DE LA CLASSIFICATION DES FONCTIONS ET DE LEUR DÉVELOPPEMENT EN SÉRIES

12. Les fonctions mathématiques se distinguent en fonctions explicites et en fonctions implicites. On appelle fonctions implicites celles qui sont déterminées par une équation non résolue entre la fonction et la variable indépendante. Ainsi la fonction y donnée par Tune des équations

y* — bzy = a, by + C = log xy tang y = ysinx, etc.,

est une fonction implicite de x. Si ces équations étaient résolues par rapport à y et mises sous la forme y = fx,y deviendrait une fonction explicite de la même variable.

On peut comprendre les fonctions explicites et implicites sous la même notation, en exprimant par une équation de la forme

F(*,y)-0, (l) la liaison qui subsiste entre la variable x et la fonction y.

Les fonctions mathématiques, qu'elles soient explicites ou implicites, se distinguent encore en fonctions algébriques et en fonctions transcendantes. Si l'équation (1) est algébrique, en sorte qu'après l'évanouissement toujours possible des dénominateurs et des radicaux, le premier membre soit un polynôme entier de degré déterminé par rapport à x et par rapport à y, la fonction y est réputée algébrique. Si les variables x, y, ou seulement Tune d'entre elles, entraient dans la formation d'un exposant, ou si elles se trouvaient affectées, soit d'un exposant irrationnel, soit du signe log, soit de l'un des signes usités en trigonométrie, la fonction

serait qualifiée de transcendante. Plus généralement, toute fonction mathématique qui ne se trouve pas comprise dans la définition des fonctions algébriques est réputée transcendante. Les seules fonctions transcendantes que le lecteur soit censé connaître, savoir : les fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques, ont été successivement définies dans le cours de mathématiques élémentaires. Ces fonctions sont-elles en effet les plus simples de toutes après les fonctions algébriques élémentaires? Sont-elles réductibles ou irréductibles entre elles ? Y a-t-il entre elles quelque lien, malgré leur diversité apparente d'origine ? Toutes ces questions sont du ressort de la théorie qui doit nous occuper ; et en même temps que nous étudierons sous un point de vue nouveau les fonctions transcendantes déjà définies dans les éléments, nous serons amenés à en considérer d'autres en nombre illimité, à les définir, à les classer, et à désigner celles de ces fonctions qui ont acquis le plus d'importance, par des notations ou par des caractéristiques particulières. 13. Puisque les équations algébriques, de degré supérieur au quatrième, sont en général irrésolubles algébriquement, et qu'ainsi la valeur de y en #, quand l'équation (1) est, par rapport à y, d'un degré supérieur au quatrième, ne peut pas, en généraly s'exprimer avec les radicaux et les autres signes élémentaires de l'algèbre, il semble qu'on pourrait regarder la racine d'une telle équation comme une fonction transcendante, aussi bien que les exponentielles et les logarithmes. Mais Leibnitz,à qui l'on doit la distinction des fonctions algébriques et des fonctions transcendantes, n'a point commis cette méprise. En effet, la circonstance qu'une équation algébrique entre y et x soit ou ne soit pas résoluble algébriquement par rapport à t/, n'influe nullement sur le nombre, sur les conditions de réalité ou d'imaginarité des racines, ni, par suite, sur la forme qu'affecte la courbe dont

x et y sont les coordonnées, sur le nombre de ses branches et sur les autres particularités de son cours. Tout ceci se rattache à la théorie de la composition des équations algébriques, laquelle n'est point subordonnée à leur résolution algébrique, et en vertu de laquelle les fonctions algébriques, tant explicites qu'implicites, jouissent de propriétés communes qu'elles ne partagent pas avec celles auxquelles on a réservé avec juste raison la qualification de transcendantes.

14. Les fonctions algébriques explicites se distinguent en fonctions entières et fractionnaires, rationnelles et irrationnelles : le sens de ces expressions est donné dans tous les traités d'algèbre. A l'égard des fonctions algébriques implicites, comme on peut toujours préparer les équations dont elles sont les racines de manière à faire disparaître les dénominateurs et les radicaux, cette division serait sans objet.

