La formule {a) donnant pour jr = x

on en tirera par une seconde différentiation

et en général

Si l'exposant m est un nombre entier positif, le coefficient différentiel de l'ordre m se réduira au nombre constant

m {m — i) {fn — a) 3. 2.1;

par conséquent le coefficient différentiel de l'ordre m -h i et ceux des ordres supérieurs seront nuls. Cette propriété qui appartient au monôme ,2:'", quand m est un nombre entier positif, appartient aussi à toute fonc-

tion algébrique entière et rationnelle de Xj puisqu'on peut toujours développer une fonction de cette nature en une suite finie de monômes

Ax^ H- Bj?" + Ca^ + etc. , rrij iiy p, . . . . étant des nombres entiers positifs. Si m désigne le plus haut exposant, il est clair, d'après ce qui précède, que le coefficient différentiel de l'ordre m de la fonction dont il s'agit se réduira au nombre constant

km (m-^i) (m — 2) 3.2, i ,

et que les coefficients différentiels des ordres supérieurs s'évanouiront.

61. Pour trouver la différentielle de la fonction transcendante

y = log.r,

nous emploierons directement la considération des limites. On a

Ay log(a?+AJ?)— loga? ^^\ "F>f i ^\^ Ic'J

^x kx kx or' Afl5 '

Sx k

Le rapport — converge indéfiniment vers zéro en

même temps que Sx, tant que x n'est pas nul : de

. dr ' sorte que, pour avoir -^, il ne s'agit que d'assigner la

limite vers laquelle converge

log(i-|-6) , , •

^^ J^ ^=log.(i+6)e,

et par conséquent la limite vers laquelle converge le

nombre

(i+OS ^ (E) -

quand le nombre e converge indéfiniment vers zéro.

DIFFÉRENTIiLTIOIf DES FONCTIONS ALGlÉBRIQUES. 107

Or, OQ pourra toujours satisfaire à la condition de faire converger indéfiniment vers zéro le nombre e, en

et eu prenant pour n un nombre entier positif de plus en plus grand. La formule du binôme donnera

n) V n 1.2/1* 1,2.3 ri

g(fl-i)(rt-2) (/^-v+I) I n(n-»i)(yt-»2) [At-(n-i)] ^

OU bien

\ «/ I i.2\ /ly i.a.3\ /iy\ /i/

H — ^ — ( '--V'-- ) — rï~')+ —

i.2.i....vV nj\ nj \ nj

-3..!(vn)..«0-9 (4>"(^-i^)'--0"^)- ^"^

Tous les termes de cette suite, à partir du second , vont évidemment en décroissant de valeur : nq^is disons de plus qu'on peut toujours prendre /z et v assez grands pour que, si Ton arrête la suite au terme

'a somme des termes négligés tombe au-dessous de

I toute grandeur donnée.

En effet , cette somme est plus petite que ^i I I

^ÀC:X^TÔ~^I.2.3....V^V+^ "^I.2.3...v(v-|-l)..../l'

^ a fortiori plus petite que

donc , à plus forte raison encore , elle est moindre que la somme de la série

prolongée à l'infini , laquelle est égale à

et tombe au-dessous de toute grandeur donnée, pour une valeur convenable de v.

Après avoir arrêté la suite (n) au terme (v), si nous prenons pour n un nombre de plus en plus grand, la valeur de cette suite convergera indéfiniment vers celle

de la suite