Désignons par

/„, (^; jc, /, z , . ;y,/, z', -)=o,

un système de n équations différentielles simultanées du

iQUATIONS DIFniREirriELLES SIMULTANEES. 327

premier ordre, et par

J; ^*5 X y ^j 2, ••••^â) fl,j • • • • On — I ) ^^^ O j

le système de leurs intégrales complètes, dans lesquelles les constantes a^ a^^^ . •^n—i? introduites par l'intégration, se trouvent combinées d'une manière quelconque. £n général, on peut , par une élimination dirigée convenablement, transformer ce système d'équations dans un autre

équivalent au précédent, et qui jouit, comme celui-là, de la propriété de satisfaire au système ( /) avec toute la généralité requise. Si maintenant on détermine a,a^^. . .a„.s en fonction de t; x^jr^z,. . .par les équations

«t qu'on substitue les valeurs ainsi trouvées dans les équations ( f ), on forme d'autres équations

?(^;^>r>^> )=Oj

Çft-îC^î^ï/^/*» )=®>

qui, prises ensemble, satisfont au système (/), mais en qualité d'intégrales singulières ; à moins que, par accident, les valeurs de a, a„ . . . a^^^t, tirées des équations (f '), ne se réduisent à des constantes^ ou à des fonctions de

328 liiyjiK ▼!• *-. haAPfnM "fê,

t; Xjjr,Zf . . .qui prennent eUes-mémes def valenrs ooi» tantes, en vertu des équations (f )^

Au lieu de prendre à la fois tout, le système (f) oq tout |e système (f ), on poumûf remplacer partieUement certaines des équations (f) par leurs correèpondaotai dans le système (f ), c'est-à-dire tt par ^ et «inst de suite. On formerait ainsi des systèmes mixêes^ifÀ utisfont encore à leur manière au systènie des ëquatioai différentielles proposées.

Cette analyse s'étendrait , s*il était nécettaire^.iia équiitions différentielles simultanées, d'ordres quelconques^

510. Pour, donner un exemple d1nt^;ration simultanée dans le ci|s où les équations différentielles propoisées ne sont pas linéaires , et pour indiquer en même . temps Fappltcation qu'on peut fiiire de la théotie^ inlJégrales singulières aux équations différentrdies A toutes tes variables sont mêlées, pnAKms les deuK équations du premier ordre à trois yariables

(aT^ + ^a:')* — 8tey = o, (i)

xX—^{^/ — y/)=o-. (a)

En les différentiant on a

Si Ton tire de la seconde de ces équations dérivées la valeur de x^ pour la reporter dans le second membre de la première, on mettra celle-ci sous la forme

{afy+ -xx'y' +.xf') ( x'y 4-7> — a/) =o , 0 et on la décomposera dans les deux équations

a:'>'+ aa:'/ 4-^'= o , (4)

^y +yx — %t = o. . (5)

L'équation (4) équivaut à

BQUÀTIOirS DIFFERENTIELLES SIMULTANEES. 329

^ = o , d OÙ xjr=iat+b, (6)

i^b désignant deux constantes arbitraires.

Ces deux constantes ne sont pas indépendantes l'une kFautre; car les deux équations (i), (a) doivent s'ac- :x)rder lorsqu'on en chasse^,/' au moyen de Téquation [6); et l'on trouve que, pour rendre ces deux équations

identiques, il faut poser b-==. — — ; au moyen de quoi l'intégrale (6) devient

ary=a< — j. (7)

Chacune des équations (r) et (2) donne ensuite

adt dx

l'où, en intégrant et en désignant par c une constante

arbitraire,

xH-=zc{^~a) . (8)

En conséquence, le système des équations (7) et (8) lonne les intégrales complètes des deux équations pro- )osées (i) et (2).

On peut substituer à l'équation (8) une autre équaion plus simple; car on en tire

xt =: âc • ac • - >

ïQdis que l'équation (7) donne

lonc, si l'on désigne par a^ une nouvelle constante arbitraire, telle que aa^=zl^c^ l'équation (8) pourra être empUcée par

xtz=ia^ . (9)

Maintenant, si l'on emploie le second facteur de l'équa-

330 LIVRE ▼!. CHAFITBB VI.

tion (3), et qu'on élimine x\y entre l'équation (5) et les deux proposées, il viendra

07= r, (lo)

intégrale singulière, puisqu'elle ne contient pas de constante arbitraire, et qu'elle ne peut pas rentrer dans l'iiitégrale (7), par une détermination convenable de la constante a. D'ailleurs la dérivée de l'intégrale (^) par rapport à a donne a=a^, et cette valeur reportée dans l'équation (7) fait retomber sur l'iutégrale singulière (10), conformément à la théorie exposée dans le n* précédent.

