Les lettres «, è, c,.... x^ y, peuvent désigner

(') Les chiffres entre crochets indiquent les n°^ du texte auxquels on renvoie.

DES FONCTiOirS. 17

des graudeurs concrètes, telles que des longueurs, des aires, des volumes, des poids, etc. (dont l'expression numérique présuppose le choix d'une unité arbitraire), ou des nombres abstraits. Dans tous les cas , la forme de la fonction J doit être telle, que l'équation (3) sub*siste indépendamment du choix des unités de mesure ; ou, ce qui revient au même, il faut qu'on ne puisse pas tirer de l'équation (3) une condition d'égalité entre des grandeurs hétérogènes* Cette règle, connue sous le nom de principe de l'homogénéité des fonctions, et qui ne saurait offrir de difficultés sérieuses dans les applications, mène souvent de prime abord à des conséquences importantes concernant la forme des fonctions. On y a eu recours pour démontrer très-simplement, et à notre avis de la manière la plus directe, certaines propositions fondamentales de géométrie et de mécanique ('). Afin de montrer une application du principe de l'homogénéité des fonctions , revenons sur la question indiquée au n^ 3 : appelons 8 l'angle d'écart d'un pendule avec la verticale après un temps t compté depuis l'origine du mouvement; désignons par 6^ l'angle initial d'écart, par / la longueur du pendule , et par y g^ selon Tusage reçu, la longueur que décrit dans la première unité de temps un corps qui tombe librement en vertu de la force de gravité qui fait mouvoir le pendule : on aura

( est la fonction , t la variable dont elle dépend ; 8^, g, l sont des constantes ou des paramètres , et il n'y en a pas d'autres, puisque toutes les conditions du phéno-

(') Voir la note 2 de la Géométrie de Legendre, et le n*' 26 de la Mécanique de M. Poisson , 2® édition.

18 LIVRE I. CHAPITRE ï.

mène sont déterminées, une fois qu'on a fixé les valeurs de ces constantes. Or, ^ ^t / sont les seules grandeurs dont la valeur numérique dépende du choix de Funité linéaire , et la valeur de 0 en fonction de t ne peut pas changer avec cette unité arbitraire. Donc la fonction /' ne dépend que du rapport des lignes g, l, et Ton peut écrire

Supposons que Ton sache en outre, par les premières expériences sur la chute des graves, que la racine carrée du paramètre g varie proportionnellement à l'unité de temps, ou en raison inverse de la valeur numérique de t^ pour un même temps écoulé : comme ta valeur de 0 en un instant donné ne saurait dépendre du choix arbitraire de l'unité de temps, on en conclura que tne peut entrer dans la fonction/ qu'autant qu'il y est multiplié par [/^g, et qu'ainsi l'on a

Arrivés à ce point , nous ne pourrions particulariser davantage la forme de la fonction sans entrer dans le détail des principes de dynamique, spécialement applicables à la question, détail qui n'est point de notre sujet.