Les plus simples des fonctions rationnelles entières sont celles qui ne contiennent que la première puissance de la variable, et qu'on peut représenter généralement par

ys=zax+b,

a et 6 désignant des nombres constants. L'usage leur a conservé la dénomination de fonctions linéaires, tirée de ce que l'équation précédente est celle d'une ligne droite, pour un système de coordonnées parallèles à deux axes fixes.

Les fonctions rationnelles entières ne peuvent devenir infinies pour aucune valeur finie de la variable dont elles dépendent. De plus, il est évident qu'à toutes les valeurs de la variable correspond pour ces fonctions une valeur réelle et unique, positive ou négative. Il suit de là que si l'on représente une fonction rationnelle et entière par l'ordonnée d'une courbe dont l'autre variable est l'abscisse, cette courbe à une seule branche s'étend indéfiniment, tant dans le sens

24 LIVRE I- — CHAPITRE il.

des abscisses négatives que dans le sens des abscisses positives, sans éprouver nulle part de solution de continuité.

1 5. Les fonctions fractionnaires, où la variable entre dans la composition d'un ou de plusieurs dénominateurs, peuvent devenir infinies, et par conséquent éprouver une solution de continuité pour les valeurs finies de la variable qui font évanouir un dénominateur.

Les fonctions irrationnelles, mêmes entières, subissent des solutions de continuité, et la courbe qui les représente s'interrompt brusquement quand la valeur de la variable, affectée d'un signe radical, rend le radical imaginaire. Ainsi la fonction

cessera d'avoir des valeurs réelles pour les valeurs de x > 1 , et sera représentée graphiquement dans un système de coordonnées orthogonales par l'ordonnée de l'arc parabolique ML {fig. 4), qui s'étend indéfiniment dans le sens des abscisses négatives, et qui s'interrompt brusquement au point L, dont l'abscisse OP = 1 .

De même la fonction

sera représentée par l'ordonnée de la branche d'hyperbole LMN {fig. 5), si l'on a OA = a < 1, et, dans ce cas, elle n'éprouvera aucune solution de continuité. La même fonction correspondra à l'ordonnée des arcs hyperboliques PQ, RS, si l'on a a > 1 ; auquel cas il y aura solution de continuité aux points Q, R. Enfin, il faudra prendre, pour représenter la même fonction, l'ordonnée de la ligne brisée BAC, si Ton a « = 1 : car y devant rester positif, la fonction proposée deviendra dans ce cas

pour les valeurs de x < 1, et

y = x— 4 poar les valeurs de x > 1 . Ce changement dans l'expression algébrique de la fonction correspond à une solution de continuité dont nous définirons plus loin, d'une manière générale, les caractères analytique et géométrique, et qui est d'un autre ordre que les solutions de continuité éprouvées par l'ordonnée des arcs hyperboliques PQ, RS, aux points Q et R.

16 . A la vérité, si Ton considère à la fois les deux valeurs réelles dont un radical pair est susceptible, on aura deux branches ou deux arcs de courbe qui viendront se raccorder aux points dont l'abscisse correspond au passage du réel à l'imaginaire ; et ainsi il n'y aura plus géométriquement de solution de continuité : car on ne doit entendre par solution de continuité, dans le sens géométrique, que celles qui sont indépendantes de la direction arbitraire des axes auxquels on rapporte la courbe.

On conclut de là que, pour avoir l'expression complète d'une courbe par une équation algébrique entre ses coordonnées, il faut débarrasser cette équation des radicaux, ou conserver tous les doubles signes inhérents à chaque radical pair. C'est là le fondement de la correspondance entre l'algèbre et la géométrie, dont nous reparlerons lorsqu'il sera question plus spécialement des applications de l'analyse à la théorie des courbes.

Au contraire, les courbes transcendantes, ou celles dont l'ordonnée est une fonction transcendante de l'abscisse, peuvent être interrompues brusquement dans leur cours sans que leurs branches se rejoignent ; en sorte que le point qui décrirait par son mouvement une des branches de la courbe, s'arrêterait tout à coup. Ainsi la courbe qui a pour équation

a désignant un nombre positif plus grand que 1 , est formée de deux branches BL, MN (fig. 6), dont la première a pour asymptote, dans le sens des abscisses positives, Taxe même des a?, et s'arrête brusquement au point B, dont les coordonnées sont x=0, t/= — 1 ; tandis que la seconde branche a pour asymptotes Taxe des y dans le sens des y positifs, et Taxe des x dans le sens des x négatifs. En effet, tant que x est positif, la fonction

va en décroissant indéfiniment pour des valeurs de x de plus en plus petites, et finalement s'évanouit avec x, tandis qu'elle tend à devenir égale à l'unité pour des valeurs de x de plus en plus grandes. Au contraire, lorsque x passe par des valeurs négatives, la même fonction croit au-delà de toute limite pour des valeurs numériques de x de plus en plus petites, au lieu qu'elle tend encore à devenir égale à l'unité pour des valeurs numériques de x de plus en plus grandes.

