CHAPITRE X
S 1*'. Théorèmes de Meusnier et d'Euler. — DétermiDation des rayoùs de courbure principaux et des ombilics.
275. CoQcevons une infinité de lignes, planes ou à double courbure , tracées sur une surface et concourant en un même point : elles aui:ont au point commun des rayons de courbure différents, en ùombre infini; mais néanmoins les valeurs de ces rayons de courbure seront liées les unes aux autres , et pourront être ramenées à ne dépendre que d'un petit nombre d'éléments. Nous allons procéder à cette réduction qui est un point capital dans la théorie des surfaces.
Soient
l'équation de la surface; (^,^, z) le point où concourent les lignes que Ton conçoit tracées sur cette surface : désignons par s l'arc de l'une de ces lignes, plane ou à double courbure ; par p' le rayon de première courbure de cette ligne au point (a:,jr, ^) ; par p le rayon de courbure delà Jec/^b/^/^o/•/7^a/^ [287] ayant la même tangente et passant au même point ; par 0 l'angle des rayons p,p'; enfin par x',y, z , x'\f\ z" les premières et les secondes dérivées des coordonnées x ^y, z par rapport à l'arc s pris pour variable indépendante : on aura, en différentiant deux fois de suite l'équation (2),
z' =paf 4- qf , ' {z')
z'' = px" 4- 57'' 4- rx'^ + 2^^y -i- ty^ J {z")
et les dérivées x\y\ z seront liées en outre par Téquation de condition
Le rayon p qui coïncide avec la normale à la surface , fait avec les x, j, z des angles X, |a, v qui ont respectivement pour cosinus [287]
X/T+y^^' \^i+p'+q'' i^i-bp'+q' ' d'autre part , le rayon p' fait avec les mêmes coordonnées des angles dont les cosinus ont pour valeurs [aaS]
±pVS±py', ±pV':
d'où l'on conclut, abstraction faite du signe décos 8, et en vertu de l'équation (z") ,
cos 6 == p . = — . (a)
Les dérivées a:', y, / expriment encore , aux signes près, les cosinus des angles que forme avec les ^,^, z la tangente à la ligne dont le rayon de courbure est p' : donc le facteur de p' dans l'équation (2) ne change pas, quelle que soit cette courbe, pourvu qu'elle passe par le point de la surface que l'on considère , et que la direction de la tangente en ce point ne change pas. En d'autres termes, on peut poser p'=:K cos 6, R étant une constante pour toutes les courbes tracées sur la surface, qui ont la même tangente au point de concours. Mais,quand l'angle Ô s'évanouit , on a p' — :p : doncK=p,
p' = pcos6, {a) p=1::1l±Z±5L. (6)
Ainsi le rayon de première courbure d'une ligne quelconque tracée sur la surface, est ramené à dépendre du rayon de courbure de la section normale qui aurait la même tangente que cette ligne, et de l'inclinaison 6.
Lorsque la première courbe est^Iane, on l'appelle section oblique [^^37], et p' devient la projection de p sur le plan de la section oblique. Le théorème exprimé par la formule (a) porte alors le nom de théorème de Meusnier. On rend la signification de la formule plus générale en l'étendant aux lignes à double courbure, ainsi que cela vient d'être expliqué.
II résulte du théorème de Meusnier que, si l'on décrit une sphère ayant pour centre et pour rayon le centre et le rayon de courbure d'une section normale , toutes les sections obliques ayant la même tangente que cette section normale ont pour cercles osculateurs au point commun les petits cercles qui sont les intersections de la sphère et de leurs plans respectifs.
276. Pour simplifier la discussion des rayons de courbure des sections normales , admettons d'abord que le plan des xj soit mené parallèlement au plan tangent à la surface, au point de concours des sections, ce qui revient à poser/? =o , gr=o : la formule (b) deviendra
et si l'on pose, comme cela est permis en vertu de l'équation (1),
x' =r cos <p , 7'= sin <p , tang 9 = « , on pourra écrire
rcos'<p+ a^sin(pcos<p + ^sin*^ *
ou
'+«* . fis
<p désignant alors l'angle de la section normale avec un plan mené par la normale parallèlement à celui des xz.
470 LIVBE IV. CHAPITRE X.
On obtiendra les valeurs maxima et minimaàxL rayon de courbure p , en cherchant les valeurs de a qui rendent nulle ou infinie la dérivée
rfp a[j?tt*-f-(r — ^)« — *.] ,
En égalant le dénominateur à^ zéro, nous aurions
valeurs qui ne seraient réelles que sous la condition s^ — r^ > o , et qui correspondraient à un rayon de courbure infini , ou à une courbure nulle. Les maxima et minima proprement dits seront donc exclusivement donnés par Téquation
d'où Ton tire
fli— — ——————————————— •
Cette expression, toujours réelle, nous montre : i" que sur toute surface, et pour tous les points non singuliers oïl les dérivées partielles p^ q, r, s , t peuvent se déterminer en fonction des deux variables indépendantes, sans solution de continuité, il existe parmi les sections normales deux sections principales pour lesquelles le rayon de courbure a une valeur maximum ou minimum; ^^ que les plans de ces sections principales se coupent à angles droits, puisque le produit des racines de Féquation (a) est égal à — i.^
277. Nous pouvons donc mener parallèlement aux. plans des sections principales les plans des xz et des yz dont nous avions laissé la direction indéterminée ^ en sorte que, des deux racines de l'équation (a), l'une
DE hL COURBURE DKS SURFACES. 471
soit nulle et l'autre infinie; ce qui revient à choisir la direction des plans coordonnés de manière qu'on ait s=o. La valeur de p devient alors
rcos*(f -f- 1 sin*ç
et l'on a, en désignant* par Hz, Rs les deux rayons de courbure principaux ^ c^m correspondent respectivement à sin 9=0, cos y=o,
Rr=;, Ra = 7, \'^i cos*<p + i- sin*<p . (ft,)
Cette formule très-remarquable est due à Euler. Elle donne les rayons de courbure de toutes les sections normales , et par suite ceux de toutes les sections obliques, en fonction des rayons de courbure principaux , et des angles <p, 0 qui fixent la position des plans de section par rapport aux plans des sections principales.
En désignant par pi , p» les valeurs de p pour deux sections normales rectangulaires, et d'ailleurs quelconques, on tire de l'équation {bt) la relation élégante
Lorsque les deux rayons principaux Rx,Ra sont égaux et de même signe, c'est-à-dire, dirigés du même côté du pian tangent, la valeur de p devient indépendante de l'angle 9 et la même pour toutes les sections normales. La surface de la sphère est la seule qui jouisse en tous ses points de cette propriété : mais on retrouve sur d'autres surfaces des points singuliers auxquels la même propriété appartient, et que Monge a nommés ombilics.
