PREFACE

Il y a déjà plusieurs années qu'ayant été chargé de remplir la chaire d'Analyse à la Faculté des sciences de Lyon , je me suis trouvé conduit à jeter sur le papier l'esquisse de mon cours. Quelques personnes favorablement prévenues m'ont engagé à compléter ce travail^ que je me décidé àfaire paraître , malgré la publication récente d'ouvrages fort estinoablessurle même sujet. J'ai pu croire que je tirerais, dansFaccomplissement de ma tâche modeste^ quel* ques avantages de ma position personnelle , qui ne m'assujettit point à un programme officiel, ni ne me snggère de prédilection trop exclusive pour la manière d'aucun maître. J'ai pu croire aussi que, porté depuis longtemps par goût vers l'étude de la philosophie des sciences (à laquelle tous sacrifient un peu, même en en médisant), j'étais assez bien préparé à traiter un sujet où des considérations de ce genre ^Qt inévitables, et où chacun fait, bon gré mal ?ré, sa métaphysique. Voici, en résumé, la marche

Vllï PREFACE.

que j'ai suivie dans rexposition des principes de la

matière.

J'ai cherché à faire comprendre comment, par les

progrès de l'abstraction mathématique, on est amené

à concevoir l'existence d'une théorie qui a pour objet les propriétés générales des fonctions continues : que ces fonctions s'expriment ou non par les signes de l'algèbre ou par d'autres symboles , d'une valeur mathématiquement définie. Il y a plus d'un avantage à distinguer ainsi la théorie des fonctions, de l'application qui s'eti fait aUx fotiCtiotils de l'à^èbre , et de la trigonométrie; et c'est en ce Sens que j'ai donné au présent ouvrage le titre de Traité élémentaire de la Théorie des Fonctions,

Dans l'état actuel de l'analyse, la Théorie des Fonctions cotisiste presque entièrement dans la théorie des rapports qui s'établissent entre les fonctions que Lagtànge a nommées primitii^es et dérivées; et l'expression analytique de ces rapports engendre ce qu'on a appelé depuis Leibnitz le Calcul différentiel et intégral^ otl bien le Calcul infinitésimal ^ k cause delà notion 'ê^infiniment petit que Leibnitz y a joihte. Polir peu que Ton ait une teinture de l'histoite des sciences, on n'ignore pas que Newton a inventé et fait connaître, sbus le nom de Méthode des fluxions^ un calcul qui a le même objet que celui deLeibwitz; et l'on sait que le résultat d'tln débat animé entre les partisans de ces grands hommes, a été d'assurer

PHiFACE. IX

àchacuD d'eux un droit égal à cette mémorable dé-r couverte.

Le développement parallèle dés idées de Newton et de celles de Leibnitz n'est pas Sieulement un fait historique; il tient au fond du sujet, et ne peut être négligé dans une exposition didactique sans que Teiposition pèche en quelque point : les deux thëo- Kes se complètent l'une l'autre , sans qu^on en puisse assigner une troisième qui ne rentre au fond dans Cune ou dans l'autre. J'ai cherché à faire sentir les raisons de cettQ double solution , autant que eela m'était permis dans un ouvrage destiné à des étades élémentaires, et jusqu'à un certain point pratiques.

la méthode de Lagrange, avec les modifications qu'elle a reçues depuis qu'on a reconnu l'impossibilité de fonder, comme l'entendait ce grand géomè- Ire, tout le calcul différentiel sur de simples identités algébriques, n'est au fond qu'un retour à la méthode de Newton. Sa notation, qu'il est utile dans une foule de cas d'employer concurremment avec celle de Ijeibnitz, ne diffère par rien d'essentiel de la notation newtonienne ; et ksépithètes vagues Aeprimitwes et de dérivées ne valent pas les dénominations de fluenteset àftfluxi&ns auxquelles Newton avait donné un sens si précis. Mais je n'ai pas oublié que, dans QD livre à l'usage des jeiines étudiants, il faut parler . le langage actuellement reçu dans les écoles. En

X PRJÉFACE.

conséquence j'ai exposé d'abord, dans un chapitre spécial, la théorie des fonctions dérivées, sous la forme qu'on lui donne maintenant; puis, je me suis attaché à faire comprendre la théorie des infiniment petits, et l'identité des résultats obtenus par la méthode infinitésimale avec ceux que donne la considération des limites et des fonctions dérivées. Une fois cette identité bien saisie par le lecteur, il peut sans scrupule accepter les démonstrations par l'infiniment petit, et profiter des simplifications que ce tour de démonstration a la propriété d'opérer.

