Quand les droites génératrices ont une envc

loppe^ et que l'équation (4) est satisfaite^ les équations (6) deviennent, par la substitution de la valeur de trf'a,

d'oïl l'on tire, en vertu des équations (5),

Si la fonction ,(p était donnée, on éliminerait a entre ces dernières équations , et l'on en tirerait

p=jiq . (n)

Tant que la fonction ç reste arbitraire, la fonction n qui s'en déduit conserve la même indétermination ; et réciproquement l'indétermination de n maintient l'indétermination de (f : les surfaces développables sont donc caractérisées indifféremment, ou par le système des équations (3) et (4) qui renferment les coordonnées Xy y y z et trois fonctions arbitraires , dont deux indépendantes; ou par l'équation (K) qui ne renferme que les dérivées p etq sous un signe unig;4e de fonction ar-. bitraire.

On fait disparaître te signe Eien passant aux. dérivées du second ordre, et il vient, comme on l'a déjà trouvé [.68],

rt — *»iz=o .

Le plan tangent à une surface développable touehe la surface sur tout le prolongement de ia droite génératrice comprise dans ce plan tangent. En effet, la condition pour le plan tangent de passer par une génératrice donnée établit, pour tous les points de contact situés sur cette génératrice, la même équation de condition entre les dérivées/?, q; et si l'on y joint l'équation (n), les quantités /?, 5^ se trouvent individuellement détermi-

nées, et ont mêmes valeurs pour tous ces points de contact.

De cette proposition établie pour les surfaces développables il faut conclure inversement que , pour les surfaces gauches, le plan tangent qui comprend toujours la génératrice menée par le point de contact , ne touche pas la surface, et par conséquent la coupe en tout autre point de la droite génératrice.

246. I^s surfaces développables sont ainsi appelées parce qu'elles peuvent s'étaler ou se développer sur un plan sans déchirure ni duplicature , ou sans qu'une ligne quelconque, tracée sur la surface, ait été raccourcie ou allongée dans aucun de ses éléments. Considérons en effet une suite de génératrices infiniment voisines, m\L^ ^Jf*^^ m^]f,^ , . . . {fig- 72 ) i qui se coupent deux à deux, de manière à avoir pour ligne enveloppe le polygone gauche infinitésimal (xjji,(jl, ..... L'élément plan m^un^ pourra tourner autour de la droite //i^pipt.,, pour venir se rabattre sur le plan de l'élément contigu m^iL^m^; ces deux.élé* ments , ainsi ramenés dans un même plan, se rabattront à leur tour sur le plan de l'élément m^}f.jmi^ et ainsi de suite. Nous reviendrons dans le chapitre suivant, par d autres considérations , sur cette propriété des surfaces développables et sur les conséquences qu'on en peut tirer.

La ligne (jl(i.i|jl,,. . . ou l'enveloppe des génératrices iW(t, /w,(ji,, /72t(t,, etc., se nomme X arête de rebroussement de la surface développable qui est le lieu de toutes ces génératrices. Chaque ligne à double courbure peut donc être considérée comme l'arête de rebroussemeot d'une surface développable , décrite par une droite qui se meut en restant tangente à cette ligne. En con^é-

quence^ pour compléter la théorie des lignes à double courbure, il convient de la rattacher à celle des surfaces développables , ainsi que nous le ferons plus loin.

L'arête de rebroussement peut se réduire à un point, comme cela arrive pour les surfaces coniques qui sont évidemment développabléà. Quand le point d'intersection de toutes les génératrices s'éloigne à Tinfîni, la surface , sans cesser d'être développable , devient une surface cylindrique. Nous allons traiter plus particulièrement de ces deux familles de surfaces développables.

Famille des surfaces cylindriques.

247. Mettons les équations de la droite génératrice sous la forme

a7 = £iz+a, x = bz'^P; (il)

on aura entre les paramètres variables a , ^ , une liaison

d'où

J— i^=^(a?-^flJ3) . (12)

Tant que les coefficients a^ é et la fonction ç conservent leur indétermination , l'équation (12) convient à une surface cylindrique quelconque. Si l'on assigne aux coefficients a , b des valeurs numériques , on assujettit les génératrices à faire, avec les parallèles aux axes des coordonnées, des angles déterminés.

