CHAPITRE PREMIER

DES FOffCTIONS SN GlÎNÉRAL ET DE LA THEORIE 1)E$ FONCTIONS.

1. Dans le langage emblématique des anciens algébristes, les produits de facteurs égaux s'appelaient indifféremment puissances y dignités ou fonctions : nous attachons encore aujourd'hui au mot de puissance la même acception , et celui de dignité (dignitas) est resté en usage dans le latin technique ; mais le terme de Jonction a dépouillé depuis longtemps cette acception particulière pour en prendre une autre beaucoup plus générale, et dont la généralité dénote l'un des progrès les plus remarquables de l'abstraction mathématique.

Jean BernouUi paraît être le premier qui ait entendu

2 LIVRE !• CHAPITRE ï.

par fonction d'une quantité x^ non-seulement les puissances de cette quantité , telles que j?" , mais toutes les quantités y dont on peut exprimer par des signes d'algèbre la relation avec la quantité x : relation en vertu de laquelle la valeur de x détermine celle de/, et réciproquement. Ainsi :

ji^ — mx+n i

jr=a+{b—xf,jr=- ^— ===— ,^===^lôg.(i +x)fi{c.

sont en ce sens des fonctions de x aussi bien que x". On fait tomber vers Tannée 1690 la date de cette innovation (') y qui n'aurait eu d'ailleurs qu'une faible importance, si elle ne s'était rattachée aux idées émises par Descartes, un demi-siècle auparavant.

Il résulte en effet des conceptions de Descartes, qu'une équation algébrique n'est pas seulement propre à indiquer les opérations de calcul par lesquelles on peut obtenir la valeur numérique d'une quantité déterminée, mais qu'elle exprime encore la loi suivant laquelle varient simultanément deux grandeurs dont l'une dépend de l'autre, et qui toutes deux passent d'une valeur à une autre sans discontinuité, ou en prenant successivement toutes les valeurs intermédiaires. Il fallait exprimer d'une manière générale cette dépendance entre deux grandeurs variables; ce qu'on fait commodément en disant, d'après BernouUi, que l'une des variables est fonction de l'autre.

(') Voyez deux notes de Leibnitz, iiisérëes dans les Acta eruditorum et dans le Journal des Savants pour Tannée 1694 [OEuvres de LeibnitZy t. III, p. 3oo et 3o2). Le mot àe fonction y est pris dans une acception qui n'est pas encore précisément celle qu'il a conser> vée, mai» qui s'en rapproche beaucoup pour le sens et pour la généralité.

DES FOUGTIOirS. ' 3

La pensée de Descartes était, comme chacun le sait, d'appliquer l'algèbre à la géométrie, et pour cela de défmir algébriquement les courbes au moyen d'une équa* tion entre les coordonnées de chaque point. Réciproquement, cette idée mettait sur la voie d'appliquer la géométrie à l'algèbre, en considérant les deux variables de toute équation indéterminée comme les coordonnées d'une ligne dont on peut, au moyen de l'équation même, déterminer avec exactitude autant de points qu'on le juge convenable. La courbe n'est plus alors que le signe graphique et conventionnel de la loi algébrique qui lie les variables entre elles; mais ce signe conventionnel est merveilleusement adapté à la nature de la chose signifiée ; et il ramène à des faits de pure intuition des rapports que l'esprit ne saisirait pas sans effort dans leur nature abstraite, en s'astreignant à n'employer que des signes d'une autre espèce. I^a continuité de la ligne est l'imase sensible de la continuité de la fonction : et les inflexions d'une courbe, son allure, font souvent voir d'un coup d'œil ce qu'on ne mettrait que péniblement en évidence par la discussion algébrique de l'équation que la courbe représente.

