Nous avons trouvé pour l'équation du plan nor
mal au point {xy y, z).
i^—x) dx + (*1— j) dj + (C— z) rfz = o • ■ (*)
Si l'on veut, avoir l'équation du plan normal mené par un point infiniment voisin , il faut ajouter au premier membre de l'équation précédente sa différentielle par rapport à toutes les variables. Pour les points situés sur la droite d'intersection des deux plans normaux infiniment voisins, on a donc, outré l'équation précédente, celle qui s'en déduit par la différentiation , savoir
ou
Cette ligne d'intersection des deux plans normaux pénètre le plan osculateur en un point (Ç,»,Q, dont les coordonnées doivent satisfaire aux trois équations (i), (i'), (c). Ce point est le centre d'un cercle qui passe par trois points de la courbe infiniment voisins, ou le centre du cercle osculateur. En effet, puisque, dans la détermination géométrique du cercle osculateur d'une courbe plane n'entrent que deux éléments consécutifs et infiniment petits de la courbe, et que deux éléments consécutifs d'une courbe quelconque sont compris dans un même plan, ou plutôt déterminent ce plan, qui est le plan osculateur, la construction du cercle osculateur s'adapte aux courbes quelconques, comme aux courbes planes. Si l'on pose
le rayon p du cercle osculateur fera avec les parallèles aux axes des r,^, Zy des angles X, [x, v, donnés par les équations ±pcosX = Ç — x^ ±:pcosfA=:>i — -j , -f.pcosv = Ç — % .
La courbure de la ligne, dans son plan osculateur, a pour mesure - ; et l'angle de contingence rfr [igS] est lié à p par l'équation
228. Les équations (è), (A'), (c) donnent immédiatement par l'élimination des binômes Ç — x, tq — ^^ ^ ds\lLdx—Ydx)
lL{dxd'z~-dzdy)+Y{d2tPx—dj;d'z)+Z(dxePx—dxd'x) ds\\dx—Ydx) .
— X* + Y' + Z* ' et l'on en déduit par le simple échange des lettres,
ds*{Zdx — Xdz) 1 r— x'H-Y'-f-Z* ' ds'(Ydz—Zdy).
^ ^~ X'+Y' + Z* ' puis il vient
ds l^(X' + Y'+ Zys' — (yjdx + Ydy + Zd^f ,
ou bien , en vertu de Téquation (c'),
Par un calcul analogue à celui du n" 196, on trouve X* + Y' + Z*=rf**(rf'x' + rfy + ^"2*— «T*') ,
ce qui permet de donner à l'expression du rayon de courbure les deux formes . . ^^ ds'
UTRE IV. CHAPITRE V.
On trouverait encore directement Xrfj— Ydx=z d^z{dx^ + rf/') — dzidxi^x 4- dyJ^y) = d^z {ds" -^dz') — dz(dsd*s — dzd'z)
dz
=d^zds^ — dzdsd^s -z^ds^ d. —,
ds
et par suite
. dx , dy .dz
^ ds ^ ds , «*
Donc
rf.^ rf.$: rf*
.05 a5 as
cosA = ±p ^, cosjA=::±:p ^, cosv==±p — ^ .
Enfin la formule (d) donne pour la valeur de l'angle de contingence rfr,
On obtient directement cette dernière formule, et par suite la formule (pa) à l'aide d'un calcul fort simple. Soient
cos a , cos p y ces Y ; cos a + A cos a , cos p -h A cos ^ , cos y -f- A cos f , les cosinus des angles que forment respectivement avec les axes des Xyj^ z, des droites menées par l'origine parallèlement aux tangentes de la courbe aux points
(a:,7,*),(;r-hAa;,7-*-Ar, z + Hz) ^ et désignons par t l'angle fini compris entre ces deux droites : on aura , par les formules connues de la géométrie analytique^
DES LIGJfBS A DOUBLE COURBURE. 395
cosT==coSa(cosa+Acosa)+co»p(cosp-4-Acosp)-4-cosY(cosY-4-AcosY)^ I ==cos*a-hcos*P-f-cos*Y , I =(cosa-4-Acosa)*-|-(cosP+Acosp/-h(cosY+-Aco5Y)* ;
d'où Ton tire 2(1 — cosT)=cos*a — 2COS«(cosa-|-Acosa)-h(cosa-|-Acosa)* -l-cos'p — acosP(cosp-hAcosP)-|-(cosp-hAcosp)* -t-cos*Y — 2cosy(cosy4-Acosy)-I-(cosy+Acosy)* , ou bien
f^sin - j =(Acos«)* + (Acosp)* + (AcosY)*
. Maintenant , si l'angle t devient infiniment petit , ce que nous exprimons en remplaçant t par dr^ il faudra remplacer dans l'équation précédente A parrf; et comme le sinus d'un arc infiniment petit se confond avec l'arc, on retombera sur la formule (r).
229. Admettons, ce qui est toujours permis, que le plan osculateur devienne parallèle à celui des xj- : on aura dz=o , cf^z=Oj d'où X=: o, Y =o,
^ dxcTjr — dyd^x mais ceci est l'expression du rayon de courbure de la projection de la courbe sur le plan xj\ 196] ; et l'on trouverait aussi pour \ — x^i\ — y des valeurs qui s'accordent avec celles des coordonnées du centre de courbure d'une courbe plane ; d'où il faut conclure que le rayon de courbure d'une ligne quelconque tracée dans l'espace, se confond en grandeur et en direction avec le rayon de courbure de la projection de cette courbe sur le plan osculateur.