On appelle points â! arrêt ceux oh une branche de courbe, transcendante ou empirique, s'arrête ainsi brusquement. Si deux branches disjointes, NM, MW {fig. 7), avaient une commune ordonnée PMM', en sorte que la fonction représentée par l'ordonnée de la courbe passât brusquement delà valeur PM à la valeur PM\ les points M, M' seraient des points de rupture. Les fonctions algébriques, ne pouvant avoir de points d'arrêt, ne peuvent avoir de points de rupture, ni par conséquent éprouver d'autres solutions de continuité que celles qui proviennent du passage par l'infini ; au lieu que les fonctions transcendantes peuvent être sujettes aux solutions de continuité qui proviennent du passage brusque d'une valeur finie à une autre.

17- Si la théorie des fonctions a plus de généralité que l'algèbre, en ce sens qu'on y traite de propriétés communes aux fonctions algébriques et transcendantes, et même à celles qui ne comportent aucune définition mathématique, d'un autre côté cette théorie reçoit une extension qui, primitivement, n'a de sens qu'en algèbre pure, et pour les fonctions susceptibles d'une expression algébrique. Cette extension consiste à tenir compte des valeurs imaginaires que prend une fonction exprimée algébriquement, quand la variable dont elle dépend passe par des valeurs réelles situées endeçà ou au-delà de certaines limites, comme, par exemple, quand la variable x devient > 1 dans la fonction

Elle consiste en outre à admettre que la variable indépendante peut elle-même passer par une succession de valeurs imaginaires. A la vérité, pour se faire l'idée d'un semblable passage, il faut considérer cette seconde variable, dont la première est fonction, comme dépendant à son tour d'une troisième variable qui passe par une suite de valeurs réelles. Soient t cette dernière variable, x celle qui en dépend immédiatement, y une fonction de x : désignons aussi par f0, x0, y0; *i> xv Vu deux systèmes de valeurs correspondantes pour ces trois variables ; /0, tx étant des quantités réelles, tandis que #0, tf0, #„ yx peuvent être des quantités réelles ou imaginaires. Il est clair que, pendant que t passe de la valeur t0 à la valeur *„ en prenant toutes les valeurs intermédiaires, x peut passer de la valeur x0 à la valeur xx par une suite de valeurs imaginaires, suite déterminée en vertu de la liaison algébrique entre t et #, et à laquelle correspondra une suite également déterminée de valeurs réelles ou imaginaires pour y. Au contraire, comme il n'y a pas d'ordre naturel et déterminé de grandeur entre les quantités imaginaires, rien ne

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fixerait la série de valeurs imaginaires par lesquelles x peut passer, en allant de la valeur xa à la valeur #,, si l'on n'établissait une dépendance déterminée, directe ou indirecte, entre # et une autre variable qui passe d'une valeur réelle à une autre, par la série des valeurs réelles intermédiaires.

Nous verrons plus tard que, .non-seulement les fonctions algébriques , mais encore les fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques acquièrent une signification et une valeur réelle ou imaginaire déterminées, lorsqu'on fait passer par des valeurs imaginaires les variables qui entrent dans la composition de ces fonctions : par conséquent, les remarques qui font l'objet de ce numéro s'appliquent à toutes les fonctions algébriques ou transcendantes que nous connaissons déjà.

18. On vient de dire comment les analystes classent les fonctions d'après le mode de leur expression mathématique : mais les fonctions sont également susceptibles d'être classées d'après les formes mêmes qu'elles affectent ou qu'affectent les courbes qui les représentent; et cette classification peut comprendre aussi bien les fonctions empiriques que les fonctions algébriques ou transcendantes. Au reste, il ne s'agit pas ici d'établir une classification méthodique et complète, comme celles qui s'appliquent (en histoire naturelle, par exemple) à des objets dont le nombre est limité, mais seulement de signaler certaines classes de fonctions, distinguées par des caractères généraux.