2. Le caractère propre d'une fonction continue consiste en ce que Ton peut toujours assigner à l'une des variables des valeurs assez voisines pour que la différence entre les valeurs correspondantes de la fonction qui eu dépend, tombe au-dessous de toute grandeur donnée. Autrement, cette fonction ne pourrait pas être exprimée par l'ordonnée d'une ligne dont l'autre variable est l'abscisse ; et , réciproquement, il est manifeste que cette propriété subsiste pour toute fonction exprimée par l'ordonnée courante d'une certaine ligne. Quand une

4 LIVRE I. GHAPITAE 1.

fonction définie par une formule algébrique devient infinie pour une certaine valeur de l'autre variable^ on dit que la fonction éprouve, pour cette valeur, une solu" V tion de continuité. C'est ce qui arrive, par exemple, à la fonction très-simple

pour la valeur x:=za. Si l'on donne à x deux valeurs ^ très-voisines, mais l'une un peu plus petite, l'autre un peu plus grande que a, les valeurs correspondantes de^ différent excessivement, l'une étant un très-*grand nombre négatif et l'autre un très-grand nombre positif; et même, dans ce cas, plus la différence des valeurs de x deviendra petite, plus la différence (algébrique) des valeurs correspondantes de la fonction / ira en croissant. Aussi, l'hyperbole dont la fonction y est l'ordonnée, a deux branches séparées par l'ordonnée asymptotique qui correspond à l'abscisse a.

Eu général, les fonctions qui s'expriment avec les signes usités en algèbre et en trigonométrie, ont, comme la précédente, la propriété de rester continues dans l'ensemble de leur cours, sauf des solutions de continuité qui peuvent correspondre à certaines valeurs singulières de la variable dont elles dépendent. Il y a cependant quelques exceptions à ce principe, auxquelles on est conduit par une suite nécessaire des règles d'après lesquelles se combinent les signes algébriques. Si, par exemple, on posait /= ( — a)% a désignant un nombre positif, toutes les fois que x serait égal à une fraction de numérateur impair et de dénominateur pair, ^deviendrait imaginaire; et comme on peut toujours intercaler entre deux valeurs de x^ si voisines qu'on les

conçoive, une infinité de fractions à numérateurs impairs et à dénominateurs pairs, il s'ensuit qu'on ne peut joindre par un trait continu deux points correspondant à deux systèmes de valeurs réelles pour les coordonnées JT et 7^, quelque voisins qu'on les suppose. Mais des fonctions anomales, comme celle que Ton vient d'indiquer, ne sont pas susceptibles de s'appliquer à la mesure des phénomènes naturels, et ne jouent même jusqu'ici qu'un rôle très-borné en analyse pure. 11 n'en sera reparlé que beaucoup plus tard, dans la suite de ce Traite.

3. D'un autre côté (et cette considération est, sans comparaison, plus importante), nous concevons qu'une grandeur peut dépendre d'une autre, sans que cette dépendance soit de nature à pouvoir être exprimée par une combinaison des signes de l'algèbre. £n étudiant la trigonométrie, le lecteur a vu qu'on introduit des abréviations ou des signes spéciaux pour indiquer le sinus, le cosinus, la tangente d'un arc, grandeurs géométriquement déterminées, par cela seul qu'on assigne la valeur de l'arc, mais qui ne peuvent cependant pas s'exprimer en fonction de l'arc au moyen des signes de l'algèbre pure. Imaginons un pendule Sm {Jîg* i) qu'on écarte de la verticale d'un angle /wSV, et qu'on abandonne ensuite dans le vide à l'action de la pesanteur : on conçoit une relation nécessaire entre le temps écoulé depuis l'origine du mouvement, et l'angle que la tige du pendule fait en chaque instant avec la verticale; mais cette relation ne peut point s'exprimer exactement avec les seuls signes algébriques et trigonométriques, qui sont censés connus du lecteur. Nous énoncerons toutefois la dépendance de ces deux grandeurs, en disant que l'angle d'écart est une

fonction du temps ; mais alors nous généraliserons l'acception du mot àe fonction beaucoup plus qu'on ne l'avait fait d'abord.

Ceux qui ont étudié la dynamique savent qu'on peut effectivement calculer, avec tel degré voulu d'approximation, la valeur numérique de l'angle d'écart pour chaque instant, et pour chaque valeur de la longueur du pendule et de l'angle initial d'écart, en n'empruntant à l'expérience qu'une seule donnée, la mesure de l'espace que décrit un corps qui tombe librement dans le vide pendant la première seconde de sa chute. Mais l'étude des autres phénomènes naturels, et surtout celle des phénomènes de la vie sociale, nous montrent une foule de cas ou deux grandeurs variables dépendent manifestement l'une de l'autre, sans qu'on puisse calculer Vnne à priori zxl moyen de l'autre : soit parce qu'en effet la liaison qui les unit n'est pas susceptible d'une définition mathématique; soit parce que cette définition, quoique possible, nous est inconnue.

