CHAPITRE IV

DES POINTS SINGULIERS DES LIGNES PLANES, ET DE LA CORRESPONDANCE ENTRE LA G£OM]h*RIE ET l'aL- G^RRE.

206. On doit entendre par points singuliers d'une courbe, dans le sens géométrique, tous ceux où le tracé de la courbe , abstraction faite du système arbitraire de coordonnées auquel on la rapporte, offre quelque accident qui les particularise; par opposition^ aux autres points, en nombre infini, que nul caractère géométrique ne distingue de ceux qui les précèdent ou qui les suivent immédiatement. Ainsi, le point où la courbe subit une inflexion est un point singulier dont l'existence ne dépend ni de la direction arbitraire des axes des coordonnées, ni même de la nature des coordonnées qu'on emploie pour définir la courbe anal) tiquement. Au contraire, le point où l'ordonnée passe par une valeur maximum ou minimum n'est pas pour cela seul un point singulier; car, si l'on changeait la direction des axes, ce qui ne changerait rien à la courbe, la propriété de répondre à une valeur maximum ou minimum de l'ordonnée, passerait à un autre point; et celui qui en jouissait en premier lieu , pourrait ne plus offrir aucun caractère qui le singularisât.

207. Parmi les courbes susceptibles d'être définies au moyen d'une équation entre leurs coordonnées, il faut distinguer les courbes qu'on appelle algébriques , pour lesquelles, dans un système de coordonnées parallèles à

. DES POIIITS SINGULIERS. 361

des axes fixes, l'ordonnée est une fonction algébrique de l'abscisse, et les courbes transcendantes dont l'ordonnée, dans un pareil système, ne s'exprime en fonction de l'abscisse qu'à l'aide des signes transcendants de l'analyse. Les sections coniques sont des courbes algébriques : la cycloîde et les spirales sont des courbes transcendantes.

L'équation d'une courbe algébrique peut toujours, par l'évanouissement des dénominateurs et des radicaux, se ramener à la forme

F désignant une fonction entière et rationnelle, tant par rapport à jr que par rapport à x. Le degré de cette équation est donné par la somme des exposants de x et de^ dans le terme pour lequel cette somme a la plus grande valeur. Si l'on passe d'un système de coordonnées parallèles à un autre, le dçgré de l'équation ne change pas, à cause que les coordonnées prises dans un système sont des fonctions linéaires des coordonnées prises dans l'autre système. Le degré des équations des courbes algébriques est donc un caractère essentiel de ces courbes, d'après lequel on peut les classer sans que la classification soit arbitraire, bien que la forme des équations change avec l'origine des coordonnées et la direction arbitraire de chacun des axes, qui peuvent &ire entre eux un angle quelconque.

Une droite ne peut avoir avec une courbe algébrique un nombre de points d'intersection plus grand que l'exposant du degré de son équation. Le nombre des points d'intersection de deux courbes, l'une du degré m, l'autre du degré m\ ne peut pas surpasser mm\ Ce sont encore là des caractères géométriques très-remarquables.

qui dérivent immédiatement des principes fondamentaux de la théorie des équations algébriques.

208. Une courbe algébrique ne s'interrompt pas brusquement dans*8on cours, ou ne peut pas avoir de points singuliers de Tespèce de ceux qu'on a appelés points S arrêt ou de rupture^ et que présentent certaines courbes transcendantes, par exemple [i6] celle qui aurait pour équation

Gela résulte de ce qu'une équation algébrique à une seule inconnue et à coefficients réels, ayant toujours un nombre pair de racines imaginaires, ne peut perdre à la fois qu'un nombre pair de racines réelles, lorsqu'on fait passer par une suite de valeurs réelles l'une des quantités qui entrent dans la composition de ses coefficients. U suit de là, et de la forme connue des racines imaginaires, que quand l'ordonnée^ d'une courbe algébrique passe du réel à l'imaginaire, pour une certaine valeur de jt, des valeurs réelles de^ en nombre pair deviennent égales. Si ces valeurs sont au nombre de deux, comme il arrive ordinairement, deux portions de la courbe viennent se rejoindre en un point qui peut ne présenter d'ailleurs aucune particularité, lorsqu'on change la direction des axes , et qui par conséquent n'est pas, en général, un point singulier.

