CHAPITRE V

PRmCIPES DE LA THEORIE DES LIGNÉS A DOUBLÉ COURBURE.

222. Une ligne est dëterminée dans Tçspace au moyen de deux équations entre les coordonnées x^y^ z qui expriment les distances d'un point pris sur la ligne à trois plans fixes, perpendiculaires entre eux ; et réciproquement, le système de deux semblables équations peut être représenté par une ligne tracée dans l'espace, dont x,j-y z désigneraient les coordonnées rectangulaires. La ligne est encore représentée graphiquement par les deux courbes planes qui sont ses projections sur deux des plans coordonnés, tels que ceux des xj et des x z. Les équation3 des lignes de projection sont celles qu'on obtiendrait en éliminant alternativement z et / entre les équations

/(^,j,z) = o, f(ar,7,z)=ro. (i)

au moyen desquelles la ligne est déterminée dans l'espace.

On peut considérer cette ligne comme l'intersection de deux surfaces cylindriques qui auraient respectivement pour bases les lignes de projection sur les plans des xy et des xz^ et dont les droites génératrices seraient respectivement parallèles aux axes des z et des^.

En général, les lignes ainsi déterminées dans l'espace ne sont pas planes, c'est-à-dire que, non-seulement elles n'ont pas tous leurs points compris dans le même plan ^

mais qu'un arc de la courbe, si petit qu'on le suppose, ne peut pas être applique sur un plan. On les nomme alors lignes à double courbure : cette dénomination sera expliquée et justifiée par ce qui doit suivre.

En vertu des deux équations de la courbe, une seule des trois variables Xyj-^z peut être considérée comme indépendante : les deux autres, ainsi que leurs dérivées de tous les ordres, en sont des fonctions explicites ou implicites. Mais, pour l'avantage de la symétrie des formules, avantage d'autant plus précieux que les formules sont plus compliquées, il sera bon de traiter .r,/,z comme trois fonctions d'une même variable indépendante t. Afin de fixer les idées, on peut imaginer que t désigne le temps, et que la courbe est tracée par un point mobile dont le mouvement est défini par trois équations entre j;,/, z, ^. Si l'on forme deux combinaisons de ces équations prises deux à deux, et que l'on élimine t entre les deux équations de chaque groupe, on aura les deux équations de la courbe.

223. Concevons que l'on ait mené la corde qui joint deux points (^,7,2), (x-\-\Xyj'-\-AjyZ-\-\z)^ l'un et l'autre pris sur la courbe : en vertu de principes connus, cette corde a pour longueur

et les équations de ses projections sur les plans des xjet des xz sont

^yiï,K désignant les coordonnées courantes. Enfin elle forme avec des parallèles aux axes des .r, des jy et des z, menées par le point {■v^'-yZ) dans le sens des coordonnées positives, des angles qui ont respective-

386 tlVHB IV. CHAPITRE V.

ment pour cosinus

zfcAr lizAj ±Az

l/Ar*4-A7*+A? ' l/Aa:VA/+Aj8' ' |/ Aa:*+A/+A^* ' Quand le second point se rapproche indéfiniment du premier, la corde approche indéfiniment d'une position déterminée, qui est celle de la tangente à la courbe dans l'espace : en même temps les projections du second point sur chaque plan coordonné se rapprochent indéfiniment des projections du premier point, et la projection de la corde tend à prendre une position déterminée, qui est celle de la tangente à la ligne de projection. Donc les tangentes aux lignes de projection sont les projections de la droite qui touche dans l'espace la ligne projetée; et cette droite tangente est déterminée par le système des deux équations

lesquelles entraînent la suivante

Il est plus symétrique et par conséquent plus élégant de comprendre ces trois équations dans la formule

dx dy d% .

laquelle se résoudra à volonté en deux équations distinctes, d'autant^de manières que l'on peut former de combinaisons deux à deux ecitre trois lettres. Les formules de cette espèce se présentent souvent dans les applications de l'analyse à la géométrie aux trois dimensions.

Si l'on désigne par a, p, y les angles que la tangente à la courbe forme avec les parallèles aux axes des Xyf^Zy

Des tiCNËS A DOUBLï: COURBURE. 387

dans le sens des coordonnées positives, on a aussi

■ ^ ^3 COSfli^ ^ =r, C0Sy=: — (Z\

ou bien, à cause de cos*a-[-cos*p-|-cos*y= i ,

On entend par la longueur de l'arc d'une ligne à double courbure, la limite dont s'approche indéfiniment la longueur d'une portion de polygone gauche , inscrite à Tare et terminée à ses deux extrémités, quand le nombre des côtés augmente sans cesse et que chaque côté décroît indéfiniment, D'après cette définition, si s désigne la longueur de l'arc d'une ligne à double courbure, mesurée à partir d'un point pris arbitrairement sur la ligne, on a

dsz=±: [y^dx^-i-df+dz^ , (a)

selon que Tare croît ou décroît, et que la différentielle ds est positive ou négative. Ainsi l'on peut écrire

, ctp ^ i^dr ,dz

cosa=z±:-r-, cosp=±-j-, cosy=:±— • ds ds ' ds

Nous regardons l'équation (a) comme la définition analytique de la grandeur Sn conformément à la remarque déjà faite [174]- O*^ y parviendrait aussi, en imaginant que la portion de surface cylindrique qui contient l'arc s et sa projection w sur le plan xj-, s'étale sur le plan mené par la tangente à Tune des extrémités de l'arc s et par la tangente à l'extrémité correspondante de Tare u. Dans cette opération l'arc s devient , sans changer de longueur, un arc de courbe plane; l'arc u . devient, aussi sans changer de longueur, une portion de ligne droite; et l'on a, d'après ce qui a été établi pour

les courbes planes ,

du'zizdx'' 4- df , ds'=du'' + dz"" , d'où

ds'^dai''\^df+dz' .

