pour*= 3,99, y = 0,999983 mév m

«• pour x = 45,99, y = 25,000017

Conséquemment une variation d'un centième daus la valeur de x, quand x = 4 ou = 16, ne fait varier que de 1 7 millionièmes la valeur de y ; tandis que la variation de y correspondant à une égale variation de #, est 326 fois plus grande quand x = 1 ,-et 739 fois plus grande quand x = 6, selon les calculs rapportés plus haut.

La propriété que nous venons de reconnaître dans les valeurs maxima et minima, trouve sans cesse son application dans la pratique, et notamment dans la mécanique industrielle, où il s'agit surtout d'apprécier la valeur d'une certaine grandeur, qui correspond à un maximum d'effet utile pour la même dépense d'argent ou de force, ou à un minimum de dépense pour la production du même effet utile. Cette propriété vient merveilleusement à notre secours, vu l'imperfection de nos connaissances et de nos instruments de mesure, en élargissant les limites entre lesquelles notre appéciation peut tomber, sans qu'il en résulte de notables variations dans la dépense ou dans l'effet produit.

Cependant, quelque important et quelque facile à apercevoir que soit ce principe, Montucla nous dit (!) qu'il n'a été énoncé en premier lieu que par Kepler, dans son intitulé : Stereometria doliorum, publié en 1615.

7. Maintenant il est aisé de comprendre qu'outre ces propriétés presque évidentes, communes à toutes les fonctions continues, il peut y en avoir d'autres, moins aisées à découvrir, et qui appartiennent de même à toutes les fonctions,

(') Hist. des Math., part. IV, liv. I, n° 4.

ou à certaines classes de fonctions, définies par des caractères généraux, tels que serait celui de croître sans cesse avec la variable dont elles dépendent, ou de reprendre périodiquement les mêmes valeurs pour des valeurs équidistantesde cette variable. Dès lors on peut imaginer une théorie qui aurait pour objet la discussion des propriétés générales des fonctions ; et cette théorie constituera une branche spéciale des mathématiques , subsistant par elle-même ; laquelle, à la rigueur, aurait pu former un corps de doctrine, quand même l'algèbre n'eût pas été préalablement inventée ; quand même on n'aurait pas pu se proposer d'appliquer cette théorie à des fonctions algébriques ; quoique sans doute la principale utilité delà théorie des fonctions consiste dans l'application dont il s'agit, surtout si l'on a en vue la détermination numérique des grandeurs.

Nous insistons sur cette manière de définir la théorie des fonctions, parce qu'elle repose sur une idée qui reviendra dans tout le cours de ce Traité. Elle nous parait être la base philosophique de la partie de l'enseignement dont nous nous occupons, et la seule qui réponde bien à l'état actuel de l'analyse mathématique. On y est surtout conduit par les applications de plus en plus étendues de l'analyse aux sciences physiques; mais, indépendamment de toute application, on trouve dans la théorie ainsi comprise la solution immédiate de la plupart des controverses agitées à diverses épo- • ques entre les géomètres, au sujet des principes mêmes de l'analyse (!).

(f) Ainsi Lagrange n'aurait pas fait un livre exprès « pour réduire le calcul différentiel à l'analyse algébrique, » s'il avait distingué dans le calcul différentiel un corps de doctrine qui fait partie de la théorie des fonctions continues, qu'elles s'expriment ou non par les signes de l'algèbre, et qui subsiste indépendamment des applications qu'on en peut faire aux fonctions et au calcul algébriques.

8. En général on exprime que la grandeur y est unefonction de x9 connue ou inconnue, mathématique ou empirique, par le moyen de notations, telles que :

y «=-/», y — F (x), y = ? (*), etc. les. lettres f, F, 9,.... désignant, non pas des quantités, mais des caractéristiques de fonctions, analogues aux abréviations log ou sin. Souvent , lorsque les parenthèses ne doivent contenir qu'une lettre, on les supprime, et quelquefois, dans ce cas, on met un point après la caractéristique. Le lecteur a pu déjà se familiariser avec ces notations dans les traités de pur algèbre où on les a introduites ; mais en algèbre les caractérisques désignent essentiellement des fonctions algébriques, et désormais elles pourront s'appliquer à des fonctions quelconques.