De cette manière, le lecteur n'arrive qu'avec lenteur, quoique sans circuits, à la différentiation des fonctions élémentaires, par laquelle les auteurs débutent ordinairement. Je souhaite que cette lenteur ne soit pas trop blâmée; et je m'imagine que, si j'ai réussi à me rendre clair, au moins à une seconde lecture, les commençants trouveront quelque avantage, pour la suite de leurs études, à avoir insisté un peu longuement sur ces généralités.

Pour représenter des fonctions qui peuvent . être quelconques, et même n'avoir pas d'expression mathématique, j'ai fait un continuel usage des courbes. Ce signe , si naturel et si commode, rend presque évidents une foule de résultats dont la preuve exige, pour être suivie, un certain effort d'esprit , quand on ne s'aide pas des considérations graphiques; et il ne faut pas confondre l'emploi de ces

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considérations , pour la facile intelligence de la théorie des fonctions, avec l'application du calcul différentiel à la géométrie, qui fait, dans ce premier volume, l'objet d'un livre particulier. Les applications géométriques du calcul intégral ont beaucoup moins d'étendue, et on les trouvera dans le second volame, exposées après les théories de pure analyse auxquelles elles se rapportent le plus immédiatement. Il était permis à une autre époque de regarder les applications géométriques comme le but principal de l'analyse : il n'en est plus de même depuis les rapides progrès de la physique mathématique. La discussion des questions particulières de physique, auxquelles les géomètres ont appliqué l'analyse, n'appartient pas sans doute à un traité de mathématiques pures; mais les propriétés générales des fonctions, en tant qu'elles représentent des grandeurs physiques, variables dans l'espace et dans le temps, sont un sujet de spéculations générales et abstraites qui n'emprunte rien à l'expérience, et qui appartient aux mathématiques pures, aussi bien que l'expositien des propriétés de l'étendue. Nous avons appelé l'attention du lecteur sur ces propriétés générales des fonctions physiques et des fonctions du temps, chaque fois que l'occasion s'en est présentée; et sous ce rapport le présent ouvrage pourrait être considéré comme une introduction générale à la physique mathématique.

En adoptant la forme deTraité, j'ai dû m'attachera rendre Tordre et la distribution des matières aussi naturels que possible; sans ignorer qu'on ne peut atteindre ce but de manière à éviter toute association arbitraire et toute séparation regrettable. Le premier volume renferme ce qu'on a coutume de comprendre sous la rubrique de Calcul différentiel; le second est consacré au Calcul intégral et à celui des dfffé-^ rences Jinies : mais je donne dès le commencement du premier volume, au livre intitulé des Principes y les premières notions du calcul intégral et du calcul des différences finies, qui m'ont semblé nécessaires pour rendre plus claires ou plus complètes, ou pour fixera leur juste place«des théories qui se rattachent au calcul différentiel.

Je me suis écarté de l'usage en plaçant le Calcul des variations dans le cinquième livre , qui a pour objet les quadratures, avant la théorie de l'intégration des équations différentielles. Cette innovation me paraît motivée sur l'ordre des difficultés, non moins que sur l'enchaînement des matières. En écartant le calcul des variations de la théorie des quadratures, à laquelle il se rattache naturellement, pour le rejeter après l'intégration des équations aux différences partielles, on induit les commençants en erreur sur la vraie nature de cette belle méthode de Lagrange, comme si elle constituait (selon l'expression proposée par un auteur de mérite) un nouveau cal-

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çjàfypertranscendant; tancHs que ce n'est qu'une élégante application des principes du calcul différentiel aux fonctions renfermées sous un signe de quadrature. Le progrés actuel des sciences mathématiques n'exige pas, comme celui de quelques branches de la physique, une refonte continuelle des éléments : cependant, à mesure que certaines théories se simplifient, ou reçoivent des applications plus importantes, elles acquièrent des droits à passer dans renseignement élémentaire, et à y prendre la place d'antres spéculations auxquelles on n'a pas reconnu la même fécondité. 11 m'a semblé que les principes de la théorie des fonctions elliptiques et euiérien- Des devaient se trouver dans les éléments du calcul intégral; que les exemples de détermination d'intégrales définies devaient y être multipliés; qu'il fallait insister sur les nouveaux procédés d'intégration des équations linéaires aux différences partielles , assez pour préparer convenablement le lecteur à l'intelligence des travaux spéciaux de physique mathématique. D'un autre côté, comme j'ai eu surtout en vue Imtérêt des jeimes gens qui se préparent à nos grades et à nos concours universitaires, j'ai indiqué par un astérisque, dans le texte et dans la table des chapitres, les matières qui, d'après l'usage , ne sont point réputées exigées pour la licence es sciences mathématiques, ni pour le concours d'agrégation dont \e grade de licencié est une condition préliminaire.