Si les dérivées r^t sont de même signe, les

472 uvRB IV. — CHAPrraE x.

rayons principanx Ri,Ra sont aussi de même signe, et le signe de p ne change pas : la surface tourne sa convexité dans le même sens par rapport au plan tangent , tout autour du point de contact.

Admettons maintenant que > les rayons principaux soient de signes contraires, par exemple R. positif et R» négatif : il y aura des sections normales situées au-dessus du plan tangent et d'autres au-dessous. La formule (^,) deviendra, après qu'on y aura changé Ra en — Ra, pour n'avoir plus à considérer que des nombres positifs,

II , ï • .

-= — cos*<p— — sm»? .

On voit que, si l'on fait croître l'angle ç à partir de zéro, le rayon variable p commencera par être positif, et ira toujours en croissant, depuis R. jusqu'à l'infini. Cette dernière valeur correspond à

^co8*9= ^sin*9, ou a=:±: V/g^=± V — ^ ,

ce qui est précisément la valeur de a donnée par l'équation (5), après qu'on y a fait ^=o, conformément à l'hypothèse sur la direction des axes.

Si donc l'on désigne par (p^ cette valeur particulière de f , et que, dans le plan tangent, on mène deux droites qui forment, avec une parallèle à l'axe des x^ des angles égaux à ±909 toutes les sections normales dont les tangentes tombent dans les espaces angulaires où ç prend une valeur numériquement plus petite que <po, ont leurs rayons de courbure positifs, et celles dont les tangentes tombent dans ies espaces complémentaires ont leurs rayons de courbure négatifs. Rx est le plus petit des rayons de courbure positifs; et, par la même raison , Ra est la valeur numérique minimum

fies rayons de courbure négatifs, c'est-à-dire que — B, est un maximum algébrique de p.

Lorsque t ou r prend une valeur nulle, s s'évanouissant par suite de la disposition des axes, l'un des rayons principaux est infini, l'autre a par conséquent une valeur numérique mirUmumy et son signe est celui de tous les autres rayons de courbure.

279. Nous ferons remarquer qu'en vertu de l'équation (3), on peut représenter géométriquement la grandeur |/p par le rayon vecteur d'une section conique rapportée à son centre, <p étant l'angle du rayon vecteur avec l'axe des x. De cette construction on déduirait sans autre calcul , en se reportant à la discussion bien connue des sections coniques, tout ce qui vient d'être établi sur les rayons de courbure des sections normales. On sait que la section conique est une ellipse, si l'ou a rt — J*>o; et, dans ce cas, tous les rayons vecteurs de la courbe auxiliaire étant finis et réels, tous les rayons de courbure sont finis et doivent être pris avec le même signe. Si l'on a au contraire rt — -s^ <Oj l'ellipse doit être remplacée par deux hyperboles conjuguées, l'une de ces hyperboles correspondant aux valeurs imaginaires du rayon vecteur ou aux valeurs négatives du rayon de courbure. Les demi-axes de l'ellipse ou des deux hyperboles conjuguées correspondent en direction aux sections principales, et en grandeur aux rayons de courbure principaux. Enfin, quand on a rt — /=:o, la section conique se trouve remplacée par le système de deux droite^ parallèles menées à égales distances de l'origine : la perpendiculaire abaissée sur ces droites correspondant en direction ^ l'une des sections principales, et en grandeur au rayon de courbure minimum.

474 LIVRB IV. CHAPITRE X.

280. Le théorème d'Ëuler.sur les courbures des sections normales admet des exceptions qui n'ont été signalées qu'assez récemment par M. Poisson ('), quoiqu'elles soient tout à fait smalogues aux exceptions que souffre la théorie des plans tangents [236]. Ces cas d'exception se présentent lorsque les dérivées /-^ s, t prennent au point de contact des formes indéterminées §, |, dont on ne peut lever l'indétermination qu'en établissant arbitrairement une liaison entre les variables indépendantes X, jr. Alors r, s y t deviennent des fonctions du rapport désigné plus haut par a; de sorte que les calculs précédents y fondés sur le principe que r, Sy t ne dépendent point de a, cessent d'être exacts. Pour avoir un exemple des cas d'exception dont il s'agit, il suffit de considérer la surface engendrée par une parabole qui tournerait autour de son axe, tandis que son paramètre varierait suivant une loi exprimée par une fonction continue quelconque de l'angle de rotation. Un semblable paraboloîde a une équation de la forme

quand on prend pour axe de rotation celui des Zy et qu'on place l'origine au sommet. Les sections normales comprises dans des plans menés par l'axe se confondent avec les paraboles génératrices. Le rayon de courbure varie d'une section à l'autre suivant une loi qui dépend de la fonction arbitraire y! Le rayon de courbure peut donc passer alternativement par des maxima et par des tninima en nombre illimité : seulement il doit y avoir autant de maxima que de winima^ afin que le

(*) Journal de l* École polytechnique ^ ai* cahier, p. ao5.

rayon de courbure revienne à sa valeur initiale après une révolution de la parabole génératrice.

