DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

d. cS^ = = • a^ dr ^

log. e -^ '

ou bien enfin, en remplaçant^ par x^ d'après rusàgé oii l'on est de désigner par x la variable indépendante ,

d, a' z= 0^ dx ,

log,e

On a d'ailleurs

les logarithmes qui entrent dans le Second membre de cette équation étant pris dans un système quelconque \ par exemple, dans le système vulgaire , ce qui donne

d . cû^ -=: , ^ -' a* dx , logij

et par suite

d • 6* = €^ dx y

ou bien encore

Ainsi, le coefficient différentiel du premier ordre de la fonction ^=^, et par suite ses coefficients différen-tiels ou âes fonctions dérivées de tous les ordres, sont identiques avec la fonction primitive. Cette propriété caractéristique et extrêmement remarquable nous donne à lavance la raison du rôle important de la fonction exponentielle ^ et du nombre e lui-même dans la théorie des fonctions.

Posons, pour abréger^

loge' il viendra

ou^ suivant la notation de Newton [4^] ^

et l'on sait de plus que, pour .r==o, la fluente^ est égale à I.

§i donc on imagine deux points ^^ n (Jîg. 28), dont le premier se meuve sur la droite OX avec une vitesse ou une fluxion constante, et dont l'autre se meuve sur la droite O'Y avec une vitesse proportionnelle à sa distance au point fixe O', de manière à se trouver en A , à l'unité de distance du point O', quand le point ^ est en O ; si enfin Ton admet que la vitesse constante du point ^ est prise pour unité , et que la vitesse variable du point Y) est égale à Y quand il passe par le point A , les distances variables O Ç, O'yi représenteront fen chaque instant les valeurs des variables x^j; ou, en d'autres termes, la fluente OÇsera, dans le système de logarithmes dont la base est a, le logarithme du nombre représenté par la fluente O'y).

Quand on prend la vitesse Y égale à l'unité ou à la vitesse constante du point ^, ce qui est la supposition k plus naturelle ou la moins arbitraire que Ton puisse faire, OÇ est le logarithme naturel ou népérien de 0'y\.

Cest précisément de cette manière que Neper a conçu les logarithmes; et il doit passer pour le précurseur de Newton dans l'invention de la théorie des fluxions , de même que Kepler et Cavalleri peuvent être considérés comme les précurseurs de Leibnitz dans la théorie des quantités infinitésimales.

Il est très-digne de remarque que, contrairement à la marche ordinaire des inventeurs, Neper ait défini immédiatement la fonction logarithmique par son carac-

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tèœ essentiel et éminent , au lieu de partir de ces propriétés secondaires par lesquelles on définit encore les logarithmes dans les éléments, et qui sont la base de leurs applications vulgaires.

66. La différentielle de la fonction logarithmique nous adonné celle de la fonction exponentielle : il est bon de remarquer qu'elle donnerait aussi, de la manière la plus simple, celle de la fonction x^^ l'exposant m ayant une valeur réelle quelconque ^ positive ou négative, cominensurable ou incommensurable. En effet, de

on tire

et en difierentiant

dy dx ,

donc

dfz^zm^dx ^=z mx^r^ dx . (a)

Mais alors la démonstration de cette dernière formule suppose celle de la formule du binôme, au moins dans le cas d'un exposant positif entier : celle que nous avons donnée en premier lieu n'est pas soumise à la même' condition, et peut servir au contraire à établir la formule da binôme , comme la suite le montrera.

Réciproquement, la formule (a) étant démontrée, on eu déduit la dérivée de la fonction logarithmique. Dési- ^ons en effet par 9^ la fonction log x et par (f'x sa dérivée inconnue : on aura

9(0:"*) -=1 mf^X y

*^l en difïérentiant conformément à la règle de diffé* rentiation des fonctions médiates,

OU bien , en vertu de 1 équation (a),

Cette dernière équation ne peut subsister , pour de$ valeurs quelconques de ^ et de m, qu'autant que ^<p'.x: se réduit à une constante dont on obtient la valeur en faisant m=o dans le premier membre. Si donc on désigne par k cette constante égale à ç' (i), il viendra

k , - kdx

ce qui peut servir à retrouver tous les résultats précédemment obtenus.