Appliquons les formules précédentes à l'équation

qui appartient ( comme il est facile de le voir d'après sa forme ) à la surface engendrée par la révolution d'une hyperbole autour de son axe non transverse : surface que l'on désigne sous le nom Shyperbohïde de révolaiion à une nappe , pour la distinguer de Xhyperboloîde de révolution à deux nappes y décrit par la rotation d'une hyperbole autour de son axe transverse.

On trouve pour l'équation du plan tangent

Lorsqu'on y considère Ç , "ji ,î comme des constantes , et Xj y^ z comme les coordonnées courantes , cette équation appartient à un plan qui coupe l'hyperboloïde suivant une courbe, lieu des points de contact de l'hyperboloïde

avec tous les plans tangents assujettis à passer par le point (Ç> Y) 9 0* U*^ calcul semblable, appliqué à Téquation générale des surfaces du second degré, montre également que si, par un point donné, on mène des plans tangents à Tune quelconque de ces surfaces, le lieu de tous les points de contact est une courbe plane du second degré. Il en résulte que la surface conique, circonscrite à une surface du second degré, est un cône du second degré.

Si le plan tangent (7) coupe l'h^perboloïde en même temps qu'il le touche , les équations de la ligne d'intersection sont données en Ç, tj , 2^ par la combinaison de l'équation (7) avec la suivante.

Or, la combinaison des équations (6), (7) , (8) donne

ou bien

et cette dernière équation se décompose en

L'une ou l'autre de ces équations , associée à l'équation ( 7 ) , représente une droite. Donc le plan tangent coupe la surface suivant deux droites menées par le point de contact : chacune de ces droites se déplace avec le point (^,^, 2), et conséquemment Fhyperboloïde peut être décrit par chacune de ces droites mobiles.

Rien n'empêche de faire, dans les équations (6) et (7), 2=0 , ce qui revient à prendre pour le point de contact

BBS PLANS TAUGENTS. 415

im des points du cercle :r'-j-jK*=eï*, suivant lequel l'hyperboloïde est coupé par le plan a:j: L'équation (7) se réduit alors à :rÇ-j-^=a*, et elle exprime évidemment que les droites mobiles dont il était question tout à l'heure ont pour projection sur le pjan jcj- des droites tangentes au cercle engendré par la rotation de l'un ou de l'autre des sommets de l'hyperbole. On donne à ce cercle le nom de cercle de gorge ou de ligne de strietion.

240. Mettons l'équation d'une surface sous la forme z-=f{^x^y) : on aura [157]

dx^ dxdy ^

^ dr ^ j

-0 désignant un nombre compris entre zéro et l'unité. Soit

l'équation d'un plan quelconque, assujetti à passer par le point (^, /, z) : son ordonnée ^, correspondant aux abscisses Ç=^-|"^^^ ^n ==/-{- A^, a pour valeur

/(a?+A^,7 + A/)— C = (/?— /w)Aar+(gr— /î)A/

*L da^ dxdy ^

^ d^fjx^^l^.y+^t^y^^A ^

IsjCy by étant des quantités très-petites du premier ordre et d'ailleurs quelconques , la différence des ordonnées de la surface et du plan

/(a: + Aa:,7-f.Aj)— C (A)

416 LIVRE IV. CHAPITRE Vf.

est une quantité très-petite du premier ordre , tant que

les termes

{p—m)Lrrir{q—n)^jr^

vis'à-vis desquels on peut négliger la seconde partie de la valeur de (a), ne s'évanouissent pas; mais si l'on a m==Pf n=:qy ou si le plan {%') se confond avec le plan tangent (a), la différence (à) se réduit à une quantité très-petite du second ordre. D'ailleurs on reconnaît aisément que la perpendiculaire abaissée du point (j;-|- Ax, ^-j- A^, z -j- Az ) sur le plan {%) est en général une quantité de l'ordre de (A). Donc on peut considérer le plan tangent comme un plan qui -se rapproche de la surface, dans le voisinage du point de contact, plus que ne le ferait tout autre plan passant par le même point [2o3].