Après avoir pris les dérivées de l'équation ( i^) par rapport à chacune des variables indépendantes x^ /^ on éliminera à la manière ordinaire la fonction 9% et il

viendra

ap + bq=^i ^ (i3)

équation aux différences partielles, qui a précisément la

même étendue que l'équation ( 1 2) dont elle dérive. D'après la signification géométrique des dérivées /?, gr, Téquation (t3) exprime que le pian tangent est toujours parallèle à la droite .x=zaz,jr=^èz;etVùn aurait pu s'appuyer sur cette propriété du plan tangent (aux surfaces cylindriques, pour écrire directement Téquation (.3).

248. On donne le nom de section droite à la courbe d'intersection d'une surface cylindrique et d'un plan perpendiculaire à ses génératrices. Pour déterminer cette section droite , ou, plus généralement , pour déterminer la fonction arbitraire ç qui entre dans l'équation ( 12) , on peut assujettir la surface à passer par une courbe directrice donnée [2^':^]. Soient

les équations de la directrice : on éliminera \r, /, z en* tre les équations (11), \fi^)t et il viendra pour résultante une équation de la forme

qui doit être identique avec (9)9 et qui détermine par conséquent la fonction 9. D'ailleurs , si l'on remet dans l'équation (F), pour a et p leurs valeurs eax^j, z, il

viendra

F(^— azy y — i^)=o , (i4)

et ce sera l'équation de la surfieice cylindrique demandée» Dans le cas où la courbe directrice serait tracée dans le plan xy et aurait pour équation.

/(^,7} = o , r^uation (F) se changerait en /(«, lî)=±:o;, et Ton au^ rait pour l'équation (j4)

f{x — az ^ y — iz) = o . (i 5}

Cette dernière équation exprime que la section de la. surface par un plan parallèle à celui des xy^ dont l'or* donnée est z,se projette en^ suivant une ligne identique avec la directrice , et qu'on obtiendrait en faisant glisser la directrice sur le plan xy^ parallèlement à la droite dont

l'angle avec l'axe des x a pour tangente - , de manière

que tous les points de la directrice décrivissent des portions de droites parallèles, égales en longueur à zl/^»-!-^». Par conséquent, l'équation ( i5) a un sens géométrique déterminé; et elle ramène à des constructions faciles tous les problèmes que Ton peut se proposer concernant les surfaces cylindriques , sans qu'il soit besoin de faire perdre à la fonction y* de sa généralité, en lui attribuant une expression mathématique; au lieu que l'équation (i4) n'a par elle-même aucun sens , quand l'élimination entre les équations (i i), (,/"), (f) n'est pas praticable, ou lorsque les fonctions /* et f cessent d'avoir une expression mathématique. Toutefois, du moment que la courbe directrice est donnée par le tracé de ses projections sur deux plans rectangulaires , la géométrie descriptive enseigne à construire par points la courbe d'intersection de la surface cylindrique et d'un plan donné, tel que celui de xy : de sorte que le système d'opérations graphiques usitées dans cette branche de la géométrie se rattache à la théorie des fonctions continues quelconques , comme tenant lieu d'éliminations analytiquement impossibles.

Si la surface cylindrique doit être tangente à une surface définie par une équation telle que (/*) , comme dans le problème des ombres lorsque le point lumineux s'éloigne à l'infini, on tirera de ( /) les valeurs de/?, y en .r,/, Zy et on les substituera dans l'équation (i3), ce qui

donnera une seconde équation ( f ) appartenant à la ligne de contact du cylindre et de la surface (^f). Rien n'empêchera de prendre cette ligne de contact (/*, f) pour directrice, et d'achever la solution du problème comme précédemment.

Famille des surfaces coniques.