224. On entend ^dx plan tangent à -une ligne dans l'espace, tout plan qui contient la tangente à cette ligne : ainsi, la ligne a en chaque point une infinité de plans tangents.

Il y a aussi, en chaque point, une infinité de normales à la courbe ou de droites perpendiculaires à la tangente; le plan tjui les comprend toutes est le plan normal à la courbe en ce même point. Si l'on désigne par Ç,Y)9^ les coordonnées courantes du plan normal au point (x,/, z) , son équation est, selon les principes de la géométrie analytique, et en vertu des équations (2)^

{\—x)dx + \y\—Y)dy+{X.— z)dz = o. (b)

La différentiatioD des équations (i) donne

^/^ d/^ dfj df ^ di^ dl^

d'où l'on tire, au moyen des équations (a) et (3),

rff,, , rff, , rff,, , 1 (4)

df df „ df

^cosa+^cosP+^cos,==o,

rff df „ df

Soit, pour abréger,

dy dz dz dy '

DES LIGNKS A DOUBLE COURBUHK. 389

dz (Ix dx dz '

dx dy dy dx les équations (5) donaeront

cos a cos p cos Y I

Les équations de la tangente seront aussi , en vertu des équations (4),

et celle du plan normal deviendra

L($ — a:) + M(Ti— 7) + N(C— ^)=o, 225. Concevons qu'à partir du point (^, /, z), indiqué par la lettre m {^fig, 70), on prenne sur la courbe

une suite de points m,, m,, aw^, , très-rapprochés

les uns des autres, et qu'on les joigne par des cordes , de manière à former un polygone gauche, dont le périmètre approche d'autant plus de se confondre avec la courbe, que les sommets sont plus rapprochés. Deux (ptés consécutifs mw„/w,m. déterminent un plan qui se déplace un peu dans l'espace , en continuant de passer par le point m, quand les points m,, m, se rapprochent de plus en plus de w, et qui se déplace d'autant moins (sauf les cas de solution de continuité) que les points m y m,, m, sont déjà plus rapprochés. Ce plan tend en général vers une position déterminée que le calcul assignera, quand on établira l'équation du plan en traitant les distances m/w,, m^m^ comme des quantités infiniment petites. On dit alors, que le plan a été assujetti à passer par trois points infiniment voisins; et à moins que la courbe n'éprouve au point m une so-

lutioii de continuité du second ou du troisième ordre, il est indifférent de prendre les points m^^ m^ tous deux en deçà ou tous deux au delà , ou Pun en deçà et l'autre au delà du point m.

Nous entendons par solutions de continuité de la courbe les solutions de continuité des coordonnées X, jy z y considérées comme fonctions d'une variable indépendante t, quand d'ailleurs ces solutions de continuité ne dépendent point de la direction arbitraire des axes coordonnés.

Le plan qui passe par deux points infiniment voisins /72, n\^ passe par la tangente, ou se trouve compris parmi les plans tangents à la courbe au point m. Le plan qui passe par trois points infiniment voisins /w, w,, w,, s'appelle le plan oscillateur de la courbe au point m, par analogie avec le cercle osculateur d'une courbe plane, que l'on peut considérer comme déterminé par la con* dition d'avoir avec la courbe trois points communs , infiniment voisins [204]'

Soit A un plan quelconque mené par le point niy et m^ un point de la courbe , distant de m d'une quantité très-petite du premier ordre [45] : la distance de /w, au plan 4 6st en général une quantité de même ordre que la corde w//î,, ou une quantité très-petite du premier ordre. Soit B un plan tangent à la courbe mnij : la distance de m^ au plan B est une quantité très-petite du second ordre. Enfin désignons par C le plan osculateur en m : la distance de m^ au plan C devient une quantité très-petite du troisième ordre. Donc à fortiori on peut toujours prendre le point m, assez voisin de m pour qu'il se trouve plus rapproché d'un plan tangent quelconque que d'un autre plan quelconque, et plus rap-

proche du plan osculateur que de tout autre plan tangent. Pour abréger^ nous omettons la démonstration rigoureuse de ces diverses propositions , qui résulterait de calculs analogues à ceux des u"^ ao3 et suivants, et qui ne nous sera pas nécessaire dans ce qui doit suivre.

226. Si l'on désigne par ^^ -ri, ^ les coordonnées courantes du plan osculateur au point (Xy y^ z) , son équation sera de la forme

Xy Y, Z désignant des coefBcients inconnus qu'il s'agit

de déterminer. Cette équation doit subsister quand on

y remplace x, jy z par ,r-[-//;r, y'\-dj^ z-^-dz, et

ainsi l'on a

Xdx + Yrfj + Zdz = o ; (£?')

enfin ces deux équations doivent encore subsister quand on y remplace à la fois

or, jjjs; fltr, dfy, dz par

x-i-dxy X+d/y %+dz ; dûC+(tx^ dy+â^y^ dZ'\-tPz , ce qui donne

Xif ^-4- YéTj-h Id^z = o . {c")

Lorsque l'on combine ces trois équations de manière à éliminer deux des trois inconnues X, Y, Z, la troisième s'en va en même temps ^ et il reste .pour l'équation du plan osculateur

{dyd^z — dziTy) (5—^) + {dzd^x — dxttz) (*l— 7) + {dxd^y -^djrd^x) (Ç— js) = o ;

mais, afin d'abréger l'écriture, on peut conserver l'équation du plan osculateur sous la forme (c), en posant les équations auxiliaires X=rf^rf*z— rfjwjy, Y-nzdzd^x — dxdj'z^ Ts^Ddxd^y-^dyd^x.i^