SIMULTANÉES

502. Considérons, comme dans le n"" i65, un système de V équations entre la variable indépendante tj les V variables a:,j^,2, . . . qui dépendent de ^, et leurs dérivées xy^z\, . .a:"y\z" . . .etc. : le problème de l'intégration des équations différentielles simultanées consiste à tirer d'équations qui se présentent sous cette forme les valeurs de ^,7*,2. - . ., en fonction de t, en donnant à ces valeurs toute la généralité qu'elles comportent, par l'introduction d'un nombre convenable de constantes arbitraires. Pour fixer les idées sur une application, imaginons des points matériels en mouvement dans l'espace, et qui exercent les uns sur les autres des actions attractives ou répulsives, variables avec leurs distances mutuelles; désignons par t le temps; par r,^,2; j:„^„2,, etc., les coordonnées des points mobiles : les variations infinitésimales des vitesses dépendront des forces auxquelles les points matériels sont soumis, et par conséquent des coordonnées en fonction desquelles s'expriment leurs distances mutuelles; les vitesses mêmes s'exprimeront par les variations infinitésimales des coordonnées; et sans qu'il soit besoin d'entrer dans des développements qui appartiennent à la mécanique, on conçoit que toutes ces liaisons doivent conduire à des équations oii entrent à la fois les coordonnées des points

mobiles et leurs coefficients différentiels, pris par rapport au temps. Il s'agit d'en tirer les valeurs des coordonnées en fonction du temps j puis d'éliminer la variable t^ de manière à avoir des équations entre ^,/,2; .r,,^i, 2„ etc., qui sont celles des courbes décrites dans l'espace par les points mobiles. La plus belle question de la philosophie naturelle, la théorie des mouvements planétaires, se trouve ainsi ramenée à un problème d'intégration qui porte sur des équation^ diflférentielles simultanées.

503. De quelque manière que l'on obtienne le système des équations intégrales, ou le système des équations en t^Xjj'jZj etc., qui satisfait aux équations différentielles proposées, ce système, pour avoir le même degré de généralité que le système proposé, doit contenir un nombre déterminé de constantes arbitraires, nombre qu'on assignera sans difficulté, dans chaque cas particulier, par des considérations analogues à celles qui ont été présentées au n" 465.

Prenons deux équations

et examinons en premier lieu le cas où Ton aurait 7/^>/7^„ n<n^. Si, pour une valeur de t que nous désignerons par 4, on se donne arbitrairement les valeurs correspondantes

on tirera de l'équatioa ( /") la valeur de x^^'^\ de lequation (/[) la valeur de ^o^"»^, et de leurs dérivées successives les valeurs de

,^.^(m+i)^^jm+2)^ etc.; 7o^"'+*^ r„("i+>) j etc.

On pourra donc construire, par la série de Taylor, les

EQUATlOirS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES. 319

valeurs de x^y en fonction de tj qui contiendront les constantes» arbitraires (o), en nombre m -h n^. Donc, sous quelque forme qu'on obtienne les deux équations intégrales par lesquelles sont déterminées les valeurs de Xjjr eu fonction de t^ il est essentiel que ce système d'intégrales renferme m +/i, constantes arbitraires, telles que le système des quantités (o) puisse se déduire des valeurs de ces constantes, et réciproquement.

Le raisonnement serait encore le même si Ton avait à la fois m^m,^ n=n^, ou si Tune seulement de ces égalités subsistait.

Mais si l'on avait à la fois m>mi, /^>/^, , le calcul ne pourrait plus se faire de la même manière. Admettons, pour fixer les idées, que l'on ait

IW+/1, > wïi + w, ou m — m^ > n — n^ :

on différentiera/i'^ — w, fois l'équation (/]), ce qui donnera

Au moyen des valeurs initiales (o), en nombre m + n^j on déterminera par les équations (^/), (/J) et (f/) les valeurs de

nr ("•) • V ("x) V ("1*4"') v (") •

ensuite , les dérivées successives de l'équation {f) et de la dernière équation (./^) détermineront de proche en proche les valeurs de

Xo('»+'>, :ro('"+*), etc. ; 7o^""^'^7o^''■*■*^ etc. ;

et l'on pourra construire les valeurs générales de .r, > par la série de Taylor, comme précédemment. Donc , dans tous les cas , le système des intégrales complètes

320 LIVRE VI. CHAPITRE Vf.

des équations (/*), [f^ doit renfermer 7W+/î, constantes arbitraires : /tz+ai, étant le plus grand des nombres