Ainsi, la force élastique maximum de la vapeur d'eau est une fonction de la température de cette vapeur; la température moyenne des diverses tranches d'une colonne atmosphérique est une fonction de la hauteur de cette tranche au-dessus du niveau des mers; la quantité demandée d^une denrée est une fonction du prix courant; au sein d'une grande population, le rapport du nombre des individus de chaque âge à la population totale est une fonction de cet âge. £n donnant au mot Ae fonction, comme on doit le faire maintenant, cette acception tout à fait extensive , nous le tirons en quelque sorte de la langue mathématique, pour lui donner place dans un vocabulaire moins spécial, à l'usage de tous ceux qui cultivent les sciences où l'on compare de» grandeurs mesurables.

DES FONGTIOICS. 7

Les fonctions dont il s'agit ici ne peuvent être données (|ue par 1 observation, et elles sont réputées connues lorsqu'on a construit une table où se trouvent^ d'une part, des valeurs très-voisines et très-multipliées de l'une des quantités variables, d'autre part, les valeurs correspondantes de la fonction qui en dépend, telles que les donnent des observations très-précises, ou assez nombreuses pour que les erreura qu'elles comportent, disparaissent sensibleméat des résultats moyens. On doit nommer les fonc- UoQs ainsi détei*minéQs, fonctions empiriques y par opposition aux fonctions qui se définissent mathématiquement, et qu'on peut calculer exactement, ou avec une approximation illimitée, en ne s'appuyant que sur leur définition

I^e système de représentation graphique imaginé par Descartes s'applique aux fonctions empiriques comme à celles qui peuvent s'exprimer par une formule algébrique ; puisque, même pour celles-ci, il feut en général convertir d'abord la formule en table , afin de déterminer des points isolés que l'on joint ensuite par un trait continu, de manière à tracer la courbe avec une exactitude d'autant plus ^nde que les points déterminés exactement sont plus voisins et en plus grand nombre.

Parmi les personnes qui s'occupent des sciences physiques et sociales, il n'eu est aucune qui ne connaisse les avantages attachés à l'emploi du tracé graphique pour représenter les formes des fonctions empiriques; pour résoudre pratiquement les problèmes qui s'y rapportent; enfin pour apercevoir des résultats que la simple inspection des tables ne mettrait pas suffisamment en évidence, et qui dépassent même les limites des tables : le sentiment de la continuité des formes tenant lieu ici de

ce procédé d'iaduction auquel l'esprit humain est redevable de la plupart de ses découvertes.

*^ 4* Une grandeur physique et mesurable doit toujours rester finie, et ne peut par conséquent, comme certaines fonctions algébriques, éprouver des solutions de continuité provenant du passage de la fonction par une valeur infinie. Chaque fois que Ton trouve une grandeur physique exprimée par une fonction mathématique sujette à de telles solutions de continuité, il faut en conclure que la fonction mathématique cesse de donner la véritable mesure de la grandeur physique, dans le voisinage des valeurs pouy l^^(tq,^l^^]a solution de continuité a lieu.

Par exemple, on sait que la force de gravitation entre deux molécules pondérables, est exprimée par la fonction

a désignant une constante^ et a: la distance des deux molécules considérées comme des points mathématiques. Cette fonction devient infinie quand x s'évanouit; mais on ne peut physiquement admettre, ni que les molécules se réduisent à des points mathématiques , ni que ces points coïncident. Lorsque les molécules seront trèsvoisines l'une de l'autre, l'équation (i) qui était sensiblement exacte, tant que les dimensions des molécules restaient très-petites comparativement à leur distance , devra être remplacée par une autre qui dépendra. de la figure des molécules.

