DIFF^RENTIATION DES FONCTIONS IMPLICITES

132. Quand on a un nombre n d'équations entre /i-|-i variables , ce système ne laisse qu'une seule variable indépendante dont toutes les autres sont des fonctions qui s'exprimeraient explicitement, si l'élimination entre les proposées et la résolution des équations résultantes pouvaient s'opérer.

Désignons, pour abréger , par

/« = o,y; = o,/3 = o, fn = o, (A)

les équations qui lient entre elles les variables /, ^yJK^ 2, , en nombre n^i : on aura aussi les équations dérivées

Maintenant, si la variable indépendante est tj on divisera toutes les équations {b') par dtj et l'on aura n équations linéaires entre les n coefficients difFérentiels dx dy dz

dt' dt' dt' ***'•'

aa moyen desquelles ces coefficients seront individuellement déterminés en fonction de t^x^jr^ z, etc. De même les équations

que l'on obtiendra par la difFérentiation des équations (i), en considérant j;,/, 2, etc., comme des fonctions «fe ty détermineront les dérivées du second ordre d*x rfy d'z

et ainsi de suite. Nous avons surmonté d'un trait les quantités t/*^, d^f%^ etc., pour montrer qu'elles indiquent des difFérentielles totales, et non des différentielles partielles [it8].

Afin de mieux fixer les idées, supposons qu'on ait entre les trois variables ^ , /, z , les deux équations

et que Ton prenne x pour variable indépendante : une première différentiation donne

dx dy dz

De là on tire

-^ \dx dz dz dx) \dy dz dz dy ) '

\dy dx dx dyj\dy'dz dz dy J Une seconde différentiation conduit aux équations du second ordre

^« 4. o J^ r' -I- a -^z' + a -^ r' z' da? + * rfr*//^ ^ "* </:rrfz* +* rfj^/z-^ *

et celles-ci donneront les valeurs à&y\z" en x,j; z^ après qu'on y aura substitué celles de y, z' , tirées des équations précédentes. On pourra ensuite opérer l'élimination de j', z, au moyen des deux proposées , de ma-

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nière a obtenir deux équations finales, l'une en Xjjr'^ l'autre en x, z' .

On déterminerait de la même manière les coefficients /", /', et ainsi à l'infini.