DES FONCTIONS EN GÉNÉRAL ET DE LA THÉORIE DES FONCTIONS

1 . Dans le langage emblématique des anciens algébristes, les produits de facteurs égaux s'appelaient indifféremment puissances, dignités on fonctions : nous attachons encore aujourd'hui au mot de puissance la même acception, et celui de dignité (dignitas) est resté en usage dans le latin technique ; mais le terme de fonction a dépouillé depuis longtemps cette acception particulière pour en prendre une autre beaucoup plus générale, et dont la généralité dénote l'un des progrès les plus remarquables de l'abstraction mathématique.

Jean Bernoulli parait être le premier qui ait entendu par fonction d'une quantité x, non-seulement les puissances de, cette quantité, telles que xn, mais toutes les quantités y dont on peut exprimer par des signes d'algèbre la relation avec

la quantité x : relation en vertu de laquelle la valeur de x détermine celle de y et réciproquement. Ainsi :

y = a + (6-x)% y » — — ^==, y = - log. (1 + *), etc.,

sont en ce sens des fonctions de x aussi bien que xu. On fait tomber vers l'année 1690 la date de cette innovation (') , qui n'aurait eu d'ailleurs qu'une faible importance, si elle ne s'était rattachée aux idées émises par Descartes, un demisiècle auparavant.

D résulte en effet des conceptions de Descartes, qu'une équation algébrique n'est pas seulement propre à indiquer les opérations de calcul par lesquelles on peut obtenir la valeur numérique d'une quantité déterminée, mais qu'elle exprime encore la loi suivant laquelle varient simultanément deux grandeurs dont l'une dépend de l'autre, et qui toutes deux passent d'une valeur à une autre sans discontinuité, ou en prenant successivement toutes les valeurs intermédiaires. Il fallait exprimer d'une manière générale cette dépendance entre deux grandeurs variables ; ce qu'on fait commodément en disant, d'après Bernoulli, que l'une des variables est fonction de l'autre.

La pensée de Descartes était, comme chacun le sait, d'appliquer l'algèbre à la géométrie, et pour cela de définir algébriquement les courbes au moyen d'une équation entre les coordonnées de chaque point. Réciproquement, cette idée mettait sur la voie d'appliquer la géométrie à l'algèbre, en considérant les deux variables de toute équation

( ') Voyez deux notes de Leibnitz, insérées dans les Aeta eruditorum et dans le Journal des Savants pour Tannée \ 694 (Œuvres de Leibnitz, t. III, p. 300 et 302). Le mot de fonction y est pris dans une acception qui n'est pas encore précisément celle qu'il a conservée, mais qui s'en rapproche beaucoup pour le sens et pour la généralité.

indéterminée comme les coordonnées d'une ligne dont on peut, au moyen de l'équation même, déterminer avec exactitude autant de points qu'on le juge convenable. La courbe n'est plus alors que le signe graphique et conventionnel de la loi algébrique qui lie les variables entre elles; mais ce signe conventionnel est merveilleusement adapté à la nature de la chose signifiée ; et il ramène à des faits de pure intuition des rapports que l'esprit ne saisirait pas sans effort dans leur nature abstraite, en s'astreignant à n'employer que des signes d'une autre espèce. La continuité de la ligne est Timage sensible de la continuité de la fonction : et les inflexions d'une courbe, son allure, font souvent voir d'un coup d'oeil ce qu'on ne mettrait que péniblement en évidence par la discussion algébrique de l'équation que la courbe représente.

2. Le caractère propre d'une fonction continue consiste en ce que Ton peut toujours assigner à l'une des variables des valeurs assez voisines pour que la différence entre les valeurs correspondantes de la fonction qui en dépend, fombe audessous de toutegrandeur donnée. Autrement cette fonction ne pourrait pas être exprimée par l'ordonnée d'une ligne dont l'autre variable est l'abscisse; et, réciproquement, il est manifeste que cette propriété subsiste pour toute fonction exprimée par l'ordonnée courante d'une certaine ligne. Quand une fonction définie par une formule algébrique devient infinie par une certaine valeur de l'autre variable, on dit que la fonction éprouve, pour cette valeur, une solution de continuité. C'est ce qui arrive, par exemple, à la fonction très simple

pour la valeur x = a. Si l'on donne à x deux valeurs très voisines, mais l'une un peu plus petite, l'autre un peu plus

grande que a, les valeurs correspondantes de y diffèrent excessivement, l'une étant un très grand nombre négatif et l'autre un très grand nombre positif; et même, dans ce cas, plus la différence des valeurs àex deviendra petite, plus la différence (algébrique) des valeurs correspondantes de la fonction y ira en croissant. Aussi, l'hyperbole dont la fonction y est l'ordonnée, a deux branches séparées par l'ordonnée asymptotique qui répond à l'abscisse a.