Lorsqu'une grandeur physique varie avec le temps , ou en raison seulement de la variation des distances entre des molécules ou des systèmes matériels, ou par l'effet de l'écoulement du temps combiné avec la variation des distances, il répugne qu'elle passe d'une valeur finie

DES FOjrcTioirs. 9

à une autre, saas prendre dans l'intervalle toutes les valeurs intermédiaires. C'est ce qu'exprime l'adage célèbre des anciennes écoles : Natura non Jaçit saltus. Mais dans l'état d'imperfection* âe nos connaissances sur la constitution des milieux matériels, on est autorisé à admettre pour certaines grandeurs physiques , telles que oous les pouvons définir et mesurer, des solutions de continuité résultant du passage brusque d'une valeur finie à une autre. Ainsi , quand deux liquides hétérogènés, tels que l'eau et le mercure, sont superposés, nous regardons la densité comme une grandeur qui varie brusquement à la surface de contact des deux liquides: bien que toutes les probabilités nous portent à croire , et qu'il soit philosophique d'admettre que la solution de continuité disparaîtrait, si nous nous rendions complètement compte de la structure des liquides , et de tous les phénomènes qui se passent dans le voisinage de la surface du contact.

5. Or, par cela seul que des fonctions mathématiques ou empiriques satisfont à la loi de continuité, elles jouissent de certaines propriétés générales qui sont d'une grande importance , non-seulement pour la théorie abstraite du calcul, mais bien plus encore pour l'interprétation des phénomènes naturels. Nous nous bornerons à en citer deux, que la représentation graphique des fonctions par les courbes rend manifestes , et qui ne tarderont pas à devenir l'objçt de très-amples développements, mais qu'il suffira d'énoncer pour le but que nous avons actuellement en vue.

La première propriété consisté en ce que les variations de valeur que subit une fonction, à partir d'une valeur déterminée, sont sensiblement proportionnelles

aux variations correspondantes de 1 autre grandeur, quand ces variations sont très*petites. Déjà le lecteur a vu une application très-importante de ce principe, dans la manière de faire usage des différences proportionnelles, annexées aux tables de logarithmes. Afin de fixer les idées par un autre exemple, prenons la fonction algébrique :

jr — 1 J (a)

représentée (Jig. a) par les deux branches de courbe i l ntriy s u Vf que sépare une ordonnée asymptotique, correspondant à l'abscisse rr == lo. Nous trouverons :

,-pour^ = i,oo, r= «'00°«ODiffér. H- o,oo555

x=i,oi, r=+o,oo555 ,.o,oo554

or= i,oa , /=+ o,oi 109

o,oo553

a® pou vx=z 6,00 , y = 0,00000 .r=6,oi , j= — 0,0 1^256

— o,oia56 a £r Q — 0,01267

/; Q oû —0,01278

La loi de proportionnalité se vérifie avec une grande approximation dans les deux cas , quoique les valeurs de jr varient plus rapidement dans le second cas que dans le premier, pour des accroissements égaux de ,r. Cependant nous avons fait varier la valeur de x par degrés égaux à un centième, ce qui n'est pas une fraction très-petite. Si nous avions pris une série de valeurs de X équidistantes d'un millième, la proportionnalité

des variations correspondantes de^se serait soutenue . d'une manière beaucoup plus approchée.

Au surplus, tout ceci revient à dire qu'un arc de courbe approche d'autant plus de se confondre avec la tangente menée par une des extrémités de Farc^ que cet arc est plus petit : car, pour une droite, les différences des ordoDoées sont rigoureusement proportionnelles aux différences des abscisse , et le rapport constant de ces différences est égal à la tangente trigonométrique de l'angie que la droite fait avec Taxe des abscisses.

La fécondité de ce principe si simple, la portée de ses applications sont faciles à pressentir. Ainsi, chaque fois que certaines variables oscillent autour de valeurs moyennes dont elles s'écartent très-peu; lorsqu'on a, par exemple , j; = Xo -h 4^', a/ étant au nombre variable, toujours très-petit par rapport au nombre constant x^y toutes les fonctions de x, connues ou inconnues, mathématiques ou empiriques, deviennent des foDctioDs de x' qu\)n peut sans erreur sensible ramener à la forme a Hh baf, a et b désignant des nombres constants, c'est-à-dire à une fonction algébrique, la plus simple de toutes. Tel est en effet le grand moyen d'approximation à l'usage des analystes : celui par lequel ils soumettent au calcul des questions qui, dans leur généralité, se déroberaient à toute investigation mathématique.