En premier lieu, nous considérons les fonctions paires et les fonctions impaires. On appelle fonctions paires celles qui prennent les mêmes valeurs quand on attribue à la variable indépendante des valeurs égales et de signes contraires, ou celles qui sont représentées, dans un système de coordonnées orthogonales, par des courbes symétriques relativement à l'axe des ordonnées. Telles sont, parmi les fonctions

algébriques, celles qui ne renferment que des puissances paires de la variable, comme x*9 V^ 1 — xk ; et de là leur vient le nom de fonctions paires, qu'on peut appliquer à toutes les fonctions qui présentent la même analogie de forme, bien qu'elles ne comportent pas d'expression algébrique. La fonction trigonométrique cosxest paire, puisqu'on est conduit en trigonométrie à regarder le cosinus d'un arc négatif comme ayant la même valeur numérique et le même signe que le cosinus du même arc pris positivement. Par opposition, on appelle fonctions impaires celles qui ont des valeurs numériquement égales et opposées de signes, pour des valeurs de la variable indépendante égales et de signes contraires. Telles sont, parmi les fonctions algébriques, jâ> x V \ + & D'après cette définition , sin x

et tang x sont aussi des fonctions impaires. Une fonction impaire doit être nulle quand x=o, à moins qu'elle n'éprouve une solution de continuité correspondante à cette valeur de x. Tel est le cas des fonctions impaires

\T\ + *\, cot Xm

Une fonction quelconque peut être considérée comme la somme de deux fonctions, l'une paire, l'autre impaire. Soit effectivement fia caractéristique d'une fonction quelconque : on pourra poser

f (x) - f (- x) = 2 * (*), et alors <)> (x) sera évidemment une fonction paire, <J> {x) une fonction impaire de x, quelle que soit d'ailleurs la forme de f (x) . Or, on tire de ces deux équations f{x) = 9 (x) + * (x), ce qui démontre la proposition énoncée.

1 9 . On appelle fonctions périodiques celles qui reprennent périodiquement les mêmes valeurs, pour des valeurs de la variable indépendante séparées par des intervalles égaux. La grandeur de oes intervalles mesure l'étendue de la période. Ainsi, on est conduit, en trigonométrie, à considérer les arcs comme des grandeurs qui peuvent surpasser la circonférence et croître indéfiniment, tant dans le sens positif que dans le sens négatif; tandis que les sinus, les cosinus, et en général les fonctions trigonométriques de ces arcs reprennent périodiquement les mêmes valeurs, chaque fois qu'on ajoute à Tare primitif, ou qu'on en retranche une circonférence complète. En conséquence, smax, cosa#, iangax sont des fonctions périodiques dont la période a pour

valeur -—. La fonction y = sin ax, par exemple, est l'ois

donnée d'une courbe sinueuse P'N'M'OMNP.... (fig. 8), qui s'étend indéfiniment tant dans le sens des abscisses négatives que dans celui des abscisses positives : courbe facile d'ailleurs à construire par points, à l'aide des tables de sinus naturels ou de leurs logarithmes que l'on trouve dans les tables trigonométriques ordinaires. Les intervalles égaux P'O, OP,... mesurent l'étendue de la période.

La nature nous offre une multitude de phénomènes soumis à la loi de périodicité ; et, conséquemment, la classe des fonctions périodiques, dont le type le plus simple nous est fourni par la géométrie du cercle, mérite une attention particulière.

20. Parmi les fonctions non périodiques, il n'y a lieu de signaler ici que celles qui jouissent de la propriété de croître ou de décroître continuellement, lorsque la variable indépendante vient à croître. Les fonctions qui, sans être périodiques, passent par diverses alternatives d'accroissement et de décaissement, n'offrent pas d'autres caractères impor-

tante qui méritent qu'on en forme des groupes particuliers. Il convient de remarquer surtout les fonctions qui s'approchent indéfiniment de zéro ou de toute autre valeur fixe, pour des valeurs croissantes ou décroissantes de la variable indépendante. Telles sont les fonctions

a, m, n désignant des nombres positifs, et o étant supposé ai outre plus grand que l'unité.

