La fonction/ {x^y^Zj \ mathématique ou
empirique, doit en général être continue, po.ur les rai-* sons que nous avons indiquées en parlant des fonctions d'une seule variable; et de cet attribut de continuité dérivent des conséquences importantes, indépendantes de la propriété que les fonctions peuvent avoir, de s'exprimer par des formules mathématiques.
La continuité dont jouit la fonction n'empêche pas qu'elle ne puisse éprouver des solutions de continuité , ou pour des systèmes de valeurs particulières
^=5,/ = Yi, 5 = Ç, etc.; ou pour des systèmes de valeurs qui , sans être individuellement déterminées , satisfont à certaines conditions^ particulières
9(:r,7,z, ) = o,^(^,7,2....)==o,etc.;
mais, avant de s'occuper de ces solutions de continuité ^ il convient d'étendre aux fonctions de plusieurs yariar blés la théorie des dérivées ou des variations infiniment petites.
118. Considérons, en premier lieu, une fonction de deux variables
-=/(-^'> j)^ et supposons que x eX y prennent les accroissements
204 LIVRE m. — CHAPITRE I.
A .r, A/ : la variation correspondante de z sera
Az=/(^+ Aa;,7-hAr)— /(J7,r), et nous pourrons la mettre sous la forme
de manière que la quantité isolée par des crochets soit la valeur qu aurait prise la variation A,z, si x seul avait varié.
Nous pourrons mettre encore l'expression de A z sous la forme
^^^/(^-<-Ax,7)-/(x,r) ^ ^^
Me
. y(x-h A3;, /-f- AT ) ~f{x + Ax, /)
Admettons maintenant que les différences A a:, Aj* s'approchent indéfiniment de zéro : le rapport
Sx aura pour limite/' {x,y)\ cette notation désignant la dérivée dey*(^,j^) par rapport à la variable x. Et si nous désignons par / {Xyj-) la dérivée de f (x,jr) que l'on obtient en traitant/ comme la variable, le rapport /(^ + A^>r-hAj)— /(j?+A^,7) Aj convergera vers la limite /^(x-[-Ax, /) quand A/ deviendra de plus en plus petit.
Enfin cette dernière limite , dont la valeur varie avec \x^ convergera à son tour vers la limite j^ i^fj^) quand A^ convergera vers zéro.
Donc^ en désignant par dx^ dj, dz des valeurs infiniment petites de A^, A;^, Az, on aura
dz=f{x,y)dx+f,{x,y)dr.
Mais, d'un autre côté, si nous désignons par d^z la différentielle de z dans l'hypothèse où x varierait seul , et
DES FONGTIOlf S DE PLUSIEURS VAR1A.BLES. 205
par dyZ la différentielle de z dans l'hypothèse opposée où/ serait seul variable , on aura, selon les principes delà notation différentielle ^
et, par conséquent ,
dz = '^^dx+^dx . (i)
dx dy ^ ^
dz désigne alors une différentielle totale; dg,z^ dyZ sont des différentielles partielles;
dgZ dyZ dx dy soDt des coefficients différentiels partiels , ou des dérivées partielles.
Lusage a fait prévaloir la dénomination de dîjfjfe' rences partielles sur celle de différentielles partielles , qui est plus régulière, mais moins euphonique. Cet usage provient de ce que les géomètres du siècle dernier substituaient communément à l'expression de diffé^ rentielle celle de différence , en sous-entendant la qualification dl infiniment petite.
La formule (i), telle que nous venons de l'écrire, n'offrirait aucune ambiguïté : mais en pratique l'emploi des indices au bas des caractéristiques de différentiation occasionnerait des embarras et souvent des fautes decriture ou d'impression. On préfère écrire simplement
et Ton ne craint point de confondre le dz (différentielle totale) qui est au premier membre de l'équation , avec les dz (différentielles partielles) qui figurent aux numérateurs des coefficients différentiels dans le second membre.
206 LIVRE Itl. CHAPITRE I.
Rappelons-*nous en effet que les difFérentielles ne sont que de.^ symboles auxiliaires ^ employés dans le cours des combinaisons analytiques pour parvenir à des coefficients différentiels qui sont des fonctions numériquement déterminées, dès l'instant que l'on assigne des valeurs numériques aux variables dont elles dépendent. Or, tant que les variables x^y sont indépendantes, et que les variations dx , dy ne se trouvent liées par aucun rapport^ les rapports de la différentielle totale dz à dx o\k2idy ^ savoir :
d^z d„z dy dxZ dx d„z dx dy dx' dx dy dy ^ sont indéterminés. Les expressions
dz dz dx ' dy n'auraient donc aucune valeur déterminée si , par le dz qui figure aux numérateurs, on devait entendre une différentielle totale; et le calcul^ appliqué à des questions susceptibles d'une solution déterminée, ne doit pas les amener.
Néanmoins, pour plus de clarté, quelques analystes écrivent, à l'exemple d'Euler et de Laplace, les coefficients différentiels partiels entre parenthèses , de la manière suivante
mais d'ordinaire on regarde ces parenthèses comme superflues.
119. La formule (2) s'étend, sans aucune difficulté, aux fonctions d'un nombre quelconque de variables indépendantes. Ainsi l'on a, pour u==.f{x ,/, s> ^ ,....) ,
, du ^ du , du , du , .^.
du=^d^+-dx+^Jz + ^dt+ etc. . ^3)
Il en résulte que, si ^UJ \x ^ Sj-^ ^z j A^^ etc. , dési*
goent des variations très-petites du premier ordre, on
a, aux quantités près du second ordre et des ordres
supérieurs ,
du du ^ du ^ du ^ , ,,
A«=^lx + -^A;^4-5^A^+^A* + etc. , (4)
du moins tant c|ue les dérivées partielles
du du du du dx dy dz dt^
ne prennent pas de très-grandes valeurs qui rendraient les fractions
'd^' "d^ ' lûT^ ^ ' ^^''• dx dy dz dt
comparables pour leur petitesse à Aa; , Ar, Az , A^, etcj
Donc , si une fonction dépend de quantités qui éprouvent des variations très-petites , positives ou négatives ^ la variation totale de la fonction est sensiblement égale à la somme algébrique des variations que cette fonction aurait subies dans sa valeur^ si chacune des quantités dont elle dépend eût varié seule.