On conclut de là que, pour avoir l'expression complète d'une courbe algébrique, par une équation entre ses coordonnées rectilignes, il faut débarrasser l'équation des radicaux , ou conserver tous les doubles signes inhérents à chaque radical pair. Autrement on introduirait arbitrairement des solutions de continuité, te-

naot à la direction des lignes auxiliaires que Ton aurait prises pour axes des coordonnées , et que ne peut point comporter la description de la courbe, considérée en soi. Tel est le fondement de la ccftrespondance entre l'algèbre et la géométrie : l'algèbre n'associant par le double signe inhérent aux radicaux pairs qu'elle em- j ploie, que des branches ou portions de ligne qui ap- : partiennent effectivement au même lieu géométrique, i

D'ailleurs cette correspondance que l'on admet souvent dans un sens trop absolu , parce qu'elle apparaît surtout dans la discussion des courbes algébriques les plus simples, objet d'un enseignement classique, n'a plus lieu généralement quand il s'agit de courbes à équations transcendantes. Ainsi le radical du second degré qui entre dans l'équation de la cycloïde [176] doit être pris alternativement avec le signe -j- et avec le signe — ; et si l'on employait à la fois les deux signes, on construirait deux cycloîdes distinctes qui ne peuvent point être réputées former le même lieu géométrique ou deux branches de la même courbe.

De même on peut [181] rejeter ou admettre indifféremment les valeurs négatives de r et de ç dans la construction de la spirale hyperbolique r=- : car en les

admettant on ne fait qu'appliquer une convention permise ; et en les rejetant on ne rompt aucune analogie géométrique, ni on n'introduit aucune solution de continuité incompatible avec les conditions géométriques de la description de la courbe.

Inversement, lorsque l'ordonnée d'une Ugne algébrique reçoit une expression de forme transcendante; lorsqu'elle est exprimée, par exemple , au moyeu d'une

série, l'expression transcendante comporte ordinairement des solutions de' continuité étrangères au tracé géométrique. C'est ce qui arrive pour l'équation {q) du n® II 3, dont le second membre représente l'ordonnée d'une ligne droite , mais entre certaines limites seulement; et nous verrons que les exemples du même fait analytique peuvent être multipliés à l'infini.

209. Lors donc qu'il est question de la correspondance de la géométrie et de l'algèbre , il faut prendre le mot d'algèbre dans le sens étroit, et entendre qu'il s'agit seulement des lignes exprimées par une équation algébrique entre des coordonnées rectilignes, menées parallèlement à des axes fixes. Cette correspondance résulte des propriétés des équations algébriques, rappelées ci-dessus, et de ce fait primitif que, dans un pareil système de coordonnées, toute équation du premier degré à deux variables représente une droite indéfiniment prolongée.

Le sentiment de ce rapport avait induit Descartes à donner la dénomination de courbes géométriques à toutes celles que représentent des équations algébriques à deux variables, dans un système de coordonnées parallèles à des axes fixes. Il appelait par opposition courbes mécaniques les courbes exprimées dans un pareil système de coordonnées par des équations transcendantes, telles que les spirales ou la cycloîde : mais ces dénominations vicieuses ont cessé d'être en usage. Il n'y a aucune difficulté à appeler courbes algébriques celles que Descartes qualifiait exclusivement de géométriques ; tandis qu'il est impossible de fixer par une définition précise le caractère des courbes géométriques , bien que l'on conçoive que cette dernière dénomination

est philosophiquement applicable à certaines courbes et non à d'autres. Ainsi la cycloîde comme l'ellipse sont évidemment des courbes dont la génération peut être conçue et dont les propriétés nombreuses peuvent être '' étudiées d'après des considérations de pure géométrie , , indépendamment de l'emploi de l'algèbre et de toute '• convention sur un système de coordonnées arbitraires : ce sont donc à ce titre des courbes géométriques. Au contraire, si l'on écrivait au hasard une équation algébrique à deux variables^ de degré quelconque, ou une équation transcendante de forme bizarre, il n'arriverait que très-accidentellement que le lieu d'une pareille équar tion jouit de propriétés géométriques d'après lesquelles on pourrait concevoir et définir la génération de la courbe, indépendamment des axes arbitraires auxquels on les rapporte, et de la relation entre les valeurs numériques de ses coordonnées, qui résulte de l'équation écrite. Une telle courbe serait encore algébrique ou transcendante, comme l'ellipse ou la cycloîde, mais ne devrait pas être réputée géométrique.

210. Les courbes algébriques ne peuvent pas plus avoir de points saillants que de points de rupture : car, si l'on élimine ^ entre l'équation d'une courbe algébrique

délivrée^de radicaux et de dénominateurs , et sa dérivée immédiate

on obtiendra pour résultante une équation algébrique en x,y, délivrée aussi de radicaux et de dénominateurs ; en sorte que la courbe dérivée, dont x est l'abscisse et

/ l'ordonnée, ne pourra avoir de points de rupture; ce qui arriverait nécessairement s'il y avait des points saillants sur la courbe primitive.

Il ne peut non plus y avoir sur une courbe algébrique de points singuliers où le rayon de courbure passe brusquement d'une valeur finie à une autre : car le rayon de courbure est une fonction algébrique des dérivées y\y'\ et la dérivée^" est, aussi bien que y, une fonction algébrique de x. Il en faut dire autant de la dérivée /(♦*), n étant quelconque.