Les fonctions de cette catégorie doivent se reproduire fréquemment dans F expression des phénomènes physiques : car il arrive souvent qu'une grandeur part d'un certain état pour décroître ensuite continuellement, de sorte que sa valeur finit par devenir sensiblement nulle, ou par ne plus différer sensiblement d'une certaine valeur fixe vers laquelle die tend sans cesse* On doit remarquer en particulier la fonction y = a — *" ( fig. 9) , qui est le type le plus simple que l'algèbre puisse fournir des fonctions qui décroissent symétriquement, avec une grande rapidité, de part et d'autre de l'origine de la variable indépendante : tellement que, pour peu que le nombre constant a surpasse l'unité, la valeur numérique de la fonction est déjà excessivement petite, pour des valeurs numériques de la variable indépendante tant soit peu considérables. Dans l'état actuel de la physique moléculaire, on admet l'existence de forces dont la loi de décroissement est exprimée par des fonctions de cette espèce, et dans les applications de la théorie mathématique des chances aux grands nombres que la statistique recueille, la nature du sujet reproduit constamment des fonctions de la même forme.

21 . Supposons maintenant que nous ayons une fonction empirique fx qu'il s'agisse de soumettre à des calculs arith-

métiques ou algébriques, comme si Ton avait, par exemple, à trouver la valeur de x qui satisfait à l'équation

l'idée qui se présentera naturellement, sera de trouver, s'il est possible, une fonction algébrique yx qui s'écarte peu de fx9 au moins dans les limites entre lesquelles on sait que doit tomber la racine cherchée, et de substituer dans l'équation proposée yx à fx. En général, le but d'une semblable substitution est de rendre pratiquables, ou des transformations algébriques qui doivent conduire à des formules générales, ou des opérations de calcul arithmétique, si l'on se propose de déterminer des valeurs particulières.

Si Ton tient à ce que la fonction substituée se rapproche de l'autre, dans toute la portion de son cours que l'on considère, il faut évidemment qu'il n'y ait pas incompatibiUté entre les formes essentielles de la fonction substituée et celles de la fonction qu'on remplace. Par exemple, si la fonction à remplacer est périodique, on admettra, au moins jusqu'à plus ample examen, la possibilité de la remplacer par une fonction telle que

y = Asin (mx + n),

qui, de sa nature, est périodique ; mais il serait manifestement impossible que la fonction proposée se rapprochât, dans toute l'étendue de son cours, d'une autre qui aurait Tune des deux formes

^ = Ai", y = Aa"*,"

et qui serait constamment croissante ou décroissante, selon le signe de m.

On appelle interpolât ion l'opération par laquelle on détermine une courbe y=yx> assujettie à avoir un certain nom-

bre de points communs avec la courbe y=z fx, et qui doit s'en écarter d'autant moins entre les points extrêmes, que le nombre des points communs intermédiaires est plus considérable. Nous entrerons, par la suite, dans quelques détails sur les procédés d'interpolation : pour le moment il suffit de concevoir qu'on assujettira la courbe dont <p x est l'ordonnée à passer pair un point donné (x0, t/0), en posant l'équation

c'est-à-dire, en liant par une équation de condition les paramètres ou coefficients indéterminés que doit comprendre l'expression mathématique delà fonction <p; et plus on aura introduit dans cette expression %de paramètres arbitraires, pourvu qu'on ait un nombre égal de points donnés sur la courbe y = fx, plus les courbes dont les ordonnées sont ^x et fx approcheront de la coïncidence, dans la portion de leur cours que l'on considère.

De là, pour le dire en passant, la difficulté que l'on éprouve souvent à fixer, par le contrôle de l'observation, la valeur de certaines formules de physique mathématique: car si l'on donne, pour représenter la loi d'un phénomène, l'équation y = y x, où la fonction <p renferme beaucoup de paramètres déterminés par la condition de satisfaire à des observations qui donnent autant de systèmes de valeurs correspondantes pour x et y qu'il y a de paramètres, il devient probable par cela seul que des systèmes de valeurs intermédiaires satisferont à très-peu près à la même équation, bien que la véritable loi des phénomènes soit exprimée par une fonction fx, différente de yx. Si donc, à l'expression analytique dont on a fait choix pour la fonction <p, se rattachait l'établissement d'unethéorie physique, cette théorie ne serait pas suffisamment justifiée par l'accord que l'on trouverait

entre l'observation et le calcul, pour les valeurs intermédiaires des variables *, y.