504. Nous savons [i65] qu'il est toujours possible de tirer d'un système d'équations différentielles, en même nombre que les fonctions ^, ^, 2 , etc. , de la variaUc indépendante tj une équation finale qui ne contiennoc que t, X et les dérivées de x par rapport à t. Ainsi le problème de l'intégration d'un système d'équation! différentielles simultanées peut toujours se ramener i l'intégration d^quations différentielles ordinaires, entn deux variables. Ordinairement il suffit d'intégrer Té quation différentielle finale entre t et x i les valeur des autres variables jr^ z^ etc., en fonction de t son données par de simples éliminations algébriques ; et dam ce cas le nombre des constantes arbitraires qui doiven entrer dans les intégrales complètes du système pro posé, marque l'ordre de l'équation finale en ^ et x Mais il peut arriver aussi que^',y ... s'en aillent avec/ dans le calcul d'élimination qui conduit à l'équatio! finale, dont l'ordre se trouve en conséquence abaissé Après rintégration de celle-ci, on a à intégrer, pour dé terminer la valeur de f en ty une équation de la fornu

Le^ constantes arbitraires, amenées par cette nouvelle intégration, complètent le nombre des constantes qu doivent figurer dans les intégrales générales du systèm' proposé. Une discussion plus minutieuse des différent cas possibles compliquerait l'exposition de cette théorie sans utilité réelle.

505. On peut, dans certaines circonstances, sans avoi besoin de former l'équation finale, intégrer conjointe ment des équations différentielles simultanées. Lorsqu'o

EQUATIONS D1FF£R£NTIBLLES SIMULTANEES. 321

a, par exemple, entre trois variables x^y ^t deux équations linéaires du premier ordre, il est toujours possible de les mettre sous la forme

P,Q, V, P„ Q„ V, désignant des fonctions de la variable indépendante t. Multiplions la seconde équation par un facteur X, fonction de la même variable t^ et faisons l'addition membre à membre avec la première équation : il viendra

Posons £«=x+^^, u désignant une autre variable auxiliaire: nous aurons x' -{-^/^zlu' — /V, eten substituant,

»'+(P+XP,)«— ^ [X'+x(P+XP,)— (Q4-XQ J] =V+XV. .

Si l'on détermine la fonction \ de manière à satisfaire

a i équation

X'+X(P+XP,)^(Q+XQ:) = o, (a)

laquelle ne renferme que \ et tj il n'y aura plus qu'à substituer cette valeur de X dans l'équation

Il'-^(P-^xPJIl=v+xv,, (6)

où n'entreront alors que les variables u et t^ et qui est linéaire par rapport à u.

Lorsque les coefficients P,Q,P„ Q. sont constants, on satisfait à l'équation (a) en prenant pour X l'une des racines X(,X. de l'équation du second degré

MP+^P.)-(Q+^Q.)=o. W

Substituons successivement ces deux racines à la place de X dans l'équation {p) ; désignons par ^„ u^ les valeurs correspondantes de i/, et par Ci,C, des constantes arbitraires : l'intégration donne [44o] u^^x+\j = ér-(P+X.PO' [C. -hfdt (V4-X,V>'+X,P,)^ , (ij

T. II. ai

tl'oîi

On change, comme à l'ordinaire, les e]|:ponentielles en sinus et cosinus, si les racines de (oc) sont imaginaires.

En cas d'égalité des racines X.,X,, les valeurs.de x^ deviennent infinies , à moins qu'on ne pose Cx=Ca9 ce qui les met sous la forme -1; mais on lève l'indétermination comme on l'a fait dans un cas semblable [463], en , prenant les dérivées des numérateurs et des dénominateurs par rapport au paramètre X,, après quoi l'on pose dans ces dérivées Xa=::X,.

506. Admettons maintenant que l'on ait trois équations linéaires du premier ordre entre x,^, z et la variable indépendante t : on pourra toujours les ramener à la forme

a:' Ht Par +Q7 + IU =V,

P,Q, R,V;P,, etc. désignant des fonctions de L Si Ton fait l'addition membre à membre, après avoir multiplié la seconde par un facteur X et la troisième par un facteur (JL, il viendra jj

^' + xy4-fxz' + (P+XP,4-fxPa)^+(Q+XQ,+fiiQ,)j X

+ (R-+-XR,+fAR,)2=V + XV,-+-,AV, .

On fera ensuite

x + ^y-^\*'Z=u^ doù y4-V' + f*^=="' — T^' — V»

et par la substitution, n

tt'4- (P+5^P.4-fxP,)M ^

-7[X' + X(P4.XP.+fxP,)(Q+xQ, + fxQ0]

— z[[x'+fA(p+AP, -+-f^PO — (R+^Rx+F^R.)]

i£QUATION3 DIFFERENTIELLES SIMULTANÉES. Si^

est permis de disposer des fonctions ^ (i de manière satisfaire aux équations .

V+X(P+XP,+f*P.)— (Q + XQ.H.fiLQ.) = o,(

^uand elles pourront s'intégrer, on en tirera les valeurs le \ [t en fonction de t pour les substituer dans la troiième équation •

u'+(P+XP.+ fxP.)tt=V + XV, + [xV., (d)

m n'entreront plus que les variables u et tj et qui est inéaire par rapport à u.

Admettons, comme plus haut, que les coefficients P,Q, etc., se réduisent à des constantes : on satisfait aux iquations (c) en prenant pour \ [jl les racines des équations numériques

HL(P4-3P,+tiLP,)— (R+XR.+ftR.) = o .