Au moyen des valeurs de ^,^', tirées de l'équation (ro), les proposées se changent l'une et l'autre en X — %x*t=o^ d'où, eu intégrant et en désignant par c une constante arbitraire,

x'^z.fgJt . (n)

D'ailleurs il est aisé de voir que le système des équations (io),(i i) devient identique avec celui des équations (9)9 (10), quand on pose a=a,.

511. Si l'on excepte les .équations différentielles linéaires dans lesquelles les fonctions de la variable indé^ pendante et leurs dérivées sont multipliées par des nombres constants , il est bien rare que des équations différentielles simultanées puissent s'intégrer autrement que par approximation. Dans certains cas, et notamment dans les problèmes relatifs aux mouvements des corps célestes, on a donné à l'approximation une forn)^ trop remarquable pour que nous ne l'indiquions p^ brièvement.

Afin de fixer les idées, soient

iQUATIOlfS DiniRBNTIELLBS SIMULTANÉES. 331

deux équations entre le temps t et les coordonnées ûCyj" d'un point mobile sur un plan. Admettons de plus que l'on ait

/=f + «Pi /i=fi + «pi> (à)

^fyfn ?x désignant d'autres fonctions des mêmes variables et de leurs dérivées, et s un nombre très-petit : de sorte que, si l'on supposait ce facteur 6 tout à fait nul , \e& équations du problème se réduiraient à

f=:.o, fj = o . (Ao)

Supposons enfin que le système formé de ces dernières équations puisse s'intégrer, et qu'il ait pour intégrales goiérales

(i^h^Cy etc. y désignant les constantes arbitraires amenées par l'intégration. SI Ton élimine t entre ces deux équations, on aura

K,^{xjjr;a,b,c, ....)=o (j)

pour l'équation de la courbe que le point mobile dëerilait sur le plan xj^, dans le cas où l'on pourrait supposer uni le fecteur e.

Maintenant il sera permis de représenter encore par ks équations (i) les intégrales générales des équations (à\ dans lesquelles on ne suppose plus nul le fisicteur s, pourvu que dans les fonctions F, F, on regarde les para- ^^bteg a, b^ c^ etc., non plus comme des constantes, mais ^mme des fonctions de la variable indépendante t^ I^'il £iut déterminer de manière à satis&ire aux équa*

^c^Os (A). D'après i'Iqrpothèse, celles-ci ne diffèrent des ^^^ations {h^ que par la présence de termes qui restent r^s-petits : donc on peut traiter comme de f rès-petites

M entités les dérivées ou les fluxions

332 IXfMM ▼!• -— r GlUFmtB ▼!.

Ja db de ^ ,,.

<{ui s'évanouiraient rigoureusement avec s. Ordinairement il y a lieu de profiter de cette remarque pour simplifier les équations qu'il s'agit de traiter, • et qui le trouvisnt substituées au système à» équatibos pro- ' posées.

Dire que les fluxions {k) sont des quantités très-petites, c'est exprimer en d'autres termes que les paramètres a, b^Cy etc., varient très-lentement, oi| conservent pendant un long laps de temps des valeurs sensiblepienl constantes. Donc, si l'on observait à une certaine époqiie le mouvement du point {x^^ on trouverait qu'il décrit sensiblement la courbe donnée par l'équation (y), dam laquelle il fiiudrait attribuer à a,^,c, etc., de.cèrtainiei valeurs constantes. Au bout d'un temps considérable, ii l'on répéCait les mêmes observations, on trouverait encore que le piiobile décrit une courbe de même espèisèy mais pour laquelle les paramètres a, 6, c, etc., ont dei valeurs sensiblement différentes de celles que leur assignaient les premières observations ; et ainsi de suite.

Il ne faut donc pas voir seulement un artifice ingénieux d'analyse dans la méthode d'intégration par la variation des constantes arbitraires^ dont Lagrange a été le promoteur, et dont nous avons vu une application élégante à l'intégration rigoureuse des équations difierentiellcs linéaires t>îi les fonctions et leurs dérivées ne sont multipliées que par des nombres constante. Elle aurait pu être suggérée par l'observation des phénomènes, à la représentation desquels elle s'adapte naturellement dans des circonstances comme celles qui viennent d'être définies.

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