Passons maintenant aux fonctions trigonométrie

ques, et posons d'abord

y = sin ^ :

nous aurons^ en employant encore directement pour cette fonction transcendante la considération des limites ,

At/ sinf^+A^) — sin ^ sin ^ Aj? , . -^= — ^^ -^ = -r-^ cos(:c+|a^).

Le facteur cos ( x-^^tiX ) a pour limite cos x , lorsque A ^ converge vers zéro; quant au facteur sin I A^

il a pour limite l'unité. En effet , de l'identité

sin e

z= cos e ,

tanç e '

il suit que le rapport du sinus à la tangente a Tuaité pour limite^ quand l'arc converge vers zéro : d'ailleurs, en vertu d'un principe de géométrie bien connu , la longueur d'un arc est toujours comprise entre celle du sinus et celle de la tangente ; donc, à fortiori^ le rapport

sine

a l'unité pour limite.

Donc

-j- = cos X , ax

DIFFÉRENTIATION DES FONCTIOWS ALGEBRIQUES. 117

d . %m X =2 cos X . dx . {b) On trouverait directement, par un calcul tout à fait semblable y

d . cos x= — sinx .dx ] {c) dailleurs , si Ton pose

cos X'=zsmz ^ d'où

Zz^^tZ — X ,

il viendra

d . cos x=zd . sin 2 = cos s dz ; et comme

rfz = — fltr , cos z:=.%\n X , on retombe par cette voie sur Téquation (c).

Les différentielles du sinus et du cosinus nous donnent celles des autres fonctions trigonométriques. Ainsi ToD aura

j , /sin a:\ cos^^. sin j;— • sinor. éi^. cosx

a.taDfi[.a: = rf. ( )='-^ ; '-"

° \cos^/ cos* a:

(cos* X + sin' x) dx dx

cos'^r cos* X *

et par des calculs analogues ,

d. col XZ=Z r— r— 1

sm'a:

, , sin xclx

d . sec X :

rf. coséca:=-

cos'j; ' cos xdx

siii'x \a fonction ^'tz=sin x ayant pour différentielle

dy=^co&xdxz=.\/^i — j". dx , Q aura inversement

dxi

d, arc sin r= ^ ,

OU bien, en changeant jr en .r, afin de désigner toujours par X la variable indépendante ,

, . dx

a . arcsmo::

On trouverait de la même manière

arc cos xz=. —

dx arctangx =

d . arc cot a: =z= —

Pour l'interprétation de toutes ces formules, il faut concevoir que, le rayon du cercle étant pris pour unité, les sinus et cosinus sont des fractions positives ou négatives dont la valeur numérique est comprise entre zéro et I. Quant aux arcs, ce sont des nombres nécessairement rapportés à la même unité métrique que les sinus^ cosinus, tangentes^ etc., sans quoi il n'y aurait point d'homogénéité dans les formules, et la relation d'où nous

sommes parti ,

,. sine

lim . = I ,

n'aurait aucun sens. Il faudra donc que les arcs soient mesurés, non point par le nombre de degrés qu'ils contiennent, lîiais par les rapports de leurs longueurs à celle du rayon prise pour unité. Si un arc était exprimé en degrés seKagésimaUK par le nombre X*, on aurait le nombre x qui doit être substitué dans les formules, par

la proportion

180° : X" :: TT : ^, où Tz désigne, comme à l'ordinaire, la longueur de la demi-circonférence dont le rayon est l'unité.

Si Ton prend pour unité angulaire la seconde sexagé-