En général, les fonctions qui s'expriment avec les signes usités en algèbre et en trigonométrie, ont, comme la précédente, la propriété de rester continues dans l'ensemble de leur cours, sauf des solutions de continuité qui peuvent correspondre à certaines valeurs singulières de la variable dont elles dépendent. Il y a cependant quelques exceptions à ce principe, auxquelles on est conduit par une suite nécessaires des règles d'après lesquelles se combinent les signes algébriques. Si, par exemple, on posait y = ( — a)*, a désignant un nombre positif, toutes les fois que x serait égal à une fraction de numérateur impair et de dénominateur pair, y deviendrait imaginaire; et comme ou peut toujours intercaler entre deux valeurs de x, si voisines qu'on les conçoive, une infinité de fractions à numérateurs impairs, et à dé* nominateurs pairs, il s'ensuit qu'on ne peut joindre par un trait continu deux points correspondant à deux systèmes de valeurs réelles pour les coordonnées x et y, quelque voisins qu'on les suppose. Mais des fonctions anomales, comme celle que Ton vient d'indiquer, ne sont pas susceptibles de s'appliquer à la mesure des phénomènes naturels, et ne jouent même jusqu'ici qu'un rôle très borné en analyse pure. Il n'en sera reparlé que beaucoup plus tard, dans la suite de ce Traité.

3. D'un autre côté (et cette considération est, sans comparaison plus importante), nous concevons qu'une grandeur

peut dépendre d'une autre, sans que cette dépendance soit de nature à pouvoir être exprimée par une combinaison de signes de l'algèbre. En étudiant la trigonométrie, le lecteur a vu qu'on introduit des abréviations ou des signes spéciaux pour indiquer le sinus, le cosinus, la tangente d'un arc, grandeurs géométriquement déterminées, par cela seul qu'on assigne la valeur de l'arc, mais qui ne peuvent cependant pas s'exprimer en fonction de l'arc au moyen des signes de l'algèbre pure. Imaginons un pendule Sm (fig. 1) qu'on écarte de la verticale d'un angle roSV, et qu'on abandonne ensuite dans le vide à l'action de la pesanteur: on conçoit une relation nécessaire entre le temps écoulé depuis l'origine du mouvement, et l'angle que la tige du pendule fait en chaque instant avec la verticale ; mais cette relation ne peut point s'exprimer exactement avec les seuls signes algébriques et trigonométriques, qui sont censés connus du lecteur. Nous énoncerons toutefois la dépendance de ces deux grandeurs, en disant que l'angle d'écart est une fonction du temps, mais alors nous généraliserons l'acception du mot de fonction beaucoup plus qu'on ne l'avait fait d'abord.

Ceux qui ont étudié la dynamique savent qu'on peut effectivement calculer, avectel degré voulu d'approximation, la valeur numérique de l'angle d'écart pour chaque instant, et pour chaque valeur de la longueur du pendule et de l'angle initial d'écart, en n'empruntant à l'expérience qu'une seule donnée, la mesure de l'espace que décrit un corps qui tombe librement dans le vide pendant la première seconde de sa chute. Mais l'étude des autres phénomènes naturels, et surtout celle des phénomènes de la vie sociale, nous montrent une foule de cas où deux grandeurs variables dépendent manifestement l'une de l'autre, sans qu'on puisse calculer Tune à priori au moyen de l'autre : soit parce qu'en effet la

liaison qui les unit n'est pas susceptible d'une définition mathématique ; soit parce que cette définition, quoique possible, nous est inconnue.

Ainsi, la force élastique maximum delà vapeur d'eau est une fonction de la température de cette vapeur; la température moyenne de chaque tranche d'une colonne atmosphérique est une fonction de la hauteur de cette tranche au-dessus du niveau des mers ; la quantité demandée d'une denrée est une fonction du prix courant; au sein d'une grande population, le rapport du nombre des individus de chaque âge à la population est une fonction de cet âge. En donnant au mot de fonction, comme on doit le faire maintenant, cette acception tout à faitextensive, nous le tirons en quelque sorte delà langue mathématique, pour lui donner place dans un vocabulaire moins spécial, à l'usage de tous ceux qui cultivent les sciences oùl'on compare des grandeurs mesurables.