Donc les solutions de continuité d'un ordre quelconque, que peut éprouver une fonction algébrique, résultent toujours du passage par l'infini de Tune de ses fonctions dérivées et des dérivées subséquentes , et jamais de ce que tes fonctions dérivées, à partir d'un certain ordre, passent brusquement d'une valeur finie à une autre.

21 1. Lies points de rupture et les poiats saillants des courbes à équations transcendantes ne peuvent être déterminés que par une discussion spéciale, appropriée à la nature des fonctions transcendantes qui entrent dans l'équation de la courbe. C'est ainsi que l'on reconnaît,

par la nature de la fonction e ^, qui devient nulle ou infinie poura;=o, selon que a: converge vers zéro en passant par des valeurs positives ou négatives , que la branche de la courbe (r) dont les abscisses sont positives , s'arrête brusquement au point a:=o,jr= i . Considérons la courbe qui aurait pour équation

la fonction jy s'évanouit pour x=:o^ soit qu^on fasse

passer j; par une série de valeurs positives ou par une série de valeurs oégatiyes; car l'expression de^ devient

dans les deux cas — =0,-= o. Donc la courbe passe

QO I

par l'origine et s'étend du côté des abscisses négatives comme du coté des abscisses positives. En passant aux fonctions dérivées on a

Si maintenant on pose 3c=Oy on trouve^=;=o ou^'=i, selon qu'on fait passer x par des valeurs positives ou négatives pour arriver à la limite zéro. L'origine des coordonnées est donc un point saillant de la courbe : la branche dont les abscisses sont positives venant toucher l'axe des x en ce point, tandis que la tangente à l'autre branche au même point est inclinée de 45*^ sur cet axe. On trouverait de même que l'origine est un point saillant de la courbe donnée par l'équation

j=ararc tang- 7 (2)

qui a pour dérivée

/ = arc tang : — à >

car, selon que x converge vers zéro en passant par des valeurs positives ou négatives, il vient à la limite j^'=^ir, y — — Lit. Au resté, par les raisons que nous avons indiquées, la discussion de ces sortes de courbes intéresse peu la géométrie , et ne doit pas nous arrêter longtemps. 212. La courbe dontjr est l'ordonnée subit une inflexion, lorsque sa dérivée f passe par une valeur maximum ou minimum^ soit qu'il s'agisse d'un maximwn ou minimum ordinaire, auquel le principe de Kepler est applicable, soit qu'il s'agisse d'un maximum^

OU mùùmiun singulier, correspondant à une solution de continuité de la fonction y. Les règles pour la détermination des maxima et minima des fonctions explicites ou implicites d'une seule variable s'appliquent donc directement à la détermination des points d'inflexion des courbes, sans qu'il soit besoin de chercher pour cela des procédés particuliers. Le point d'inflexion est caractérisé ordinairement par l'équation ^"=o, et accidentellement par l'équation /"= ± oo ; mais il peut se faire que l'une ou l'autre de ces équations soit satisfaite, sans que la courbe subisse d'inflexion au point correspondant.

Lorsque la courbe sera donnée par une équation algébrique {a)^ délivrée de radicaux et de dénominateurs, on éliminera y entre cette équation et sa dérivée immédiate {ci) : l'équation résultante, déterminant implicitement y en fonction de Xj servira à déterminer les valeurs de x qui répcmdent à des maxima ou à des minima de la fonction y^ et par suite à des points d'inflexion de la courbe proposée.

Considérons la courbe représentée par l'équation

fzzzax' + bx^, (3)

qui^ suivant que le coefficient a est supposé positif, nul ou négatif {b étant toujours positif), prend l'une des trois formes indiquées par \ef&fig. Sy , 58 et Sg. On tire de réquation (3)

(aa+3&^ .,^b\a+\bxr ^,/>__9*!fl •^ — /i{a+bx) ' ^ ~ [a+bxf ' ^ ~ 6/i.{a+bxY

Les valeurs de x qui rendent^' un maximum ou un minimum sont données par l'équation a + j bx = o. Si a est positif, la valeur de x qu'on en tire rend

y et j" imaginaires. Cette valeur ne peut donc correspondre à un point d'inflexion de la courbe.

Si a = o,y passe par Tinfini au lieu de s'évanouir, pour X :=o, et la courbe proposée, qui devient la parabole de Neil [197], ne peut encore avoir de points d'inflexion , puisque les valeurs négatives de x rendent y etj- imaginaires.

Mais, si le coefficient a est négatif, la courbe subit deux inflexions aux points dont la commune abscisse

esc X " Q / •

L'équation (i) donné

et la courbe transcendante que cette équation représente a par conséquent un point d'inflexion correspondant à Tabscisse .r= 7.