249. Les équations de la droite mobile qui décrit une surface conique en passant constamment par le point {^oiTo^ ^o)> peuvent être mises sous la forme

or— Xo = a (r— Jo) , ^ — 2, = p {x—x'o) . (i6) On doit supposer les paramètres a, ^ liés par une équation telle que ((f) , et alors il vient

Tant que les constantes .x'c^o» ^o et le signe ç conservent leur indétermination , cette équation est propre à représenter une surface conique quelconque. On élimine la caractéristique 9 par le procédé ordinaire , et l'on tombe sur l'équation aux difTérences partielles

Z — z^=p{x—Xo)-\-q(jr—jro) -^ (18)

On y parvient encore directement en considérant que le plan tangent à la surface conique doit toujours passer par le point (^oi^o? -2^) 7 centre de la surface.

Lorsqu'on prend ce centre pour origine des coordonnées, l'équation (17) se réduit à

et, d'après sa forme , elle est homogène par rapport aux variables .r,^,z. Dans la même circonstance, l'équation (18) devient

ce qui s accorde avec le théorème des foactions homogèues [1S12].

Si la surface conique a pour courbe directrice la ligne (/, f), ou élimijQera 02, jr, ^ entre les. équations (16), {/)'> (f)>ceqi^* conduira à une équation finale (F), laquelle détermine implicitement la fonction (p. Remettant pour a , p leurs valeurs en ^, ^, 2, on aura pour l'équation de la surface conique

Dans le cas où la fonction f ne serait pas donnée directement, mais devrait être déterminée par la condition que la surface conique touchât la surface (./*), cas qui se présente dans le problème des ombres lorsque le point lumineux est à une distance finie du corps opaque placé sur le trajet des rayons, on tirerait de l'équation (/') les valeurs de/?, ^ en a:, /, z ; on les substituerait dans l'équation ( 18), et l'on obtiendrait ainsi l'équation (f).

Ordre des surfaces gauchos^ ayant une direclrice r^ctiligae.

250. Si Ton prend pour directrice l'axe des z, les équations de la génératrice, mises sous la forme

z == xça + a , z = j^a + a , (20)

satisferont à la définition des surfaces comprises dans cet ordre. On en conclut

7 (pa \a;J

d'après quoi l'on peut remplacer le système des équations (ao) par l'une quelconque des deux suivantes

les fonctions (p,, ij/, étant liées par Téquation de condi-

tion

Différentions 1 équation (ai) par rapport à^ et à ^ : il viendra

d'où

et en différentiant de nouveau, pour éliminer 9.,

x^r + %xys -+. /"^ = o . (24)

Pour tirer l'équation (24) de considérations géométriques directes , nous remarquerons que , si l'on mène par le point {^Xyfyz) deux plans, l'un passant par l'axe des z j l'autre tangent à la surface en ce point , ces deux plans qui auront respectivement pour équations

y{^—x) — x{yi—y)^=.o , (aS)

se couperont suivant une génératrice. Si le point de contact change, sans cependant sortir du plan (aS) , le nouveau plan tangent coupera encore le plan (aS) suivant la même génératrice. Donc les équations (aS), (26) subsistent en même temps que leurs dérivées, prises par rapport aux variables Xy y-y z^ savoir : Xdy — t{dx-=io , {rdx'\rsdy) (Ç — x) + {sdx -f- tdy) (ri— 7) = o . (26 ) En vertu de l'équation ( aS ) , ces deux équations deviennent

— — — (rdx+sdy) x-\-(sdx 4- tdy)yz=zo ;

et si l'on élimine entre celles-ci le rapport --7^, on retombe sur réquation (a4)-

Ordre des surfaces gauches, ayant leurs génératrices parallèles à un plan directeur.

