CHAPITRE PREMIER
DE l'intégration DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉREN- TIELLES TOTALES. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.
523. Si l'on a, entre les variables indépendantes j:,^, et la fonction z qui en dépend, une équation de la forme
l'intégration de cette équation se ramène aux quadratures [393], pourvu que les fonctions «p, 'j' satisfassent à la condition d'intégrabilité
df djc
Si les fonctions cp,ij^ renfermaient la variable z, ou si l'on avait entre les variables x^y^z et leurs différentielles totales, l'équation
^dx-\- Ydy + Zdz = o , (1)
X,Y,Z désignant des fonctions de .r,/,i;, on ramènerait encore aux quadratures l'intégration de cette équation [39G], pourvu que les fonctions X, Y,Z satisfissent aux
couditions d'intégrabilité
dK dY^ dyi dZ dY dZ.
djr dx dz dx dz dy
iît l'intégrale aurait la forme F(.t,/j z) = consLy F de-
signant la fonction dont le membre de l'équation (i) est
la différentielle exacte.
Dans tous les cas , en admettant qu'il existe une fonction z de deux variables indépendantes o:,^, propre à satisfaire à l'équation (i), et d'où l'on puisse tirer la valeur de dz sous la forme
dz = pdx -h qdy , il faut qu'on ait
dp dq .
dy dx
mais, en vertu de l'équation (i),
d'où
* Kl) <l) 4 <l) <l) y
dy \ dy dz dy] dy dz 7j
dx \ dx dz dx | dx dz Z
de sorte que l'équation (2) donne, après les réductions , ^fdX dZ\ ^fdZ dX\^^/d]L dY\
Lorsque cette dernière équation^ qui exprime la con-* dition d'intégrabilité , est satisfaite, l'intégration de le-* {uation (i) se ramène à celle des équations à deux va-^ iables. En effet, si Ton avait Tintégrale de l'équation i), et qu'on la differentiât en y traitant z comme une
constante, le résultat obtenu devrait coïncider avec l'équation (i) après qu'on y a fait dz nul, c'est-à-dire avec
l'équation
lidx + Ydy = o. (4)
Réciproquement, si Ton désigne par \l le facteur qui rend X.dx-^Ydj une différentielle exacte , lorsqu'on y regarde z comme une constante, et si l'on pose
/^(Xrf^ + Yrfr)=F(^,7),
l'équation (i) aura pour intégrale
Z^ désignant une fonction de la seule variable z. Afin de la déterminer, remarquons que l'on a d¥ - d¥ , dY , dTj. ,
et d'autre part
— dx+-j-dx=i\i.{Xdx + Ydy)=^ — ^TAz , d'où
Il faut donc, si Téquation (3) est satisfaite, que les deux variables Xjj s'en aillent à la fois du second membre de l'équation (6), quand on chasse l'une d'elles au moyen de l'équation (5j; ou, en d'autres termes, il faut que la dérivée de ce second membre, prise par rapport à. r, soit nulle, lorsqu'on y considère^ comme une fonctioii de X et de Z,, donnée par l'équation (5). Ainsi, la condition qu'il s'agit de vérifier, est exprimée par l'équation
dx dy dx
iQCATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES. 353
OU par
dxdz ^dx~ dx V.^~'*?r~^/Y~' ' ^"^^
dy en remettant pour -ri sa valeur tirée de l'équation (4).
On a d'ailleurs
rfT rf.txX dK. ^d[L^
dxdz dz ^ dz dz
d-F d.jLY rfY d^.
djrdz dz dz dz
et le facteur (t satisfait [444] ^ l'équation de condition
djr dx V.rfr d^J
Si maintenant on substitue dans l'équation (7) les
valeurs de
rf'F rf'F d^
dxdz ' dydz ^ dx '
tirées des trois dernières équations, les quantités
dik d\k
s'en vont eu même temps, et l'on retombe sur l'équation (3), qui exprime la condition d'intégrabilité.
524. Lorsque cette équation n'est pas satisfaite, il n'existe pas une fonction z de deux variables indépendantes Xyj^ susceptible de vérifier l'équation (1); ce qui revient à dire que cette équation n'exprime plus une propriété dont puissent jouir les coordonnées x^y^z d'une certaine surface. Cependant l'équation (i) n'est pas dépourvue pour cela de toute signification, et rien n'empêche qu'elle exprime, par exemple, une propriété commune à une série de courbes, dont x^y^z désigneraient les coordonnées courantes [a63 et 267] : seule-