Plusieurs principes de physique, découverts par l'expérience, et donnés comme des faits d'observation, ne sont que des conséquences du principe mathématique <iue l'on vient de rappeler.

6. L'autre propriété générale des fonctions continues, lue nous voulons faire remarquer ici, consiste en ce

que la valeur de la fonction reste senslblemeut station* naire dans le voisinage des valeurs maxima ou /w/rdma. Ceci ressort encore de l'inspectiou des courbes : çar^ quand l'ordonnée d'une courbe, après avoir été d^ croissante y devient croissante (ce qui est le cas du rrmximwn), ou bien au contraire, quand, après avoir été décroissante , elle vient à croître (auquel cas elle passe par un mirUmtun)^ la tangente à la courbe devient parallèle aux abscisses, comme en le voit sur la Jig. 2, aux points m et u. L'ordonnée de cette tangente devient constante, et l'ordonnée du petit arc de courbe qui se confond sensiblement avec la tangente, selon la remarque du n° précédent, a par cela même une valeur Sensiblement constante. Il peut , à la vérité, se présenter des cas où cette règle tomberait en défaut, comme cela arriverait pour la courbe ghk (^fig. 3) qui subit au point h ce que les géomètres nomment un rebroussemenU L'ordonnée du point A est un maxi'm2///2, quoique la tangente commune aux deux arcs^^^ hk, qui viennent se toucher en A, soit perpendiculaire et non parallèle s^j. l'axe des abscisses. Mais cette exception tient à un accident singulier dans le tracé de la courbe g h X", et à une position déterminée de l'axe des abscisses par rapport à cette courbe ; au lieu que la règle générale dont \^ fig^ a offre une application, ne suppose aucune particularité dans le tracé de la courbe, et subsisterait pour toute autre direction de l'axe des abscisses, ou, ce qui revient au même, après un déplacement quelconque de la courbe par rapport à l'axe. Seulement, si un semblable déplacement avait lieu, les ordonnées maximum et minimum ne correspondraient plus aux points m et u^ mais à d'autres points de la courbe.

DES FOKCTIOfIS. 13

On trouve directement , par des méthodes qui seront exposées|plus loin , que les valeui*s maximum et minimum de la fonction (a) correspondent aux. valeurs 1 = 4, ar= i6, et le calcul numérique nous donnera :

>>arx= 3,99, jr= 0'999983ujff ^^^^„„

x=z 4,oo,r= KOOOOOO

; ^ ' Qo —0,000017

i>urx = i5,99 , jr =25,000017 ^^^^

j: 1= 16,00 , r =a5,oooooo

CoDsequemment une variation d'un centième dans la valeur de a:, quand ^ = 4 ou = 1 6, ne fait varier que Je 17 millionièmes la valeur de y; tandis que la variation de jr correspondant à une égale variation de Xy Ktîiô fois plus grande quand x=. i, et 739 fois plus frande quand a; = 6, selon les calculs rapportés plus haut.

La propriété que nous venons de reconnaître dans les valeurs m^axima et minimay trouve sans cesse son application dans la pratique, et notamment dans la mécanique industrielle, où il s'agit surtout d'apprécier la 'ïJcur d'une certaine grandeur, qui correspond à un ^f^imum d'effet utile pour la même dépense d'argent ou de force, ou à un minimum de dépense pour la production du même effet utile. Cette propriété vient •nerveilleusement à notre secours, vu l'imperfection de iios connaissances et de nos instruments de mesure, en élargissant les hmites entre lesquelles notre appréciation peut tomber, sans qu'il en résulte de notables variations ^Ds la dépense ou dans l'effet produit.

Cependant, quelque important et quelque facile à apercevoir que soit ce principe, Montucla nous dit (') qu'il n'a été énoncé en premier lieu que par Kepler, dans son livre intitulé : Stereometria doUorum, publié en i6i5.