Les fonctions dont il s'agit ici ne peuvent être données que par l'observation, et elles sont réputées connues lorsqu'on a construit une table où se trouvent, d'une part, des valeurs très voisines et très multipliées de l'une des quantités variables, d'autre part, les valeurs correspondantes de la fonction qui en dépend, telles que les donnent des observations très précises, ou assez nombreuses pour que les erreurs qu'elles comportent disparaissent complètement des résultats moyens. On doit nommer les fonctions ainsi déterminées, fonctions empiriques, par opposition aux fonctions qui se définissent mathématiquement, et qu'on peut calculer exactement, ou avec une approximation illimitée, en ne s'appuyant que sur leur définition mathématique.

Le système de représentation graphique imaginé par Descartes s'applique aux fonctions empiriques tomme à celles qui peuvent s'exprimer par une fonction algébrique, puisque,

même pour celles-ci, il faut en général convertir d abord la formule en table, afin de déterminer des points isolés que Ton joint ensuite par un trait continu, de manière à tracer la courbe avec une exactitude d'autant plus grande que les points déterminés exactement sont plus voisins et en plus grand nombre.

Parmi les personnes qui s'occupent des sciences physiques et sociales, il n'en est aucune qui ne connaisse les avantages attachés à l'emploi du tracé graphique pour représenter les formes des fonctions empiriques; pour résoudre pratiquement les problèmes qui s'y rapportent ; enfin pour apercevoir des résultats que la simple inspectionjdes tables ne mettrait pas suffisamment en évidence, et qui dépassent même les limites des tables : le sentiment de la continuité des formes tenant lieu ici de ce procédé d'induction auquel l'esprit humain est redevable de la plupart de ses découvertes.

4. Une grandeur physique et mesurable doit toujours rester finie, et ne peut, par conséquent, comme certaines fonctions algébriques, éprouver des solutions de continuité provenant du passage de la fonction par une valeur infinie. Chaque fois que l'on trouve une grandeur physique exprimée par une fonction mathématique sujette à de telles solutions de continuité, il faut en conclure que la fonction mathématique cesse de donner la véritable mesure de la grandeur physique, dans le voisinage des valeurs pour lesquelles la solution de continuité a heu.

Par exemple, on sait que la force de gravitation entre deux molécules pondérables est exprimée par la fonction

a désignant une constante, et x la distance des deux molécules considérées comme des points mathématiques. Cette

fonction devient infinie quand x s'évanouit; mais on ne peut physiquement admettre, ni que les molécules se réduisent à des points mathématiques, ni que ces points coïncident. Lorsque les molécules seront très voisines Tune de l'autre, l'équation (1), qui était sensiblement exacte, tant que les dimensions des molécules restaient très petites comparativement à leur distance, devra être remplacée par une autre qui dépendra de la figure des molécules.

Lorsqu'une grandeur physique varie avec le temps, ou en raison seulement de la variation des distances entre des molécules ou des systèmes matériels, ou par l'effet de l'écoulement du temps combiné avec la variation des distances, il répugne qu'elle passe d'une valeur finie à une autre, sans prendre dans l'intervalle toutes les valeurs intermédiaires. C'est ce qu'exprime l'adage célèbre des anciennes écoles : Natura non facil saltns. Mais, dans l'état d'imperfection de nos connaissances sur la constitution des milieux matériels, on est autorisé à admettre pour certaines grandeurs physiques, telles que nous les pouvons définir et mesurer, des solutions de continuité résultant du passage brusque d une valeur finie à une autre. Ainsi, quand deux liquides hétérogènes, tels que l'eau et le mercure, sont superposés, nous regardons la densité comme une grandeur qui varie brusquement à la surface de contact des deux liquides, bien que toutes les probabilités nous portent à croire, et qu'il soit philosophique d'admettre que la solution de continuité disparaîtrait si nous nous rendions complètement compte de la structure des liquides et de tous les phénomènes qui se passent dans le voisinage de la surface du contact.

5. Or, par cela seul que des fonctions mathématiques ou empiriques satisfont à la loi de continuité, elles jouissent de certaines propriétés générales qui sont d'une grande importance, non-seulement pour la théorie abstraite du calcul,

mais bien plus encore pour l'interprétation des phénomènes naturels. Nous nous bornerons à en citer deux, que la représentation graphique des fonctions par les courbes rend manifestes, et qui ne tarderont pas à devenir l'objet de très amples développements, mais qu'il suffira d'énoncer pour le but que nous avons actuellement en vue.