M. Poisson a d'ailleurs remarqué que le théorème de Meusnier subsiste, même dans le cas où celui d'Ëuler tombe en défaut; et c'est aussi ce qui se voit très-simplement par la démonstration que nous avons donnée du théorème de Meusnier [276], laquelle n'exige pas que les fonctions r, s^ t dépendent seulement de x,/, 2, et permet de supposer que ces fonctions varient avec la direction de la tangente à la courbe dont l'arc est désigné par s.

281. Reprenons la formule (é) qui subsiste , quelle que soit la direction de la normale par rapport aux axes des x^ j^ z. Les dérivées x', y qui entrent dans cette formule doivent satisfaire à l'équation (1), laquelle devient, en vertu de (/),

(i+/?>) j/'+ 2pq cdy -4- (i+î*)/" = I , (6)

et d'où l'on tire, par la différentiation ,

\{l+p')3i'\^'pqy'^^dx' +[(i-f-y>)/-h/?yy]rfj'= o .

En différentiant l'équation {h) par rapport à p, ou a

{rx' + sy) dx' -*- ( sx' +ty) rfy = o ; et en combinant ces deux dernières équations ,

rx' H- sy' sx' + 1^ . .

Si donc on désigne par R l'un des rayons de courbure principaux, l'équation en R s'obtiendra par l'élimination de X ^ y entre les équations (6), (7) , et l'équation

Posons , pour abréger,

V = rx'^ + 2sxy 4- (r" = ^ l/n-p'+î' ; (V)

multiplions respectivement par x* et par jr les deux termes des fractions à gauche et à droite du signe d'égalité dans l'équation (7), après quoi nous ferons les sommes des numérateurs et des dénominateurs : la fraction résultante, en vertu de l'équation (6), se réduira au polynôme V. Il viendra donc

y^ rxf + sy sx'+tf

ou bien

et par la multiplication membre à membre ,

[V(i+/,«)r][V(i+9-)-r]=(.^yV)- .^ Remettant au lieu de Y sa valeur en R , tirée de l'équation (Y), et ordonnant, on aura enfin R* (rf^*)R[(i4.y») r— a/iy^-f- (n-/?») i\\/i+f^q- + (i+/^-^î? = o. (R)

Soient R.^ R> les racines de cette équation, ou les valeurs des deux rayons de courbure principaux, il viendra

^j[ rt^s"

RA - {i+p'+q^y ' 2 I (i+?*)r— yyjH-(i-H/^)<

Ainsi y la condition pour que les rayons Rt,R> soient de même signe, est exprimée par r/— j*>o, quelles que soient les directions des axes coordonnés ; et la condition pour que l'un des rayons principaux devienne infini, est aussi exprimée généralement par l'équation rt — j'=o, qui caractérise tes surfaces développables.

Les rayons de courbure principaux sont, pour tous les points d'une surface, égaux en grandeur absolue et dirigés en sens contraires, si l'équation

est vérifiée pour tous les points de la surface. Nous verrons dans la suite que les surfaces caractérisées par cette équation aux différences partielles du premier et du second ordre jouissent d'une autre propriété géométrique également remarquable.

282. Les rayons principaux Ri, Ri, et par suite tous les rayons de courbure des sections normales, sont égaux et de même signe, si Ton a

Cette équation, pouvant se mettre sous la forme

équivaut au système

pqr

ou

i4-/?' ~pq ~ i-t-y' On aurait obtenu directement ces dernières équations, en exprimant que les équations (9) donnent pour V, et par suite pour p , des valeurs indépendantes de x\ y.

Les coordonnées des points auxquels on a donné le nom Siombilics [277] sont donc déterminées par le système des deux équations (^), combinées avec l'équation de la surface. Ces points sent isolés, à moins que les deux équations (^) ne deviennent accidentellement identiques : ce qui accuserait l'existence sur la surface d'une ligne que l'analogie porte à nommer ligne ombilicale , et que Monge a appelée ligne des courbures sphériques.