CHAPITRE II

DIFF]£REirTlA.T10ir DES FONCTIONS IMPLICITES d'uNE OU DE PLUSIEURS VARIABLES INDJ^PENDANTES. CHAN- GEMENT DE VARIABLES.

$ i^'. Différentiation des fonctions implicites.

13h Lorsque la variable^ est déterminée implicitement en fonction de x par Téquation non résolue

le premier membre de l'équation peut être regardé comme une fonction u des variables x^ y^ assujettie à rester constamment nulle, en sorte que les incréments dx^ t^ sont liés par l'équation

. du j du , dy du . du

dx dy dx dx dy

Au lieu d'employer le signe auxiliaire u , on peut écrire

dx dy

ou plus simplement encore

Quand on emploie jr' pour désigner le coefficient dif-

dy férentiel -4- , cette équation prend la forme

a ou

•^ dx dy

En général , le second membre de cette équation est une fonction explicite des deux variables j;,jr; lorsqu'on

y substitue la valeur de ^ en x ^ tirée de l'équation (a) , y se trouve exprimé en fonction de la seule variable x. Si l'équation {a) est algébrique, on peut encore éliminer j entre {a) , {d) par les méthodes ordinaires ; et l'équation résultante , qui , en général , n'est pas résoluble algébriquement par rapport à y\ détermine implicitement y en fonction de x.

A cause des liaisons qui subsistent entre la variable indépendante x et chacune des fonctions^, y, le premier membre de (a') est une fonction de^ qui doit rester nulle , quelque valeur que prenne x. Donc la dérivée de ce premier membre, prise en traitant^, /' comme des fonctions de j:, est nulle, et l'on a entre x^j^y^y\ l'équation

de sorte qu'on peut éliminer deux quelconques de ces quatre variables entre (a) , (a') , (a''). Si l'on chasse par exemple y, on aura entre X'^ y^f l'équation

dx' \dy) dxdj dx dydy \dxj ^ \dxJ^ ""

De même, pour déterminer y, on prendrait la dérivée par rapport à x du premier membre de (a") , en appliquant toujours la règle de la différent iation des fonctions médiates , ce qui donnerait

11 n'y a aucune difficulté à continuer ce calcul de proche en proche, ni à construire immédiatement la formule qui donnerait la valeur de^''^