs propres à vérifier les dérivées successives de la proposée.
En prenant pour f=Oy F,=o, les équations (9) et
(10), on a trf==p,d'où
• Fi('^)7yj'CJ) = a;* — -^-h4; = o, (n)
équation qui se confondrait avec (9), si l'on en multipliait tous les termes par <—^, La difFérentiation de
se
l'équation ( 1 1 ) donne
ou bien'
La valeur de j" tirée de l'équation
et substituée dans l'équation (i i), ramène l'intégrale sin-
DES JÎQUATIONS INTEGRALES SINGULIERES. 289
gulière x^ — y^=z.o. D'autre part, de l'équation du troisième ordre
on tire, en intégrant, — z^za, ; et cette valeur, substituée
dans l'équation (ii), reproduit l'intégrale (lo).
484. L'équation (x), qui est de l'ordre /i, comporte une intégrale générale de l'ordre n — i
et comme cette intégrale doit satisfaire, non-seulement à l'équation (x), mais à toutes ses dérivées, il en résulte que les valeurs de/^*^,^""'^, tirées de l'équation (^), ooîncident avec celles qu'on tirerait de l'équation (x) : par conséquent l'équation (<^) satisfait à la proposée {U)^ aussi bien que (x).
Concevons maintenant que l'équation (x) ait une intégrale singulière
d'après la remarque du n*^ précédent, on en tire pour ^"+0 une valeur qui ne coïncide pas avec celle que fournirait la dérivée de (x) : donc l'équation (4') qui satisfait comme intégrale singulière à l'équation (x), ne satisfait pas à la proposée {U) dont (x) est déjà une intégrale singulière.
On prouve encore la même chose par le raisonnement suivant, que nous appliquerons, pour plus de clarté, à l'équation du second ordre
Son intégrale singulière du premier ordre
résulte, comme on l'a dit, de l'élimination de a^^a^ entre T. II. 19
les équations (L), (f) et (f ,„). Soit ^ (x,^)=:o une intégrale singulière de (>.) : nous disons que cette intégrale ne diffère pas de l'équation qu'on obtiendrait en éliminant «»,«,, entre l'équation (L) et ses dérivées
dF dF ....
£n effet, l'équation ainsi obtenue satisfait au système des équations (L), (L'), (f 'i,,), et par conséquent vérifie l'équation (>.) dont elle est l'intégrale singulière, attendu qu'elle ne contient pas de constante arbitraire.
Maintenant on sait que, pour obtenir l'équation (f), il faut éliminer a„ a, entre l'équation (L) et ses dérivées du premier et du second ordre, prises en traitant a^ja^ comme des constantes, savoir
dF dF ,
^F d'F , dF , dF ,,
Quand a^^a^ ne sont plus des constantes, mais des fonctions de x^j^ déterminées par les équations ((L)), l'équation (L') est encore satisfaite ; mais l'équation (L") ne l'est plus , et par suite l'équation (/) ne peut pas l'être. 485. Prenons comme exemple l'équation
y—xy—{y—xyy + ^21 /'« = o, (12)
qui a pour intégrale seconde
7 — I a,x^— a^x — {a\ + aj) = o, (i3j
pour intégrales du premier ordre
7+r^' — «;V'— (i— 2ai)^/ — ûî— /> = o,
DES lÊQUATIONS INTEGRALES SINGULIÈRES. 291
3t pour intégrale singulière du même ordre
En résolvant cette dernière équation par rapport kj/j on la met sous la forme
d'où, en intégrant,
\/i6r + 4*«+«4=^l/'i+Jc* — logCl/'i-hx» — a:)-4-c. (i6) L équation (i6) satisfait à la proposée (i a); mais comme elle ne contient qu'une constante arbitraire c, et qu'elle ne peut pas rentrer dans l'intégrale générale (i 3) par un choix convenable des constantes a^^a^^ elle constitue encore une intégrale singulière de la proposée.
L'équation (iZj) comporte elle-même une intégrale singulière^ qu'on trouverait en faisant usage des méthodes indiquées ci-dessus, mais que l'on déterminera plus simplement en formant les équations ((L'))' ^^^ ^^~ viennent alors
Les valeurs de a„a, qu'on en déduit, étant reportées dans l'équation (i3), il vient
167 -f- 4^* 4- or^ = o ; et cette dernière équation satisfait visiblement aux équations (i4) ou (i5), mais non pas à la proposée (la). 486. L'équation (x) comprend en général les dérivées de^, jusqu'à ^"^ inclusivement; mais il peut arriver aussi que ^"^ disparaisse de la fonction 9, et alors cette même équation est une intégrale singulière de la proposée , de l'ordre n — i. Elle serait une intégrale singulière de l'ordre n — 2, si^"""'^ disparaissait également de la fonction 9^ et ainsi de suite.
292 UYBE yi. — GHA.PITRE IV.
Soit 9 par exemple, l'équation du second ordre
qui a, pour Tune de ses intégrales complètes du premier ordre, Téquation
jry*—2a,J!x/+a\xt=szo. (17)
On formera l'intégrale singulière de la proposée, en chassant a, de l'équation (17)9 au moyen de sa dérifée prise par rapport à a.. Ce calcul donne
d'oii les trob solutions
/=©, r=o, ;rr— i«t=o,
qui sont ttois intégrales singulières de la proposée^ la première du premier ordre et les deux autres algébriqnei^ ou de l'ordre zéro.
487. Les valeurs de ^") en x,/,^,. . .^'^•'■"^ qui vérifient l'équation (k)j et qui rendent infinie la dé* rivée
tirée de cette même équation (Jc)^ sont des intégrales singulières de la proposée, de l'ordre /i, et toutes les intégrales singulières de i'ordi'e n doivent rendre infinie la dérivée (n). D'autres conditions sont encore exigées, si l'intégrale singulière s'abaisse accidentellement à un ordre inférieur : mais nous renverrons pour ces détails, qui sortent des éléments, aux Leçons de Lagrange sur le calcul desfonctionSy et plus particulièrement encore à un mémoire de M. Poisson, inséré dans le i3* cahier du Journal de F École polytechnique. .
