CHAPITRE IV

70TI6NS SUR LES OIFFEEENGES CT SUR LES APPROXIMATIONS DES DIVERS ORDRES. — THÉORIE DES INFUTIMEITT PETITS ET PRINCIPES DU CALCUL HrFIlTITJSSIMAL.

43. Imaginous deux grandeurs variables x^y^y dont Tune soit fonction de l'autre , et qui passent par deux séries de valeurs correspondantes

X y X^ , X^ 9 Xi y Xi^ 9 «

r»ro7«^/3, r4»

Prenons la difFërence de chaque terme à celui qui le sait dans la série où il se trouve, et désignons par A.r la différence x^ — Xy la lettre A étant employée comme caractéristique, et non comme signe de quantité: nous fonnerons deuiL autres séries de valeurs

AX) A^Tx, A.r, , A 0:3,

Ajr, A^., A/,, A/3,

quise correspondront encore. Opérons sur celles-ci comme sur les séries primitives, c'est-à-dire, prenons la différence de chaque terme au terme consécutif; et d'après l'analogie désignons par A.A^, ou par A*.r la différence ir^ — Ao: : nous obtiendrons deux nouvelles séries b?X , A*X, , A^X, ,

b?y, A>7., Ay.,

dans lesquelles les termes A^.r , A*^ , exprimeront des différences de différences , ou des différences da second ordre , par rapport aux termes x , y qui leur correspondent dans les séries primitives. On formerait de même les séries des différences du troisième , du quatrième ordre, et ainsi de suite.

En conséquence de ces notations on aura identiquement

•^a=^i+ A:tx=a; -h A^ -h ^{x + Ajc)=x+2 A^+ A*^,

•^3 = ^a + A.r, = r -h a A^ -h A*.r + A(:r 4- a Ao: + A*a:)

= .r + 3Aj; + 3A*x -|- A^x,

et par une induction évidente ( que l'on confirmerait

d'ailleurs sans difficulté, .en employant, comme pour

la formule du binôme, le tour de démonstration de

proche en proche )

On aura de même

n , n(n — i) nln — })(n — a) »

+ + Ay .

Ces dernières formules peuvent s'écrire symboliquement

.r„=:(i +A)".r, jr.= (i+A)>, pourvu qu'on se rappelle que de telles équations n'ont de sens qu'après le développement des seconds membres, la lettre A étant un indice d'opération, et non un signe de quantité. U analogie entre les puissances et les dijférences qui ressort de ces équations symboliques, et dont on verra beaucoup d'autres exemples , provient évidemment de ce que la formule du binôme s'obtient d'après des règles d'analyse combinatoire tout à fait indépendantes de la nature des opérations de calcul que chaque combinaison représente, ou de l'idée accessoire de multiplication qui vient s'associer, dans les éléments d'algèbre, à l'idée abstraite de combinaison.

NOTIOirS SUR LES DIFFERENCES DES DIVERS ORDRES. 75

44. Si la quantité x remplit naturellement ou par convention le rôle de variable indépendante, on est porté à s'occuper plus spécialement du cas où Ton ferait croître cette variable par différences constantes , de manière à avoir

x^=.x + 1 Sx j

X3 = x + 'iSXj etc. ,

les différences des ordres supérieurs A*x, A^^, se

réduisant toutes à zéro. Nous allons envisager dans cette hypothèse les séries qui comprennent les valeurs consécutives de /y et leurs différences des divers ordres.

Il n'y aurait , pour notre but actuel , aucune remarque essentielle à faire , tant que la fonction j'=zfx reste indéterminée , si d'ailleurs on ne s'assujettissait à aucune condition dans le choix de la différence arbitraire Aor. Mais supposons que l'on prenne pour Sx une

très-petite fraction : les différences Sy^S^y^ A^jK,

deviendront, en général , très-petites aussi; de manière toutefois (et ceci est très-remarquable) que les rapports de S^jr à A/, de S^j à S?j^ etc., soient eux-mêmes exprimés par des fractions très-petites^ Plus la différence Sx sera petite, et plus cette subordination de grandeur entre les différences des divers ordres de la fonction j deviendra sensible.

En effet , si nous partons de l'équation identique

Sr Sv ^L-^-i Sx ^ -^ Sx

nous pourrons remarquer que le rapport -^ converge

indéfininient vers la limite /'.r, quand Sx décroît indéfiniment. On a donc avec une approximation indéfinie,

et d'autant plus grande que ^Jc est une fraction plus petite,

On a aussi identiquement

-^ \tix Av J ' et l'on tire de cette équation avec une approximation indéfinie, et d'autant plus grande que bjc reçoit une plus petite valeur,

Ceci nous montre d'abord que la fonction dérivée du second ordrey''^ est la limite vers laquelle converge le

rapport —l qu^i^d ^x décroît indéfiniment, de même

i{\xef'x exprime , dans la même circonstance, la limite

du rapport -^ . En second lieu, nous voyons que, pour

des très-petites valeurs de A^, on aura sensiblement

Maintenant , si les fonctions dérivées f'x^f'^ x restent finies, c'est-à-dire, si la fonction fx n'éprouve point , dans l'intervalle de .r à ^ + A.r , de solution de continuité du second ou du troisième ordre, et si, dans cet intervalle elle ne passe point par un maximum ou par un minimum y ce qui ferait évanouir y.r, on pourra écrire

a désignant un nombre fini. Alors on pourra toujours prendre A.r assez petit pour que le produit a A.r ou le

AV rapport -—■ tombe au-dessous de toute grandeur donnée.

NOTIOUS SUR LES I>IFF£RElfGES DES DIVERS ORDRES. 77

De réquation identique

on tirerait de même, pour de très-petites valeurs de Aj;^ l'équation de plus en plus, approchée

et comme le même calcul peut être indéfiniment poursuivi, on voit que la dérivée y^"^:r: est la limite vers laquelle converge , dans l'hypothèse admise , le rapport

-^ : ce qui fournit un moyen de calculer approximativement les valeurs de la fonction /^"^jc , quand la fonction primitîvejT^ est donnée par une table, pour des valeurs dexéquidifFérentes et très-rapprochées. En effet, avec cette table on formera les valeurs de A^, A*^, tkjr;

A"r et par suite on aura celle du rapport—^, laquelle se

confond sensiblement avec la valeur à&j^^^x.

On voit encore que , si toutes les dérivées de fx restent finies, jusqu'à/^'*^^; inclusivement, on pourra toujours prendre Ao: assez petit , non-seulement pour que les différences des divers ordres

A/, Ay, A'^, t^y

forment une suite de fractions très-petites, mais pour que cette série soit ordonnée y de manière que le rapport de chaque terme à celui -qui le précède dans la série se réduise lui-même à une fraction très-petite.

45. La série des puissances d'une fraction très-petite est le type arithmétique de la subordination des grandeurs. Si l'on élève , par exemple , à ses puissances suc-

cessives la fraction tt7ôj oi^ aura une suite rapidement décroissante