354 LIVRB Vn. CHAPITRE I.
ment il n'existe pas de surface qui soit le lieu géométrique de toutes ces lignes. Si Ton établit une liaison arbitraire entre ^ et x^ ce qui revient à tracer arbitrairement la projection d'une de ces lignes sur le plan x/, z devient fonction de la seule variable indépendante x^ et l'équation (i), construite comme une équation différentielle ordinaire, détermine la projection de la même ligne sur le plan xz^ pourvu seulement qu'on donne un point par lequel cette projection doit passer. L'intégration de l'équation (i) consiste dans ce cas à trouver entre les coordonnées finies Xjjr^ z un système d'équations renfermant une fonction arbitraire, et d'où l'on puisse tirer, par une détermination convenable de la fonction arbitraire, toutes les lignes dont les coordonnées jouissent de la propriété de satisfaire à l'équation différentielle proposée.
Or, la solution de ce problème dérive immédiatement de l'analyse qui nous a conduit à l'intégration de l'équation proposée, lorsqu'elle satisfait à la condition d'iotégrabilité; car si, dans le cas contraire, au lieu de déterminer la fonction Z, qui entre dans l'équation (5),
on pose
F(^,j)=cpz, (8)
<p désignant une fonction arbitraire, et ensuite
les valeurs de x^y en fonction de 2, qui vérifieront les équations (8) et (9), vérifieront aussi 1 équation proposée, dont l'intégrale sera exprimée en conséquence par le système des équations (8) et (9), contenant la fonction arbitraire <p et sa dérivée.
Supposons qu'il s'agisse d'exprimer que la ligne dont
les coordonuëes courantes sont x^y^ z, est déterminée par le contact d'une surface conique ayant son centre au point (Xo^J'ojZo)^ et d'une surface de révolution autour de Taxe des z : les coordonnées des points situés sur cette ligne devront vérifier à la fois [249 ^^ ^^4] '^^ équations
z — z^=p{a;~Xo) + q (/— /o) , (10)
pr — q^ = o, (11)
dz c=5 pda: + qdjr , d'où l'on tire, par l'élimination de p et de q^
dz xdx+ rdy , .
z—z^ x{x—x^+jr{j—yo) ^
Cette équation ne satisfait pas à la condition d'intégra-
bilité, tant que x^^y^ ne sont pas nuls: on a dans
ce cas
au moyen de quoi les équations (8) et (9) deviennent
L'équation (i^), ou le système des équations (i3) qui en est l'équivalent, appartiennent donc à toutes les lignes qui jouissent de la propriété géométrique définie ci-dessus.
On aurait pu modifier l'énoncé du même problème, en demandant quelle est l'équation de la surface qui se trouve comprise à la fois dans la famille des surfaces coniques caractérisées par l'équation (lo) et dans celle des surfaces de révolution caractérisées par l'équation (11). L'équation (12) à laquelle on est conduit pour exprimer cette double condition, ne satisfaisant pas à la condition d'intégrabilité tant que x^yy^ ne sont pas
nuls, il eu résulte que, dans le cas général, une telle surface n'existe pas. Lorsque x^^y^ sont nuls, Téquation (la) s'intègre et donne
z — Zo = c I/o:' 4-7' 9 c désignant la constante arbitraire. Cette équation appartient à tous les cônes droits qui ont leur centre au point de l'axe des z dont l'ordonnée est Zq\ et il est bien évident qu'en effet ces cônes droits satisfont au problème ainsi énoncé.
£n mettant Téquation (ta) sous la forme dz \x{x—x^ +7 (/— /o ) ] = ('5— ^o) [xdx '\'ydy) , on voit qu'elle est satisfaite par Téquation z — Zo=o> sans qu'on ait besoin de supposer nulles les coordonnées .ro,^o« Ainsi le plan mené par le point {x^^y^^z^^ perpendiculairement à l'axe des z, est une surface qui satisfait à l'énoncé du problème; mais cette solution n'est que singulière, comme le montre bien la forme de l'équation ci-dessus, et l'on n'y trouve pas la constante arbitraire essentielle à l'intégrale complète.
* 525. Lorsque l'équation proposée n'est pas linéaire par rapport aux différentielles dx^dj^dz^ elle n'est susceptible de satisfaire à l'équation (3), et d'avoir en conséquence pour intégrale complète une équation entre Xyj'jZ et un paramètre arbitraire, qu'autant qu'elle peut se décomposer préalablement en facteurs linéaires. Cependant, parmi les équations non linéaires qui ne satisfont pas à cette condition préalable d'intégrabilité, il y en a encore qui comportent une signification géométrique, et qui sont susceptibles de s'intégrer, avec toute la généralité requise, moyennant l'introduction de fonctions arbitraires.
Ainsi le problème de la rectification des courbes