S'il y avait incompatibilité entre les formes des fonctions f et y, l'une, par exemple, étant périodique , et l'autre constamment croissante ou décroissante, le calcul en avertirait en assignant aux paramètres des valeurs infinies, ou imaginaires, ou en laissant ces valeurs indéterminées.

22. On conçoit qu'il peut être utile de remplacer de la sorte, non-seulement des fonctions empiriques qu'il serait impossible de soumettre autrement au calcul, mais des fonctions transcendantes ou même algébriques d'une expression compliquée, par d'autres fonctions d'une forme pins simple, ou dont la forme s'adapte mieux à la nature des combinaisons analytiques <Jans lesquelles elles doivent entrer. C'est ainsi, pour prendre la comparaison la plus élémentaire, qu'on remplace une fraction ordinaire telle que }, par une fraction décimale 0,6666.... dont l'équivalence n'est qu'approchée, à quelque décimale que l'on s'arrête, mais dont l'expression, quoique plus compliquée au fond, se trouve mieux appropriée à la nature des opérations de notre arithmétique décimale.

Dans ce cas encore, il est aisé de comprendre que, lorsque la fonction substituée n'aura pas une forme incompatible avec celle de la fonction proposée, plus il entrera de paramètres arbitraires dans son expression analytique, plus on pourra rapprocher les deux fonctions l'une de l'autre en fixant convenablement les valeurs de ces paramètres arbitraires.

Mais, d'un autre côté, on ne peut multiplier les paramètres sans compliquer la fonction substituée, et perdre de plus les avantages attachés à la substitution. Voici l'artifice imaginé par les analystes pour éluder autant que possible cette difficulté.

Il consiste à substituer à la fonction proposée une somme de fonctions analytiques de même forme, et qui diffèrent les unes deè autres par les valeurs de certains paramètres. Ainsi, au lieu de poser, par exemple,

* y =z A r, ou y = A sin m x,

pour représenter la fonction y = fx, on posera

y = A0 + At x-+- Aj x* + A, x* + etc, ou bien

y = Af sin x + Ai sin &z + A, sin 3x -f- etc. ;

et ces suites de termes, que Ton appelle séries, pourront être considérées comme équivalentes à la fonction proposée fx, si, en prenant un nombre suffisant de termes de la série, à compter du premier, on obtient des valeurs qui diffèrent d'aussi peu qu'on veut de la valeur f x. Pour cela il faut concevoir nécessairement la série prolongée à l'infini; car si l'on obtenait la valeur exacte de fx au moyen d'un nombre fini de termes, on n'aurait fait que développer l'expression analytique de fx; on ne l'aurait pas transformée en série, dans le sens qui s'attache à cette locution. Ainsi, les équations identiques

(x + A)8=A* +3/** x + 3Ax* +x*,

(sin x)* = - sin x — -- sin 3x + — sin bx, 8 16 16

n'indiquent pas des transformations en séries, mais de simples développements.

23. Les séries les plus simples sont celles qui procèdent suivant les puissances entières et ascendantes de la variable. Mercator et Newton ont été conduits à des séries de cette forme ; le premier en appliquant la règle de la division à la

i fonction fractionnaire

a+bx'

et en ordonnant les termes successifs du quotient suivant les puissances de x ; le second en appliquant la règle de l'extraction des racines à la fonction irrationnelle

l/a + ia?,

et en ordonnant de même les termes obtenus successivement à la racine. Bientôt Newton et Leibnitz trouvèrent des développements de même nature pour les fonctions transcendantes alors connues ; et depuis cette époque la transformation des fonctions en séries a été l'un des points capitaux de l'analyse .

Cette transformation s'opère dans deux buts qui correspondent aux deux faces sous lesquelles on peut envisager tout le système des sciences mathématiques. Tantôt on n'a en vue que de démontrer certaines lois, certaines relations indépendantes des valeurs numériques des quantités, et pour cela on met les fonctions sous formes de séries appropriées à la démonstration qu'il s'agit de donner : alors peu importe le nombre de termes qu'il faut prendre dans la série pour obtenir une valeur suffisamment approchée de la fonction que la série remplace ; il suffit qu'on puisse concevoir, dans tous les cas, la série assez prolongée pour que la somme des termes négligés tombe au-dessous de toute grandeur donnée.