Dans la détermination d'une fonction y = f(x)9 peuvent entrer et entrent ordinairement les valeurs de certaines grandeurs que Ton doit considérer comme constantes, tandis que x et par suite y varient. Si y et x désignent les coordonnées courantes d'un cercle, le rayon du cercle est une de ces constantes. L'angle initial d'écart d'un pendule [3] (') et l'espace décrit par un corps qui tombe durant la première seconde de sa chute, sont aussi des constantes de la valeur desquelles dépend la fonction qui exprime la valeur de l'angle d'écart, pour chaque valeur du temps écoulé depuis l'origine du mouvement. On donne quelquefois à ces constantes le nom de paramètres, emprunté à la théorie des sections coniques : dans les applications aux sciences physiques, on appelle aussi coefficients des constantes dont les valeurs numériques doiyent être déterminées par l'expérience.

(') Les chiffres entre crochets indiquent les n°* du texte auxquels on renvoie.

Il est souvent utile d'exprimer qu'une fonction dépend, non-seulement de la variable x, mais en outre des valeurs

constantes attribuées à certains paramètres a, ft, c ; ce

qu'on fait en écrivant

Si Ton était amené à concevoir que ces paramètres a, b,

c , au lieu d'avoir des valeurs constantes et déterminées

pour chaque cas particulier, varient sans discontinuité à la manière de x, ils perdraient le nom de paramètres : la grandeur y se rangerait parmi les fonctions de plusieurs variables, dont nous ne nous occuperons qu'après avoir exposé les fondements de la théorie des fonctions d'une seule variable.

9. Des lettres a, ft, c,... x,y7... peuvent désigner des grandeurs concrètes, telles que des longueurs, des aires, des volumes, des poids, etc. (dont l'expression numérique présuppose le choix d'une unité arbitraire), ou des nombres abstraits. Dans tous les cas, la forme de la fonction f doit être telle, que l'équation (3) subsiste indépendamment du choix des unités de mesure ; ou, ce qui revient au même, il faut qu'on ne puisse pas tirer de l'équation (3) une condition d'égalité entre des grandeurs hétérogènes. Cette règle, connue sous le nom de principe de l'homogénéité des fonctions, et qui ne saurait offrir de difficultés sérieuses dans les applications, mène souvent de prime abord à des conséquences importantes concernant la forme des fonctions. On y a eu recours pour démontrer très simplement, et à notre avis, de la manière la plus directe, certaines propositions fondamentales de géométrie et de mécanique (!).

Afin de montrer une application du principe de l'homo-

(') Voii la note % de la Géométrie de Legendre, et le n° 26 de la Mécanique de Poisson, V édition.

généité des fonctions, revenons sur la question indiquée au n° 3 : appelons 6 l'angle d'écart d'un pendule avec la verticale après un temps t compté depuis l'origine du mouvement ; désignons par 0O l'angle initial d'écart, par l la longueur du pendule, et par { g , selon l'usage reçu, lalongueur de la droite que décrit dans la première unité de temps un corps qui tombe librement en vertu de la force de gravité qui fait mouvoir le pendule : on aura

' = f (*,*., 9,1)- 6 est la fonction, t la variable dont elle dépend ; 0O, g , l sont des constantes ou des paramètres, et il n'y en a pas d'autres, puisque toutes les conditions du phénomène sont déterminées, une fois qu'on a fixé les valeurs de ces constantes. Or, g et l sont les seules grandeurs dont la valeur numérique dépende du choix de l'unité linéaire, et la valeur de 0 en fonction de t ne peut pas changer avec cette unité arbitraire. Donc la fonction f ne dépend que du rapport des lignes g, J, et l'on peut écrire

Supposons que Ton sache en outre, par les premières expériences sur la chute des graves, que la racine carrée du paramètre g varie proportionnellement à l'unité de temps, ou en raison inverse de la valeur numérique de t, pour un même temps écoulé : comme la valeur de 0 en un instant donné ne saurait dépendre du choix arbitraire de l'unité de temps, on en conclura que t ne peut entrer dans la fonction /"qu'autant qu'il y est multiplié par v^ gr, et qu'ainsi l'on a

Arrivés à ce point, nous ne pourrions particulariser davan-

tage la forme de la fonction sans entrer dans le détail des principes de dynamique, spécialement applicables à la question, détail qui n'est point de notre sujet.