REMARQUE SUR LÀ COURBURE DES LIGNES
M. Frénet, professeur à la Faculté des sciences de Lyon, a imaginé, pour l'étude de la courbure, une méthode très ingénieuse et très élégante que nous allons faire connaître sommairement.
4* Soit OA (fig. 4 4, pl.V), une droite mobile menée par un point fixe 0, parallèlement àla tangente à une ligne à double courbure ; l'angle *» de cette droite avec sa position voisine OA' est Y angle de contingence. Sur ces deux droites voisines,
prenons deux longueurs 0 A et OA' égales à l'unité, la direction limite de A A' donne la normale principale 0 B. La perpendiculaire 0 C au plan otculatêur AOB est la normale an plan oscillateur; H. Frénet rappelle .simplement Taxe de la courbure ; nous la prendrons dans un sens tel qu'un observateur, placé sur OC, les pieds en 0, la tête eu C, voie la droite 0 A tourner de gauche adroite. L'angle «" de la droite 0 C avec sa position voisine 0 G' est P angle de torsion ; nous donnerons un signe à cet angle ; il sera regardé comme positif, lorsqu'un observateur, placé sur 0 A, verra k droite 0 C tournée de gauche à droite, et comme négatif dans le cas contraire. Si Ton prend les deux longueurs OC et OC1 égales à l'unité, la direction MrnHe de C C est encore la normale principale 0 B, mais en sens inverse.
Nous désignerons par «, p, ries cosinus des angles que fait latangenteO A avec les axes des coordonnées rectangulaires; par «', P\ r » les cosinus des angles que fiit la normale principaleO Bavec les mêmes axes, et par*" P"tm les cosinus relatifs à l'axe OC. En projetant sur les axes les deux triangles 0 A A\ OCC en a les relations
(i) JdB=rB'« m (<*r — p1-"
t<*T~T», 1<*Y" TV,
(3) «|/~<fe» + <»'+*', (4) •^-•*,fl»-,, + *V--
Des équations (4) on déduit «', P\y\ c'est-à-dire la direction de la normale principale OB; l'axe 0 C sera donnée par les relations connues (5) gr-tf-tf.p^^-eqf. y-ejr-ptf.
Les équations (3) et (4) déterminent ensuite la première et la seconde courbure.
Des relations
en déduit en outre (6)
ÎaV = «' V — a»
#' = P'*"-p« dy»=Y'V — y».
V Pour montrer de suite une application de ces formules, cherchons la courbe dont les deux courbures sont constantes, on a
d* # dy - Jî. lr
s?- "kr- 3?— — „»—*"•
d'où, en intégrant,
«=**'+ A, p=AP" + B,T=*YM4-C, et par suite,
«-A. +Bf+ C* a£+BÎJ5+c£= «.
H en résulte que la tangente fait un angle constant avec la droite fixe, qui fait
avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels aux constantes A, B, G. La courbe est une hélice.
3* Le plan AOG enveloppe une surface développable sur laquelle est située la courbe proposée; soit 0 D la droite d'intersection du plan AOG avec le plan infiniment voisin. La différence des deux angles D 0 A, D 0 A' étant une quantité infiniment petite du second ordre,il est clair que si Ton développe sur un plan la surface dont nous venons de parler, l'élément 0 A' se placera sur 0 A , prolongement de l'élément précédent, et, par conséquent, la courbe deviendra une ligne droite. C'est pourquoi Lancret a donné au plan A 0 C le nom de plan rectifiant et à la droite 0 D celui de rectifiante.
Si Ton désigne par a, 6, c les cosinus des angles que fait la rectifiante OD avec les axes, par »' l'angle de la droite 0 B avec sa position voisine 0 B', on aura, en remarquant que la droite 0 D est perpendiculaire au plan B 0 B',
a b c mmm 4
On en déduit
Îat»' = W 4- a"« &»' = K + p"«
d'où
Considérons l'arête de rebroussement de la surface développable rectifiante;
0 D est sa tangente, A 0 C son plan osculateur, 0 B sou axe, c'est-à-dire la
normale à son plan osculateur j donc B B' est sa normale principale et »' son
angle de torsion. En désignant par » l'angle de contingence de cette courbe et
par a , b\ c* les cosinus des axes que fait sa normale principale B B' avec les axes,
on a .