Dans d'autres cas, au contraire, on veut effectivement calculer des valeurs numériques au moyen des séries, et alors il est nécessaire que l'on puisse obtenir une approximation suffisante sans avoir besoin de calculer un trop grand nombre de termes de la série, ce qui conduirait à un travail pénible et quelquefois impraticable.

24. On appelle séries convergentes celles qui satisfont à la condition que la somme de leurs termes converge de plus

en plus vers une valeur limite, à mesure que l'on prend un plus grand nombre de termes : cette limite se nomme aussi la somme de la série* Pour que la transformation d'une fonction en série soit légitime, il faut que la série soit convergente, et qu'elle ait pour somme précisément la fonction transformée. Réciproquement,pour qu'une série d'un nombre infini de termes dont la loi est donnée, et dans lesquels entre la variable x, soit censée déterminer une fonction de x, il faut évidemment que cette série converge vers une valeur limite, ou qu'elle ait une somme : soit que cette somme puisse s'exprimer en fonction de x, à l'aide des signes algébriques ou transcendants usités (auquel cas on dit que la série a été exprimée sous forme finie), soit que, dans le cas contraire, on ne puisse en calculer numériquement la valeur, pour chaque valeur numérique de #, que d'une manière approchée, à l'aide de la série même ; et, dans ce cas, la fonction exprimée en série constitue une transcendante nouvelle, non réductible aux transcendantes connues.

Une série peut n'être pas convergente dès ses premiers termes : il suffit qu'elle finisse par converger (quelque éloigné que soit dans la série le terme où la convergence commence) pour qu'on doive la considérer comme représentant une fonction déterminée qui en est la somme, et pour qu'on puisse substituer la série à la fonction dont elle dérive, ou, réciproquement, la fonction sommatoire à la série, dans toutes les combinaisons du calcul qui n'ont point pour objet la détermination numérique des valeurs. Mais s'il s'agit de calculs numériques, on n'emploie guère que des séries qui convergent avec rapidité dès leurs premiers termes, du moins pour les valeurs numériques que l'on veut assigner aux quantités variables qui entrent dans les séries. Une convergence qui ne commencerait qu'après un grand nombre de termes, ou qui ne procéderait qu'avec une grande

lenteur, serait, pour un tel but, évidemment illusoire.

A proprement parler, on ne devrait appeler divergentes

que les séries pour lesquelles les sommes que Ton obtient,

en prenant successivement un nombre de termes de plus en

plus grand, vont en divergeant, en ce sens que la différence

d'une somme à la suivante, au lieu de tendre de plus en plus

vers zéro, prend une valeur numérique de plus en plus grande.

Telle est la série

h + x + Xe + a* + etc.,

pour les valeurs de x numériquement plus grandes que l'unité. Mais on est dans l'usage d'appeler divergente, pour plus de simplicité, toute série qui n'est pas convergente et qui n'a pas de somme. Ainsi, on dira encore que la série ci-dessus est divergente quand on assigne à x la valeur — i , auquel cas les sommes consécutives prennent alternativement les valeurs 1 et 0.

25. Une fonction fx étant développée en série, appelons (fjt la valeur numérique de la différence ou du reste qu'on obtient, quand on retranche de fx la somme des n premiers termes de la série. Si la série est convergente et qu'elle ait pour somme fx, <fux convergera indéfiniment vers zéro pour des valeurs croissantes de l'indice n, et cette quantité pourra être rendue aussi petite que l'on voudra, moyennant qu'on prendra pour n un nombre suffisamment grand. Au contraire, si la série est divergente, %x ira en croissant avec n, ou du moins ne décroîtra pas indéfiniment pour des valeurs croissantes de n. Mais il peut arriver encore, et il arrive fréquemment que yjx aille d'abord en décroissant, au point de ne conserver qu'une valeur très petite et négligeable pour une valeur convenable de l'indice n ; puis, que pour des valeurs plus grandes de l'indice yux commence à croître, et continue ensuite à prendre des valeurs de plus en plus grandes. C'est le cas oîi la série, après avoir offert d'abord les

caractères d'une série convergente, finit par devenir divergente ; et quelques auteurs qualifient de semi-convergentes les séries qui tombent dans cette catégorie. Il est clair que la sub stitution d'une telle série à la fonction dçmt elle dérive sera permise, comme moyen d'approximation, toutes les fois que l'on pourra prouver que le reste <fux devient négligeable pour des valeurs convenablement choisies de x9 et que l'erreur commise, en négligeant ce reste, n'entraîne, dans les résultats des calculs subséquents, que des erreurs pareillement négligeables à cause de leur petitesse.