La première propriété consiste en ce que les variations de valeur que subit une fonction, à partir d'une valeur déterminée, sont sensiblement proportionnelles aux variations correspondantes de l'autre grandeur, quand ces variations sont très petites. Déjà le lecteur a vu une application très importante de ce principe dans la manière de faire usage des différences proportionnelles annexée aux tables de logarithmes. Afin de fixer les idées par un autre exemple, prenons la fonction algébrique :

représentée (fig . 2) par les deux branches de courbe ilmn, suv, que sépare une ordonnée asymptotique, correspondant à l'abscisse #=10. Nous trouverons :

4° pour x = 1,00, y =r 0,00000

Différ. + 0,00555 + 0,00554 + 0,00553

2o pour x = 6,00, y = 0,00000 Q WM6

* = 6,01, y = -0,01256 0'oi267

La loi de proportionnalité se vérifie avec une grande approximation dans les deux cas, quoique les valeurs de y va-

rient plus rapidement dans le second cas que dans le premier, pour des accroissements égaux de x. Cependant nous avons fait varier la valeur de x par degrés égaux à un centième, ce qui n'est pas une fraction très petite. Si nous avions pris une série de valeurs de x équidistantes d'un millième, la proportionnalité des variations correspondantes de y se serait soutenue d'une manière beaucoup plus approchée.

Au surplus, tout ceci revient à dire qu'un arc de courbe approche d'autant plus de se confondre avec la tangente menée par une des extrémités de l'arc, que cet arc est plus petit : car, pour une droite, les différences des ordonnées sont rigoureusement proportionnelles aux différences des abscisses, et le rapport constant de ces différences est égal à la tangente trigonométrique de l'angle que la droite fait avec l'axe des abscisses.

La fécondité de ce principe si simple, la portée de ses applications sont faciles à pressentir. Ainsi, chaque fois que certaines variables oscillent autour de valeurs moyennes dont elles s'écartent très peu ; lorsqu'on a, par exemple , x=x0 + x\ x' étant un nombre variable, toujours très petit par rapport au nombre constant x0, toutes les fonctions de x, connues ou inconnues, mathématiques ou empiriques, deviennent des fonctions de «'qu'on peut sans erreur sensible ramener à la forme a -f- bz'9 a et b désignant des nombres constants, c'est-à-dire une fonction algébrique, la plus simple de toutes. Tel est en effet le grand moyen d'approximation à l'usage des analystes : celui par lequel ils soumettent au calcul des questions qui, dans leur généralité, se dérobaient à toute investigation mathématique.

Plusieurs principes de physique, découverts par l'expérience,, et donnés comme des faits d'observation, ne sontque des conséquences du principe mathématique que l'on vient de rappeler.

6. L'autre propriété générale des fonctions continues, que nous voulons faire remarquer ici, consiste en ce que la valeur de la fonction reste sensiblement stationnaire dans le voisinage des valeurs maxima ou minima. Ceci ressort encore de l'inspection des courbes : car, quand l'ordonnée d'une courbe, après avoir été croissante, devient décroissante (ce qui est le cas du maximum), ou bien au contraire, quand, après avoir été décroissante, elle vient à croître ( auquel cas elle passe par un minimum), la tangente àlacourbe devient parallèle aux abscisses, comme on le voit sur la fig . 2 , aux points m et u . L'ordonnée de cette tangente devient constante, et l'ordonnée du petit arc de courbe qui se confond sensiblement avec la tangente, selon la remarque du numéro précédent, a par cela même une valeur sensiblement constante. Il peut, à la vérité, se présenter des cas où cette règle tomberait en défaut, comme cela arriverait pour la courbe g h k (fig . 3) qui subit au point h ce queles géomètres nomment un rebroussement. L'ordonnée du point h est un maximum, quoique la tangente commune aux deux arcs gh,hk, qui viennent se toucher en h, soit perpendiculaire et non parallèle à l'axe des abscisses. Mais cette exception tient à un accident singulier dans le tracé de la courbe g h k, au lieu que la règle générale dont la fig.Z offre une application, ne suppose aucune particularité dans le tracé de la courbe.

On trouve directement, par des méthodes qui seront exposées plus loin, que les valeurs maximum et minimum de la fonction (2) correspondent aux valeurs a? = 4, # =• 16r et le calcul numérique nous donnera :