M «— aV (da — a»
(9) {dp— — t't* (40) \db = V»t \df =— cV; |dc«c».
4* Considérons maintenant l'arête de rebroussement de la surface enveloppe des plans normaux. L'axe 0 C est parallèle à la droite d'intersection de deux plans normaux consécutifs, qui est tangente à cette arête de rebroussement; BOC en est le plan osculateur, OA l'axe, A A' ou 0 B la normale principale, »" l'angle de contingence, » l'angle de torsion, A 0 C le plan rectifiant, 0 D la rectifiante. Chaque point de cette arête de rebroussement est le centre de la sphère osculatrice au point correspondant de la courbe proposée.
Les coordonnés (X, Y, Z) d'un point quelconque de la polaire I K, ou droite
d'intersection de deux plans normaux infiniment voisins (fig. 45), satisfont aux
relations
nm\ X-*-»'p Y-y-P'P Z-*-T'P--A (4J) -z ^ — zr, *•
P désignant le rayon de courbure M I, h la distance d'un point de la polaire au
centre du cercle oscillateur.
Considérons eu particulier le point d'intersection K de deux polaires infiniment voisines I K, I'K', ou le centre de la sphère osculatrice, et désignons par R le rayon K M de cette sphère, par ç l'angle KM I qu'il fait avec la normale principale M 1, par (fa l'élément I Y du lieu du centre I du cercle osculateur, et par d S l'élément KK' de l'arête de rebroussewent de la surface enveloppe des plans normaux ; nous aurons
Nous aurons aussi d S = KK* = I'K - I'K1 = I'K' — QK + 1 Q = IK' — IK-t- TQ
et par conséquent
L'équation (43) donne le rayon R de la sphère osculatrice, et l'équation (44) l'élément dS de l'arête de rehaussement de l'enveloppe des plans normaux; on en déduira aisément les deux rayons de courbure de cette courbe. On calculerait de même l'élément de l'arête de rebroussement de la surface rectifiante, et ses deux rayons de courbure.
DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME DE GAUSS RELATIF A LA COURBURE DES SURFACES, PAR M. BOUQUET.
On peut déterminer la position d'un point sur une surface courbe à l'aide de deux séries de lignes coordonnées tracées sur cette surface. Soit A U une ligne de la première série {fig. 46), ÀV une ligne de la seconde; la position d'une ligne quelconque de la seconde série sera définie par l'arc A P qu'elle intercepte sur A U, et celle d'une ligne quelconque de la première série par l'arc A Q qu'elle intercepte sur ÀV, de sorte que les deux coordonnées curvilignes du point M seront les arcs A P et À Q que nous désignerons par les lettres u et v.
Considérons maintenant trois axes coordonnés rectilignes OX, OY, OZ rectangulaires entre eux, les coordonnées x, y, % des divers points de la surlace par rapport à ces nouveaux axes sont des fonctions des deux coordonnées curvilignes
u et v. Si Ton trace sur la surlace une courbe quelconque M N, la différentielle ds de Tare de cette courbe s'exprimera à l'aide des différentielles des variables u et v. 11 suffira, à cet effet, de remplacer dans la formule
ds* = dx* + dy* + dz'
dxj dijy dz respectivement par
du dv ' du dv du ' dv '
on trouve
d$% = ed»1 + % fdudv + gdv* ;
en posant, pour abréger,
*-l (d^? -L id*\* f — ** ** j dV *S JLd% d±
+ \di) T \du) ,' "~ du' dv^ du' dv^ du' dv'
U est important d'observer que les quantités e, ft g ont, pour chaque point de la surface, des valeurs iudépendautes de la position du système des axes rectangulaires par rapport à cette surface. Car l'expression delà différentielle ds, à l'aide des différentielles du et dv, ne deit pas dépendre du système rectiligne auxiliaire employé pour l'obtenir. On peut, au reste, vérifier aisément cette propriété en se servant des relations connues entre deux systèmes de coordonnées rectilignes orthogonales. Si l'arc M N se confond avec l'une des lignes coordonnées M G ou M D, cet arc sera une simple fonction de u ou de t>, et l'on aura, dans le premier
cas — = v^»' dans Ie second •*• =\/0*
Les angles (a, p, y), (<x\ P\ y) que font avec les trois axes OX, OY, OZles tangentes en M aux deux lignes coordonnées MC, MD, sont donnés par les formules
4 dx . • du h dz
COS a = r-» -j- , COS P = — -£ , COS Y = TT* T" » \/ e du' r y e du y e du
* dx. \ du , \ dz
COS a = r- « j- , COS P = —r* -r » C08 Y = 77* T •
ygdv' r y g dv* l ygdv J'appelle e l'angle des deux courbes ; on a en même temps,
cos e = -£-, d'où sin e = VJS ~ V — ^L, V9* V*9 V*9
en posant,
= i (£)' + (fe* + të)'"* &* + (î>* + (S)' i
fdx ^t^y^i i ^î ^îV
\dw dv "■ 3tt dv ' du dv) — \d« dv dv du) "*" \d« dp dr de*/ "■" \d« dv dv du) .
