THEORIE DES FONCTIONS DIÉKIVÉES

la fonction /*, au moyen des dérivées de la fonction inverse f , il suffira donc de remplacer dans les formules précédentes t par^, puis de faire ^y^=^ i, ^'^=0, etc. ; au moyen de quoi il viendra :

fx^A-, f'x = ^j4^r , etc. (e)

La première des formules (e) aurait pu se tirer directement d'une considération bien simple. En effet, puisque, d'après Thypothèse, les deux équationsj-=^, xz^zfjsont identiques et représentent la même courbe, y^r et 9}* expriment respectivement, dans un système de coordonnées rectangulaires, les tangentes trigonométriques des angles que la tangente à cette courbe au point (x^) foraie avec les axes des x et des j-; et ces deux angles étant complémentaires, on a/^.r. çV= '•

'Notions sur la théorie des fluxions.

42. On a vu [3o] que la fonction dérivée y '=^fx mesure la rapidité avec laquelle varie, relativement à Xy la fonction primitive^ ==^; et nous avons expliqué ce qu'il faut entendre par cette rapidité relative. Mais si la variable t désigne le temps compté d'une origine quel, conque, et si les grandeurs Xj jr sont considérées comme variant avec le temps , en vertu des équations

x=(ft, jr=i(t, les dérivées çV, i('t mesureront la rapidité des variations dex et àe y y non plus' dans un sens relatif, mais dans un sens absolu : car le temps ainsi compté est la variable essentiellement indépendante qui , par sa nature , varie ou s'écoule toujours uniformément. En rapportant ainsi la variation des grandeurs à l'écoulement du temps, Newton donne le nom de ^Zw^w/é^j* aux grandeurs .r,^*,....

70 LIVM I. — CHAPITRE III.

qui sont censées varier avec le temps, et le nom de

fluxions aux. dérivées (p7, ^'f, qui varient elles-mêmes

en général avec le temps, et qui mesurent en chaque instant les vitesses de variation des quantités fluentes. Sa notation consiste à marquer d'un point la quantité fluente pour indiquer la fluxion correspondante. Ainsi x^ jr désignent les fluxions de x^ y ou les dérivées çV,

^i. De même .x-, y ; Xy y correspondent à <p'Y, ^'t; <p"7, tj;"V; et désignent des fluxions de fluxions, ou des fluxions du second, du troisième ordre, et ainsi de suite.

On peut, avec Newton, prendre pour type des quantités fluentes la distance x d'un point fixe O [fig- 2-^) à un point m en mouvement sur la droite indéfinie OX. La fluxion x sera la vitesse même du point mobile , pour l'instant que l'on considère : le mot de vitesse étant pris ici dans son acception primitive, qui est aussi la plus usitée. Mais ou pourrait choisir tout autre exemple sans nuire à la clarté des idées. Ainsi, quand un corps échauffe se refroidit, on conçoit que la température de sa surface est une grandeur qui varie avec le temps, et qui, en général, ne doit pas varier uniformément, de manière que des pertes égales de température aient lieu dans des temps égaux. On se fait de la vitesse variable du refroidissement une idée aussi directe et aussi claire que de la vitesse variable d'un point mobile.

La conception de Newton s'étend d'ailleurs à des grandeurs quelconques, en ce sens que l'on peut toujours définir ejt exprimer^ au moyen des fluxions, les fonctions que nous avons qualifiées jusqu'ici de dérivées, et dont les relations avec les fonctions primitives sont l'objet essentiel de la théorie qui nous occupe. En effet, soit