La recherche des points de courbure maximum ou minimum se ramène, ainsi qu'on l'a vu [194] 7 à 1^ ^é** termination des valeurs de x^j^ qui rendent un maximum ou un minimum le rayon de courbure p , en même temps qu'elles satisfont à Téquation de la courbe proposée. Si cette équation est algébrique, on pourra toujours arriver par l'élimination aune autre équation algébrique en X, p; et l'on n'aura plus qu'à appliquer les règles ordinaires à la détermination des valeurs de x qui rendent la fonction implicite p un mxiximum ou un minimum..

213. On appelle points multiples ceux où plusieurs branches de la même courbe viennent se rencontrer, soit qu'elles ne fassent que se couper, soit qu^elles se touchent : auquel cas il y a intersection en même temps T. I. * 24

que contact^ seloa qae le contact se trouve d'ordre pair ou d'ordre impair [ao5]. Une seule branche, en se repliant sur elle-même , peut offrir également des points multiples. Le point multiple est double, triple, quadruple, selon que la rencontre a lieu entre deux, trois,

quatre, branches ou portions de la même courbe;

et alors , dans le voisinage immédiat du point multiple,

l'ordonnée a deux, trois, quatre valeurs réelles

correspondant à la même abscisse.

Il est essentiel de séparer, dans la discussion des points singuliers, les points m\A\\^\es par simple intersection des points multiples par contact : vu qu'on détermine sans ambiguïté par une méthode générale, au moins pour toutes les courbes algébriques, les points multiples de la première catégorie; tandis qu'on ne distingue que par tâtonnements les points multiples par contact, des points conjugués et des points de rebroussement, ainsi que nous l'expliquerons.

Soit toujours

l'équation de la courbe que nous supposerons algébrique, cette équation étant délivrée de radicaux et de dénominateurs : sa dérivée du premier ordre dF . dF ,

donnera à y une valeur réelle et unique , toutes les fois

dF dF y, . ^ . 1 / T>

que-T-, -T- ne s évanouiront pas simultanément. Donc,

pour que la courbe puisse offrir un point multiple par simple intersection, il faut d'abord qu'on ait ^F dF

et par suite la dérivée du second ordre fiPF «PF , «PF ,, . rfF „

^ + ^^^ + ^^-»-rfJ^ =° («)

se réduira à

iTF d'F <f F „

pour les valeurs de x^j-, qui satisfont simultanément aux équations (a) et (b). Lorsqu'on en tirera pour y deux valeurs réelles et inégales, la courbe aura un point double par simple intersection.

Soit proposée, par exemple, l'équation

qui représente une courbe {jftg- 60) connue sous le nom de lemniscate : les équations {b) et (c) deviendront

j? ( a» — or* ) — x^ = o , ;^= o , y* = — •

On en conclut que l'origine des coordonnées est un point double oïl deux arcs de la courbe se coupent à angles droits, les deux tangentes étant inclinées de 45® sur l'axe des abscisses. D'ailleurs les deux arcs qui se coupent s'infléchissent au point d'intersection, et par conséquent l'origine est un point de la courbe, doublement singulier; car les équations en y\ x et/''', x sont

et elles donnent /'=© pour x=:o, tandis que/'" conserve une valeur finie.

On trouverait de même que l'origine est un point double de la courbe (3) : les deux tangentes faisant avec l'axe des abscisses des angles qui ont pour tangentes trigonométriques l/^â et — J/â. Le paramètre a est supposé positif (^^. 57).

372 LIVRE lY. CHAPITRE IV.

214. Cette règle peut quelquefois s'appliquer aux courbes ti'anscendantes , et servir à déterminer des points saillants multiples. Par exemple, soit proposée la courbe

f/ — xarctang-j — j7'cosj:=o: (5)

on trouve que les valeurs or =o,^=o satisfont aux

équations (a) et (è) , et l'on a

rf'F rf'F / I X \

df ^^ dxdy ^^*rc g^ i+^^y '

rf"F / I ^ \* 4(j — :rarctangî)

+ (:f' — 2)cos:FH-4^sinx.

L'équation (c) devient, pour les valeurs .r=o, /==o,

/•qp7r/+^ — i.=o,

et elle donne à y' les quatre valeurs distinctes

-+I, J, hl, I.

On reconnaît ainsi que, pour la courbe (5), l'origine des coordonnées est un point saillant oîi quatre arcs viennent se rencontrer sous des angles finis. Le point saillant de la courbe (2) ne pourrait pas être trouvé de

la même manière; car, bien que^' prenne à l'origine

df deux valeurs distinctes, --7- se réduit à la constante i , et

ne peut s'évanouir pour les valeurs a:==o,^=:o.