Afin de faciliter l'élimination, nous poserons

P+XP,+fAP, = /w, (e)

% qui donne

M^— Qx)— f*Q.=Q> f^C'^— ».)— ^Rx=R • M

[ies valeurs de \ (a, tirées de ces équations linéaires et substituées dans l'équation (e), conduisent à l'équation inale en m

^m-V) (m-QJ (m-R.)-Q.RXm-P)-P.R(m-QJ

- P,Q(m-R.)= P,(iR+P.QR, .

^elle-ci étant du troisième degré, a trois racines ml^m^^mi^

Uxquelles correspondent pour \ (a, en vertu des équa-

ions (^'), trois systèmes de valeurs >.i,(Ao ^a^fx.,; X3, (x.3.

L'équation {d) devient

en y substituant successivement pour m,X,(t les trois

systèmes de valeurs dénotés par les iodités (i)^ (a)> (3), et en intégrant, on obtient les trois équations

d*où il est facile de tirer x,^,z en fonction de t et des constantes arbitraires Ci,C,,C3. Rien ne serait plus simple que de généraliser ce calcul , en l'appliquant à un système d'équations simultanées, linéaires et du premier ordre, renfermant un nombre quelconque de variables.

507. On peut aussi , dans le seul cas qui se prête généralement à une intégration effective, celui où les coefficients P,Q,. . ., Px,Q„. . . etc., sont des nombres constants, donner au calcul une marche synthétique^ plus analogue à celle qui a été suivie [J\S5 et suii^.] pour les équations différentielles liné^aïres, à coefficients constants et à deux variables seulement.

Soit d'abord

x' + Vx + Qx-^^z-i- 4-Um=o, \

a'+Pn-i «a^+Q,»- j-+Rn-i ^H-....H-U,j,a = o,

un système de n équations , sans derniers termes et à coefficients numériques, entre les n variables o:,^,^, . . .tt, fonctions de ^, et leurs dérivées du premier ordre : oa aperçoit la possibilité d'y satisfaire par un système de valeurs particulières

a:=C<5-'"', jzzzXCe-'", zzzzfxGtf-"', M = uCe-"',

C désignant une constante arbitraire, et X,(jl,. . . u des nombres donnés par le système des n équations algé-

ISQUATlOirS DIFFÉRSNTIBLIJSS SIMULTANEES. 325

irîques

P 4-XQ+fAR+ +uU=/w,

Px+XQ<+fxR. + . . . . . +«U,=Xw , P. + ^Q. + [i^R,.+ H-uU.=,./n,

P„-,4-XQ„,+fAR„x 4- +uUn,=uiii .

On peut substituer, dans la première de ces équations, les valeurs de X^ [x.,. . .u en fonction de m^ données par les autres équations du même groupe, en nombre n-^i ; et, d après la règle de Bezout , ces valeurs sont expriiqées par des fractions dans lesquelles m eutre au numérateur à la puissance n — 2, et au dénominateur à la puissance n — i : donc l'équation finale en m est du degré n. Ses racines étant désignées par m^^m^^. . ./w„, et les mêmes indices affectant les valeurs correspondantes de\|ji.,. .u,Cy on a pour les intégrales complètes du sys lème (^),

Supposons maintenant qu'il y ait aux seconds membres des équations (^) des fonctions de t désignées par ^»V„ V„. . . V„», : les équations (^,) seront encore les intégrales générales du système, pourvu que les facteurs C,,G„. . .C„ désignent, non plus des nombres constants, mais des fonction^ dé t qui satisfassent aux équations

Ç,\e-^rt ^^c>— •' + +CnC-'"»' =V,

X,C',e— i'+X,C'.ér-.'+ +XnC'n«^»' = V, ,

lA,C',ér-.'+fA,C>— •'+ + f^nCn^*»' = V, , .

On tirera de ces équations , par une élimination ordi- } naire, les valeurs des dérivées C'„C'a,. . X'», et par des quadratures subséquentes les valeurs des fonctions C'iyCat. . .Q,, qu'il faudra ensuite substituer dans les équations (g^,).

508. On a vu qu'on peut éliminer une variable d'un système d'équations différentielles simultanées, en subs' tituant aux proposées des équations différentielles en moindre nombre, mais d'un ordre plus élevé [i65]: réciproquement on peut abaisser l'ordre d'une ou de plusieurs des équations proposées, en se donnant à intégrer simultanément un plus grand nombre d'équations différentielles. Ainsi l'intégration du système des deux équations linéaires du second ordre

peut être ramenée à dépendre de l'intégration simpltanée des quatre équations linéaires du premier ordre entre les variables a:,^,Ç, y), ^ :

y— ii=û,

r+PS+QTi +R^+sr =v,

Dope les calculs qui précèdent sont susceptibles de s'appliquer à l'intégration simultanée des équations linéaires d'ordres quelconques.