DES FONCTIONS EXPLICITES D'UNE SEULE VARIABLE. CHAPITRE PREMIER
DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS ALGEBRIQUES ET TRAN SGEND ANTES.
58. Nous avons passé en revue, dans les deux cha* pitres précédents, les principes généraux de la dérivatîpn ou de la difïerentiation : principes applicables à des fonctions quelconques, et indépendants des procédés particuliers par lesquels on parviendra, suivant les cas, à découvrir les valeurs des dérivées ou des différentielles d'une fonction proposée. Ces principes subsistent y soit qu'on ne puisse assigner numériquement les valeurs des dérivées ou des coefficients différentiels que par approximatioD [44]^^^ séparément pour chaque valeur delà variable indépendante, comme c'est le cas à l'égard des fonctions empiriques , qui ne sont données que par une table; soit qu'on puisse comprendre dans une fonaule mathématique les valeurs exactes des coeffidents différentiels pour des valeurs quelconques de la variable indépendante, comme nous allons voir que cela a lieu à l'égard des fonctions algébriques et des transcendantes qui nous sont connues.
En vertu des principes généraux que Ton vient de
DIFFéREirriA.T10ir DES FONCTIONS ALOiBRIQUES. 103
rappeler [55 et suii^.], le problème de la difFérentiation des fonctions algébriques ^ logarithmiques, exponentielles et trigonométriques, est ramené à la diffërentiadon des trois fonctions élémentaires suivantes :
i^^ = af'y en supposant à l'exposant m une valeur quelconque.
2** /- = log X, ce qui donnera la différentielle de la fonction inverse x = a^ {a désignant la base des logarithmes), ou, par une permutation de lettres, la difierentielle de la fonction exponentielle ^ = 0*.
3** j- = sin X, d'où l'on déduit les différentielles des autres fonctions trigonométriques, et des arcs qui en sont les fonctions inverses.
Quand on saura différentier ces fonctions élémentaires, la règle pour la différentiation des fonctions médiates donnera les différentielles des fonctions complexes quelconques, susceptibles de s'exprimer explicitement par les signes usités en algèbre et en trigonométrie.
59. Occupons-nous d'abord de la fonction or*. En premier lieu, si l'exposant m est un nombre entier positif, l'équation (6^ du n® 55 donnera, après qu'on y
aura fait u= if -= w =zx,
d.a^ dx
ou d.x^ = 7na^'^ dx. («)
Si m est égal à une fraction positive^, p et q désignant des nombres entiers positifs , on posera xi = z, d où jf = jz!^, et en différentiant d'après la formule (a),
paP"' dxz=zqafi-' dz.
On tire de là
fl& = rf.a:g=^-'^* dxy
en sorte que la formule (a) est démontrée pour toutes les valeurs positives et commensurables de m. Supposons que m ait une valeur négative et égale à — n^ n désignant un nombre positif commensurable : on aura , en faisant u =jf* dans l'équation (i i) du n^ 55,
I d,oiP'
d.x'^zzzd, --:= --r- = — «a:~"~' dx=imaf^~^ dx ,
au nloye» de quoi la formule (a) se trouvera démontrée pour toutes les valeurs commensurables de l'exposant ;/2^ tant positives que négatives.
On e$]t:.fondé à çn conclure qu'elle subsiste aussi pour les V4)^ur$ incommensurables de m. En effet , admettons qu'on ait, dans le cas de l'ineommensurabilité
de niy
d.sd^
et soit m un nombre commensurable qui pourra différer de m d'aussi peu qu'on voudra. Désignons en outre par a:,, Xo deux valeurs de x séparées par un intervalle fini , et choisies de manière que la fonction 9 a; ne change pas de signe dans l'intervalle, ce qui est toujours possible : on aura
x\^ — x^^zm I maf^"^ ,dx + / ^x.dx
J Xo J Xo
xj^' — xj^'=l m'af^'"' dx ; d*oii X r^—xf—{x^—x:^')'z=L I mx"^- ' . dx— f mx^' ' Jx
J Xo /^o
J Xi
Xo
dx.
Mais la différence m — m' convergeant indéfiniment vers zéro , les quantités
^ wi ^ m' ^^w, ' <*< m'
DIFFERENTIATlOir DES FONCTIONS ALGEBRIQUES. 105
r». rxt r^i
convergeront aussi indëfiniment vers zéro : donc il faut
que l'intégrale définie
rx, j (fx dx ,
qui ne dépend pas de m', s'évanouisse d'elle-même; et comme les limites de l'intégrale ont été choisies de manière que <p a: ne change pas de signes entre ces limites^ il faut que la fonction 9 x soit nulle, pour chaque valeur de X.
On doit remarquer deux valeurs particulières de m qui se présentent fréquemment dans les applications, les valeurs x et — ^ : on a
^ dx I ^^
^ %Vx \/x aa?i
