Passons aux équations du second ordre : ce que

348 LIVRE Vf. CHAPITRE VII.

nous allons en dire s'appliquera facilement aux équations d'un ordre quelconque.

Soit

une équation du second ordre, résolue par rapport ky" : admettons que, pour une valeur x^ de la variable indépendante ^ on se soit donné arbitrairement les valeurs correspondantes j'oî y©; il viendra

et si l'on pose a:,zzzu;o-f-^> ^ désignant une quantité très-petite du premier ordre, on aura, aux quantités près du second ordre,

puis

et ainsi de suite; en sorte que la série de valeurs par lesquelles passe chacune des fonctions ^,^, peut être calculée arithmétiquement avec une approximation indéfinie.

Si l'équation (e) est de la forme

et quej^' atteigne une valeur vi' qui fait évanouir ç/, y^ s'évanouira, et par suite^' conservera, à partir de cette époque, une valeur constante. La proposée aura pour intégrale première singulière jk'=*/)'; et l'intégrale de celle-ci, jK=:y)'x-[-c, satisfera à la proposée, mais sans en être l'intégrale générale, puisqu'elle ne renfermera que la constante arbitraire c.

Si la proposée se met sous la forme

/'i=<pj.^(.r,j,/)=:;o, et que j' atteigne une valeur y; qui fait évanouir ^j^ f

CONSTRUCTION DES lÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 34&

s^évanouira; mais comme eu même temps j^-' a une valeur en général différente de zéro, ^ et^'' prendront aussi, dans l'instant suivant, des valeurs différentes de zéro. Par conséquent l'équation /^=yi, qui est une intégrale singulière de la proposée, sans constante arbitraire, ne représentera point, à aucune époque, la suite des valeurs par lesquelles doit passer la fonction ^, lorsque la variable indépendante x désigne le temps ou une quantité croissant avec le temps, à moins toutefois que ^' ne sevanouisse en même temps que ^y.

On pourrait donner plus de généralité à ces remarques , comme nous l'avons fait pour les équations du premier ordre; mais il suffit que ce sujet soit indiqué.

522. G>nsidérons encore le système des équations simultanées [5io]

{afy +y^y — ' Stx'y =3 o , xf — t {xy' — xy) =z o ; et posons xy — t^=Uy ce qui les changera en

a/*-j- 411 = 0, 2if(wH-^')^'=(r'-f- u't — u)x. Lorsque t^x^y auront atteint des valeurs qui annulent la fonction w, vl s'évanouira, et par suite la fonction u restera constamment nulle : on aura pour déterminer x l'équation ate'=u:, d'où x'^z=za^t. Les intégrales générales des équations proposées sont

ay=«^ — — , xiziz.a^'.

Supposons, afin de fixer les idées , « > o : ce système représentera les valeurs de x^jr pour les valeurs de ^< - ;

mais, pour t > -, les valeurs de j;,^ seront données par

le système

xy — i* = d , x* = aj ,

qui représente l'intégrale singulière des proposées.

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