251. Le plan xj- étant pris pour plan directeur, on a pour les équations de la génératrice

d'où

et les fonctions <p 9 ^ restent arbitraires. Une première différentiation donne , par l'élimination de la fonction i/ ,

^=2 — ffz; et l'on trouve, par suite d'une seconde différentiation,

^»r 'xpqs -HpV = o . (28)

On peut arriver plus directement à l'équation qui caractérise les surfaces de cet ordre , sans particulariser la position du plan directeur par rapport aux plans coordonnés. Soient

Al-H Btï -h ce = D réquation du plan directeur , et

A(Ç-a:)+B(ri-j) + C(C-z) = 0 . (29) celle du plan parallèle mené par le point {x^jr^ 2) : la génératrice passant par ce point sera l'intersection du plan (29) et du plan tangent (26). De plus , si l'on fait varier le point de contact sur la même génératrice, le nouveau plan tangent passera encore par cette génératrice, qui sera en conséquence la ligne d'intersection de deux plans tangents infiniment voisins. Donc on aura, outre l'équation (26') , la dérivée de (29)

fLdx'{-hdy-{'C{pdx + qdx)=zo . (29')

Si l'on chasse des quatre équations (26), (a6'), (29), (29') les rapports 1

l--^ -^—y dy

il reste l'équation de condition

(B + Cy)V— 2(B-+-Cî)(A-i.C/;)^ + (A + C/7)>^ = o, que l'on identifie avec l'équation (28) en posant A=o B = o, mais qui acquiert une forme encore plus simple dans l'hypothèse 0=0, ou lorsqu'on prend le plan directeur perpendiculaire à celui des xy : car elle devient B»r— 2 ABs 4- A'f = o ; (3o)

et enfin elle se réduit à r=o, ou à^=:o, quand on prend le plan directeur parallèle à celui des xz ou à celui des jrz , ce qui ne restreint pas l'étendue de la solution.

Famille des surfaces conoïdes.

252. Quand la génératrice d'une surface gauche est assujettie à la double condition d'avoir une directrice rectiligne et de rester parallèle à un plan directeur la surface décrite est un conoïde. En d'autres termes la famille des surfaces conoïdes appartient à la fois aux deux ordres de surfaces gauches dont nous venons de traiter. Les surfaces conoïdes (à l'exception du plan oui s'y trouve compris ) sont nécessairement gauches • car soient AB {fig. 74) la droite directrice, mn, mn' mji^ , . . . . des génératrices infiniment voisines : pour que deux génératrices consécutives se trouvassent dans le même plan, il faudrait que les droites infiniment petites nn^^ nn^yi, . . . fussent parallèles à AB; ce qui ne peut arriver qu'accidentellement, à moins que la ligne T. I. 28

polygonale nn^n^ .... ne se change en une droite parallèle à AB , et alors la surface décrite est un plan.

La surface, quoique gauche, est qualifiée assez improprement deconoide droit , lorsque la droite directrice se trouve perpendiculaire au plan directeur. On peut citer comme exemple la surface décrite par une droite qui se meut en coupant toujours perpendiculairement Taxe d'un cylindre droit , et en s'appuyant par un de ses points sur une hélice tracée à la surface du cylindre [234]- On donne à ce conoïde le nom de surface héUcoîde gauche.

253. Prenons pour plan directeur celui des xy, et pour origine le point où la droite [directrice pénètre ce plan : les équations de la directrice serout

x=:az^ y:=zbzy (3i)

et celles de la génératrice

^ = p, X — Ap = a(ar— û,8) .

On doit toujours concevoir l'existence de la liaison ( (p ) entre les paramètres a, ^ ; ce qui donne pour l'équation générale des surfaces conoîdes

On en tire, en éliminant à la manière ordinaire la caractéristique <p,

p{x — az) -+-y (t" — hz) = o . (33)

Le sens de cette dernière équation est que , si l'on mène dans le plan tangent au point (^r, /^ z) une droite parallèle au plan xy^ elle coupera la directrice (3 1); et en effet la droite menée ainsi dans le plan tangent se confond avec une génératrice.

Supposons que la droite mobile ait pour directrice , outre la droite (3i), une autre droite

x:=imz'\-ny yz=.m'z^n' \

la fonction ? se trouvera particularisée à l'aide d'une élimination semblable à celles que nous avons déjà opérées, et il viendra

{mb~am')z- + {m' ~b) xz~{m — a) yz 'h(in — an)z+n'a: — ny^=:o^ équation de la surface du second degré à laquelle on donne le nom de parabo/oide hyperbolique.