Soient - et ->, les courbures en M des sections principales qui passent par ce, P P j
point, le produit —.(produit que l'on prend pour mesure de la courbure de h
PP surface ait point M), peut s'exprimer à l'aide des seules quantités e, ft g et de leurs dérivées partielles par rapport aux variables ti et v. C'est le théorème très important découvert par Gauss, et dont nous nous proposons de simplifier la démonstration. L'équation (R) du n' 184 donne
I ri — * «,""(< + f»+ *■)■' Je prends comme axe des s la normale à la surface au point M, pour axes des x et des y deux droites rectangulaires situées dans le plan tangent en ce même point. Dans ce système d'axes, las quantités p et q sont nulles pour le peint M, et Ton a simplement
PP D'autre part, en différentiant les équations
dt dx du d* dx dy
qui se rapportent à un point quelconque de la surface, puis, remplaçant les variable* u et v par les valeurs particulières des coordonnées curvilignes du point M, on obtient les. relations suivantes :
<Fs fdx\* , dx dy . , /dvV
<P* dx dx (dx dy ,dx dy\ , dy dy dudi — r dudi + * \ di Tv "** dv d») "*" 35 3J'
d'où
... cTstf* d?x t. ^fàxèy dxdy\% t. . A
D est facile de voir que, connaissant les angles des droites 0 X, 0 Y avec les lignes coordonnées M P, M Q, on pourra exprimer les valeurs de ^» £» g» £
pour le point M, en fonction de ces angles et des quantités e, f, g qui se rapportent au même point. Soit, par exemple, a l'angle de 0 X avec M G, on aura
dx
du 4 dx dx m~
COS a = -j- r-r --^ , , OU -r- — V« co* «î
dt* de même pour les autres.
ADDITIONS. 49 f
Je différentie maintenant les équations
' "" dtf dv "*" du av "t" du dv9
et je remplace encore dans les équations obtenues les variables u et » par les valeurs qui correspondent au point M, j'obtiens les trois systèmes d'équations
14 de dxàht tdydty ï o5 ** 35 d**"1" du d**' df 4de d*d^* dga> du t<fr — dvdu^^dvdu^9
4 dg dx d?x . <iy d*y îdv dvdv*"*' dvlv*'
df 4 dg dx&x dy d?y
dv~*'% du ~ du dv1 "** du dv»'
* *• <** <*** • «V <ty
J. dt> "" du dudv ' du duoV
J 4 dg dz d'g i ^ <Ty 3 dti a=B dt> 5535 ' dv dudv9
desquelles on peut tirer les valeurs que prennent an point M les dérivées partielles
du second ordre g £' oâ'S'S,â'exprimteàr"dede5quMtitég e, f% g et de l'angle «.
La formule (4) paraît exiger que l'on connaisse, pour le même point M, tes va*
leurs des dérivées partielles jp jgi, j^ ; mais on remarque que Ton a identiquement, pour un point quelconque, et c'est Tunique artifice de la méthode de Gauss,
dtedte iPyfy.drxérx /£*\* ( à"y \* f <T* \* oV dv* + dtf dv» + du%diï~\dudv) Kdûdi/ ~ \dudvJ
— dudv ïoV ïoV' d'où Ton tire la valeur du binôme
On peut donc regarder le théorème comme démontré 9 car il est évident que l'angle
a doit disparaître du résultat ; on pourrait au reste le supposer, par exemple, égal à j.
En faisant les substitutions indiquées on trouve
