V- = ^ + T- + "7- + etc

Jx (^x ^x tir

Inversement, si nous posons

^^ — ^'x ' ^^ ^"^ —^^ • ^^' on tirera de la règle précédente

<f'x ^^x \'x ^x jx i(X '

et par suite, en remettant pour/r sa valeur,

La constante a peut être regardée comme une fonction dont la dérivée est nulle : si donc on pose successivement

yz=ia 4- fifx,jr—a . i^x^jr — — , on aura , en vertu des règles précédemment démontrées,

Toutes les fonctions qui ne différent que par l'addition d'une constante arbitraire a ont donc la même

THEORIE DES EOBTCTfONS DÉRIVÉES. 67

dérivée, principe fondamental et déjà établi [3i]. 40. Supposons que l'on ait à la fois

et que •

soit l'expression de ^ en fonction immédiate de t, telle qu'on la tirerait de l'élimination de JC entre les deux premières équations, si l'élimination était possible. Dési- {[oons par^,, Xj, ti; y, Xy t deux systèmes de valeurs correspondantes pour ces trois variables : on aura évidemment, en vertu de la correspondance admise,

et, en passant aux limites,

\'t=.px . ^t.

Cette équation exprime le principe fondamental de la dérivation des fonctions médiates , ou des fonctions de fonctions. On le généralisera sans difficulté; et, par exemple , si l'on pose

y=.fx^ X -=. f^Uy U'=^'tàty de manière que

y = ^t soit l'expression de^ en fonction immédiate de^, telle i[u'oQ la déduirait de l'élimination des fonctions intermédiaires a; et a , on trouvera , en opérant comme ci-

41. Réciproquement, on peut considérer les variables J^et j comme déterminées immédiatement en fonctions d'une troisième variable t par les équations

de manière que

68 LIVRK I. — CHAPITRE III.

soit l'équatioa qui se déduit des précédentes par Télimination de /. On a d'abord , d'après ce qui vient d'être démontré ,

Désignons , comme à l'ordinaire, par^ la dérivée f'x^ et soit, pour plus de commodité ,

on aura entre les variables x yy\ t^ les trois équations

d'où l'on tire^ en appliquant toujours la règle de la dérivation des fonctions médiates ,

Mais, d'après la formule (c), on a

donc

et en continuant ainsi, on exprimerait les dérivées de tous les ordres de la fonction/^ au moyen des dérivées des fonctions 9 et i{/ .

Considérons plus particulièrement le cas oii l'on aurait tj;^=^, et par suite

l'élimination de t s'opérera immédiatement , et Ton aura à la fois

c'est-à-dire que <p désignera la fonction ins^erse de /, ou celle que l'on obtiendrait en résolvant par rapport à j^^- l'équation j^ = /*.r. Pour exprimer les dérivées de