Quand le conoïde est droit, on a az=o, bz=.o : les équations (Sa) et (33) deviennent respectivement

La surface connue en stéréotomie sous la dénomination de voûte d! arête en tour ronde, est un conoïde droit pour lequel la seconde directrice, qui prend le nom de cintre^ est ordinairement une ellipse dont le plan est vertical et Fun des axes aussi vertical. Mettons les équations de cette ellipse sous la forme

on trouvera pour l'équation du conoïde

Famille des surfaces de révolution.

254. Parmi les surfaces auxquelles on n'assigne pas pour caractère distinctif d'être décrites par le mouvement d'une droite, nous ne considérerons ici que la famille des surfaces de révolution [24a]. Soient

, ^—'^.=a{z~z:) , r—Xo = à(z~zJ) les équations de l'axe de révolution, mené par le point (•^o»ro,^o):un plan perpendiculaire à cet axe a pour équation

or -{- èj 4- 2 = a ,

et ce plan coupe la surface de révolution suivant un cercle qu'il est permis de considérer comme l'intersection du plan et d'une sphère qui aurait son centre au point {x^j 7*0, z^). L'équation de cette sphère est

et la liaison (<p) y qui dépend dans sa forme du tracé de la courbe méridienne , donne

(a: — j:o)"4-(r— ro)*+(^— '2o)* = cp(û^ + *r + ^):(34) équation propre à représenter une surface quelconque de révolution, tant que les constantes x^^j^j ^o^^f ^> ®t la caractéristique «p conservent leur indétermination.

En prenant les dérivées partielles par rapport à ^ et à /, on a

a [x—x^ +p {z — j3o)] =(û+/?) . cp' {ax-\- ftj + z) , a [7— Jo +q (^^*o)] = (6+î) . (p'(a^4-ftr+ z) ; d'où l'on conclut par l'élimination de <p%

Cette dernière équation exprime que la normale à la surface rencontre l'axe de révolution. Désignons en effet par ^, Y), ^ les coordonnées courantes de la normale au point (.r, jy z) : les équations de cette normale seront

celles de Taxe de révolution , rapportées aux mêmes coordonnées courantes, deviendront

et si l'on chasse Ç , yj , ^ de ces quatre équations , on tombera sur l'équation (35).

Lorsqu'on prend l'axe de révolution pour celui des z, ce qui revient à faire ^o=o, ;^^=o, a = o, ù=Oy Téquation (35) se réduit à

DES FàMILLES DE SURFACES. 437

py qxz=.0^ (36)

et réquation (34) devient

ou, ce qui est la même chose , à cause de i'indéterminatioD de la fonction ^ ,

a:*-f-7*=T2ï ou bien jî=t|;(a?*+7').

z est alors l'ordonnée de la courbe méridienne , dont j/pIfTp désigne l'abscisse.

On assujettira la surface de révolution à passer par une courbe ( /, f ) , au moyen du procédé d'élimination déjà indiqué pour les surfaces cylindriques et coniques.

255. Appliquons ceci à la détermination de la surface engendrée par la rotation autour de Taxe des z de la droite

j: = mz+/i, yz=zm!z -^n! . (Sj)

On aura à combiner ces équations avec

d'où

(ma -H ny +{m'a + nj = p , et en remettant pour a ^ P leurs valeurs,

{mz -h nf -h {m!z + »')* =ia^ -h/' . Si l'on suppose que l'on ait pris pour axe des x la plus courte distance de l'axe de révolution à la droite (37), celle-ci se trouvera parallèle au plan yz^ et il faudra poser w=o, /ï'=o; au moyen de quoi l'équation de la surface devenant

x^+y^ — m'^z^zzzn^ , se confondra avec l'équation (6) du n® aSg. La surface engendrée est donc la surface réglée , connue sous le nom d'hyperboloïde de révolution à une nappe.