PP

' — 7A [dv* Z dudv + du*\

Soit maintenant une deuxième surface, telle que chacun de ses points M1 corresponde à un point M de la première, de telle sorte que les arcs de courbe correspondants M N, M' N' soient égaux ; il est évident que deux triangles curvilignes infiniment petits, terminés par des contours correspondants, seront égaux, et que, par suite, deux figures quelconques terminées à des contours correspondants, auront la même aire. On dit que deux surfaces qui jouissent de cette propriété peuvent se transformer Tune dans l'autre.

Si Ton imagine sur cette deuxième surface les axes A' U', A V qui correspondent aux axes A U, AV et les deux séries de lignes coordonnées qui correspondent à celles de la première surface, deux points correspondants seront déterminés parles mêmes valeurs des variables uetv\ de plus, les quantités ej,g seront les mêmes fonctions des variables u et v. Donc les courbures des deux surfaces aux points correspondants seront les mêmes.

En particulier, si Tune des surfaces est plane, on aura en chaque point de l'autre

pT'=°'ou

ri — *» = 0.

Mais, on démontre aisément que toute surface jouissant de la propriété exprimée par cette formule est l'enveloppe d'un plan mobile dont l'équation renferme un seul paramètre variable et dont les intersections successives sont tangentes à une ligne à double courbure.

M. Liouville, dans ses leçons au Collège de France, a déduit de la même formule un grand nombre de conséquences remarquables ; mais leur démonstration nous ferait sortir des limites que nous avons dû nous imposer dans cette note.