7. Maintenant il est aisé de comprendre qu'outre ces propriétés presque évidentes, communes à toutes les fonctions continues, il peut y en avoir d'autres^ moins aisées à découvrir, et qui appartiennent de même à toutes les fonctions, ou à certaines classes de fonctions, définies par des caractères généraux , tels que serait celui de croître sans cesse avec la variable dont elles dépendent, ou de reprendre périodiquement les mêmes valeurs pour des valeurs équidistantes de cette variable. Dès lors on peut imaginer une théorie qui aurait pour objet la discussion des propriétés générales des fonctions; et cette théorie constituera une branche spéciale des mathématiques , subsistant par elle-même ; laquelle à la rigueur aurait pu former un corps de doctrine, quand même l'algèbre n'eût pas été préalablement inventée; quand même on n'aurait pas pu se proposer d'appliquer cette théorie à des fonctions algébriques : quoique sans doute la principale utilité de la théorie des fonctions consiste dans l'application ^ont il s'agit, surtout si l'on a en vue la détermination numérique des grandeurs.

Nous insistons sur cette manière de définir la théorie des fonctions^ parce qu'elle repose sur unç idée qui reviendra dans tout le cours de ce Traité. Elle nous paraît être la base philosophique de la partie de l'ensei-

(') Hist. des Malb., part. IV, liv. i, n*' A.

DES FONCTIOirS. 15

^emeut dont nous nous occupons ^ et la seule qui réponde bien à Tétat actuel de l'analyse mathématique. Oq y est surtout conduit par les applications de plus en plus étendues de l'analyse aux sciences physiques; mais, iDdépeadamment de toute application, on trouve dans la théorie ainsi comprise la solution immédiate de la plupart des controverses agitées à diverses époques eatre les géomètres, au. su jet des principes mêmes de l'analyse (").

8. En général on exprime que la grandeur^ est une foDction de Xy connue ou inconnue', mathématique ou empirique, par le moyen de notations, telles que :

J=/(^)i J=F(^)^r = ?(^). etc.

les lettres^ F, ç,.... désignant, non pas des quantités, mais des caractéristiques de fonctions , analogues aux abréviations log ou sin. Souvent , lorsque les parenthèses ne doivent contenir qu'une lettre , on les supprime, et quelquefois, dans ce cas, on n^et un point après la caractéristique. Le lecteur a pu déjà se familiariser avec ces notations dans les traités de pure algèbre où on les a introduites; mais en algèbre les caractéristiques désignent essentiellement des fonctions i^ébriques, et désormais elles pourront s'appliquer à des fonctions quelconques.

Dans la détermination d'une fonctiou y = /* (x\ peuvent entrer et entrent ordinairement les valeurs de

(') Ainsi Lagrange n'aurait pas fait un livre exprès « pour réduire '<^ calcul difTéreaiiel à l'analyse algébrique, » s*il avait distingué dans ^c calcul diflfërentiel un corps de doctrine qui fait partie de la théorises fonctions continues, qu'elles s'expriment ou non par les lignes de l'algèbre , et qui subsiste indépendamment des applications qn'on en peut faire aux fonctions et au calcul algébriques.

certaines grandeurs que l'on doit considérer comme constantes 9 tandis que x et par suite^ varient. Si y et X désignent les coordonnées courantes d'un cercle, le rayon du cercle est une de ces constantes. L'angle initial d'écart d'un pendule [3] (*) et l'espace décrit par un corps qui tombe durant la première seconde de sa chute, sont aussi des constantes de la valeur desquelles dépend la fonction qui exprime la valeur de l'angle d'écart , pour chaque valeur du temps écoulé depuis l'origine du mouvement. On donne quelquefois à ces cons-tantes le nom de paramètres^ emprunté à la théorie des sections coniques : dans les applications aux sciences physiques, on appelle bm^si coefficienls des constantes dont les valeurs numériques doivent être déterminées par l'expérience*

Il est souvent utile d'exprimer qu'une fonction dépend, non-seulement de la variable x, mais en outre des valeurs constantes attribuées à certains paramètres /^, bfC ; te qu'on fait en écrivant

r=fK^^ «r*. c, .. ). (3)

Si l'on était amené à concevoir que ces paramètres a, b^ c , au lieu d'avoir des valeurs constantes et déterminées pour chaque cas particulier, varient sans discontinuité à la manière de x^ ils perdraient le nom de paramètres : la grandeur y se rangerait parmi les fonctions de plusieurs variables, dont nous ne nous occuperons qu'après avoir exposé les fondements de la théorie des fonctions d'une seule variable.