Le principe de la superposition des mouvements trèspetits , qui joue un rôle si important dans l'explication des phénomènes physiques, et sur lequel reposent les théories modernes du son et de la lumière, n'est lui-même qu'une conséquence du principe que l'on vient d'énoncer , et que l'on pourrait appeler le principe de la superposition des petites variations. Si Ton rapproche ce principe de celui de la proportionnalité des petites variations [5], on comprendra comment un nombre borné d'expériences fournit les moyens de calculer les variations
208 LIVRK III. — CHAPITRE I.
d'une quantité qui . dépend de plusieurs autres suivant une loi empirique et inconnue, pourvu que les variations de ces dernières quantités soient renfermées dans des limites étroites. Car il suffira , à la rigueur , d'observer les valeurs de /S.u pour autant de systèmes de valeurs de A^r, A;^, A3, A^, etc., qu'il y a de dérivées partielles à déterminer numériquement dans l'équation (4); et ensuite cette équation donnera /iu en fonction linéaire de A^r, Hj-j etc., pour des valeurs très-petites , mais d'ailleurs quelconques, de ces variations. L'art des observations consiste à observer dans des circonstances qui permettent de déterminer ces coefficients inconnus avec la plus grande précision ; et la théorie des chances fournit à ce sujet des indications que nous n'avons pas à rappeler ici.
120. La démonstration de la formule (a) ou de la formule (3), qui est une généralisation de la première , n'exige point que les variables o:,^, z, etc., soient indépendantes. Mous l'avons supposé pour plus de généralité; mais rien n'empêche de considérer toutes les variables Xy y ^ etc., ou q[uelques-unes d'entre elles, comme des fonctions d'une nouvelle variable indépendante v; ou bien encore de supposer que plusieurs de ces variables (^y et z par exemple) sont fonctions de x. Alors u sera fonction de x sous un double rapport : immédiatement , en tant que x entre dans l'expression de u; médiatement , en ce que u est une fonction des grandeurs jy et z, qui sont elles-mêmes des fonctions immédiates de .r. Il faudra remplacer dans la formule (3) les termes
du j du ,
par
DES FOirCTIOlfS D£ PLUSIEURS VARIABLES. 209
<du dy du dz\ ,
sjrf/ dx dz dx) ' et ainsi pour tous les cas semblables.
On profite de cette observation pour faciliter la différentialion des fonctions mathématiques d'une seule variable, quand l'expression en est compliquée. Si , par exemple , on avait à différentier la fonction
on pourrait poser
d'où
dx , dx
dr'= y , dz:=L -T,=^
On aurait d'un autre côté
ce qui donne
du 'f—^yz du /»
ày ~ {y—zf ' dz — {y—zy • Si l'on substitue ces valeurs dans la formule . du , du j fdu dy du dz\ ,
on trouvera
et après qu'on aura remplacé les variables auxiliaires^, z par leurs valeurs en .r,
du=-^. .dx.
121. Dans les applications du calcul aux phénomènes naturels, lorsqu'une fonction u dépend d'une certaine grandeur t^ à la fois immédiatement et médiatement, il est quelquefois , non-seulement commode , mais indis-
210 LIVRE III. GHAPITI^E I.
pensable, de considérer séparément dans la varia tioo de u la part qui provient immédiatement de la variation de t^ et celle qui provient de la variation d'une quantité V qui elle-même est fonction de t. Pour fixer les idée» par un exemple sur cette double dépendance , imaginons une particule matérielle mue dansi'espace par Tactioft qu'elle éprouve de la part d'un corps électrisé* L'intensité de la force motrice est une fonction immédiate du temps tj à cause que la charge du corps électrisé éprouve une déperdition continuelle, et une fonction médiate de la même variable, en ce qu'elle dépend des coordonnées du point en mouvement, qui changent d'un instant à l'autre. Les questions les plus délicates de la théorie des mouvements des corps célestes tiennent à des distinctions de ce genre entre les diverses parties de la variation d'une fonction, que l'on doit considérer comme autant d'effets séparés de la variation d'une même variable. En pareil cas, le coefficient différentiel -^ peut
avoir des valeurs différentes et toutes définies , soit que l'on considère du comme une différentielle totale ou comme une différentielle partielle. Il faut convenir alors de certaines notations propres à lever toute ambiguïté ; mais il n'y a pas de règles générales à cet égard.
122. La formule (3) sert à démontrer une relation connue sous le nom de théorème des fonctions hjomo^ gènes. En un sens purement algébrique , on dit qu'une fonction f{x ,/, <3, ....), est homogène si Ton a , quel que soit 6 ,
/(ô^,6r, es, ..,.)=6»/(a:,7,^, ).
En prenant les différentielles des deux membres par rapport à 6 , on aura cette autre identité
DES FOirCTIONS DE PLUSIEURS VARIiiBLES. 211
'^' ?•' "'> • -'Kd^+i'^^^^ "•^^ **'' • ' • Vrf6
dx dy
Divisons par cR et faisons ensuite 0=::i : il viendra
Cette dernière formule est l'expression analytique du théorème des fonctions homogènes.
