CHAPITRE PREMIER

INUEPENDANTES, ET* DE LEUR DIFFÉRENT lAïlON.

NOTIONS SUR LES SOLUTIONS DE CONTINUITÉ DES FONCTIONS DE DEUX ET DE TROIS VARIABLES.

115. Nous n'avons considéré jusquici qu^ des fbnokions d'une seule variable, cW-*à*dire , des grandeurs dont la valeur est déterminée par cela seul qu'on assigne la valeur d'une autre grandeur variable dont elles dépendent; mais plus généralement la valeur d'une quan* tité dépend des vateui^ que prennent plusieurs autres quantités susceptibles de varier, cliacune séparément et indépendamment des autres : ce qu'on expriipe en disant que la première quantité eU une fonction de plu-' sieurs variables indépendantes.

Ainsi l'intensité de la pesanteur terrestre varie avec la hauteur du corps pesant au-dessus du niveau des mers, et elle varie aussi avec la latitude. Ces variables sont indépendantes ; car on peut concevoir que la hauteur change sans que la latitude varie , et réciproquement. Si la figure de la terre s'écartait sensiblement de

celle d'un sphéroïde de révolution , l'intensité de la pesanteur varierait encore avec la longitude, et deviendrait une fonction de trois variables indépendantes.

Quand un corps solide^ primitivement échauffé d'une manière uniforme, se refroidit, la température en chaque point de la masse varie avec le temps : elle varie aussi, au même instant, d'un pointa un autre; car les molécules voisines de la surface par où la chaleur se dissipe, doivent arriver à une température rapprochée de celle du milieu ambiant, plus tôt que les molécules placées dans la partie centrale du corps. La température en chaque point de la masse est donc une fonction de quatre variables indépendantes, savoir, du temps écoulé depuis l'origine du refroidissement, et des trois coordonnées qui fixent la position du point dans l'intérieur du corps.

On pourrait multiplier indéfiniment ces exemples , et il est facile de reconnaître que , dans la plupart des phénomènes naturels, chaque quantité mesurable dépend de beaucoup d*autres quantités susceptibles de varier séparément. Mais, afin de simplifier les questions et de les rendre accessibles au calcul, on considère les cas où ces quantités reçoivent des valeurs fixes, ou sensiblement fixes, à l'exception d'une, de deux, de trois d'entre * elles; et alors les quantités dépendantes deviennent fonctions d'une, de deux, de trois variables.

Pour exprimer qu'une quantité u est fonction de plusieurs variables Xjjr^ z^ on emploie la notation

et si l'on voulait indiquer qu'il entre en outre des constantes ou des paramètres a, é, c, dans la détermination de la fonction 9 on écrirait

Par rapport à chacune des variables dont elle dépend, une fonction peut être mathématique ou empirique , algébrique ou transcendante, rationnelle ou irrationnelle, entière ou fractionnaire, linéaire ou non linéaire, etc.: il n'y a rien à ajouter aux explications que nous avons données sur ces diverses classes de fonctions, en traitant des fonctions d'une seule variable.

Quand la fonction u est définie mathématiquement par une équation

non résolue par rapport à Uj la fonction est implicite : elle devient explicite après qu'on a résolu Téquation par rapport à u.

116. Une fonction de plusieurs variables , qui n'a pas, ou à laquelle on ne connaît pas d'expression mathématique, est censée connue, pour les valeurs des variables indépendantes comprises entre des limites assignées, au moyen de tables qui donnent les valeurs de la fonction, correspondant à autant de systèmes de valeurs h-ès-rapprochées, assignées aux variables indépendantes. Mais la construction de ces tables n'est réellement praticable que pour les fonctions de deux variables seulement. Soient

Jx^ T'xy y^^ • • • J^n-iî Jn \

deux séries de valeurs de x et de /, suffisamment rapprochées , et désignons par {/a,a I^ valeur de la fonction a qui correspond au système (^a,/a) : les valeurs de w, correspondant à toutes les combinaisons qu'on peut former entre les valeurs de x et celles de y^ comprises dans les deux séries ci-dessus, pourront, pour la com-

modité des recherches , être disposées eu tableau comme il suit :

Ja

n.fi

(le manière que la valeur u^^ se trouve dans la bande verticale, en tête pu à Ventrée de laquelle figure .r^, et dans la bande horizontale , à gauche ou à Ventrée de laquelle figure yi^ Une table ainsi construite se nomme une taWe à double entrée. La table de Pylhagore est l'exemple le plus connu d'une table à double entrée. Une table de logarithmes est de sa nature à simple entrée , comme toutes celles qui comprennent la série des valeurs des fonctions d'une seule variable; mais par la manière dont on a disposé les tables ordinaires, pour en diminuer le vojume , on les a artificiellement converties en tables à double eptrée.

Une fonction de trois variables indépendantes x^y^ z pourrait être donnée au moyen d'une table à triple en-^ trée, dont on se fera une idée en imaginant l'espace partagé en cases cubiques par trois systèmes de plans parallèles dont chacun coupe à angles droits ceux des

deux autres systèmes; et en supposant qu'on inscrive dans chaque case une valeur de la fonction Uy de manière que la valeur Uh, i, / se trouve au-dessus de la case ^Kk du précédent tableau, supposé horizontal , et dans Vassise horizontale pour laquelle la variable z a la valeur js/. S'il y avait plus de trois variables indépendantes, on ne pourrait plus imaginer de disposition géométrique analogucy propre à coordonner dans l'espace toutes les valeurs particulières de la fonction qui en dépend.