Dans les diverses branches des mathématiques appliquées, il s'en faut bien que l'on procède toujours avec cette rigueur qui restreindrait singulièrement les ressources tirées de l'emploi des séries. Lors même que l'on n'opère que sur des séries dont la convergence est démontrée, il n'est pas toujours possible d'assigner dés limites à l'erreur que l'on commet en arrêtant la série à un terme de rang quelconque. Ce sont là des imperfections dans la solution des problèmes, que les efforts réitérés des géomètres ont pour but, et quelquefois pour résultat de faire disparaître, autant que la complu cation de ces problèmes le comporte.

26. Une série dont tous les termes ont le même signe, reste convergente ou divergente dans quelque ordre que ses termes se succèdent ; et si elle est convergente, la somme ou la valeur limite vers laquelle la somme de ces termes converge, reste aussi toujours la même. Au contraire, une série dont les termes successifs se détruisent en partie par l'opposition de leurs signes, peut être convergente ou divergente, selon Tordre de succession des termes ; et quand elle reste convergente, la somme peut varier avec Tordre des termes.

Lorsqu'une série

y = y0 + .?/i + //* + elc->

est entremêlée de termes positifs et négatifs, et qu'en les prenant tous de même signe on forme une nouvelle série convergente, il faut que la série y soit elle-même convergente. En effet, désignons par <p/ la somme des termes positifs contenus dans la série y, à partir de y., et par <j/ la somme arithmétique des termes négatifs, de sorte qu'on ait

?. = y« + y+i +etc. =?.'— ?.\

Dans la série formé(e des mêmes termes, mais tous pris avec le même signe, par exemple avec le signe positif, on aurait

et puisque cette dernière série est convergente, il faut que la somme 9/ -f- ?■" tombe au dessous de toute grandeur donnée, pour une valeur convenable de l'indice n : donc, à fortiori, la différence <p/ — % tombe au-dessous de toute grandeur donnée, ce qui établit la convergence de la série y. Une série est convergente lorsque ses termes, à partir d'un certain rang, ont des signes alternatifs, et que leur valeur numérique va en convergeant indéfiniment vers zéro. Soit en effet

?. = y- — y.+i + y.+t — y.+« + y-+* — etc- : on pourra écrire

?b = y. - (y +i — y-+0 — (y-+» — y-+0 — etc*

de manière que tous les binômes compris entre parenthèses soient positifs. On aura donc yn < ym ; et puisque yu peut être pris aussi petit qu'on veut, il en sera de même de?..

Si tous les termes de la série t/, à partir d'un certain rang, sont de même signe, cette série sera convergente ou diver-

gente, selon que le rapport -^ convergera vers une limite

< ou > que 1 , pour des valeurs croissantes de n.

En effet, désignons par a un nombre compris entre l'unité et la limite du rapport dont il s'agit: on aura pour « < 1 , et pour une valeur convenable de l'indice n,

et, à fortiori, .

Donc

ou

donc ç. converge iudéfiniment vers zéro, en même temps que yu.

Dans le cas de a > 1 , on aurait

et puisque le second membre de l'inégalité peut évidemment surpasser toute grandeur donnée, il en est môme de ?..

On démontrerait de la même manière que la série t/, dont tous les termes à partir d'un certain rang, sont supposés de même signe , est convergente ou divergente, selon que la racine

converge vers une limite < ou > que 1 , pour des valeurs croissantes de n, ym désignant la valeur arithmétique du terme de rang n (').

(•) Voyez, pour plus de développement, le Cour$ ^analyse algébrique 4e M. Gaochy, 4" partie, cbap. vi.

27. La théorie des séries forme une branche de l'arithmétique universelle ou de l'algèbre non moins importante que la théorie des équations, et qu'il faut étudier dans les mémoires ou traités spéciaux. Nous ne l'invisageons ici que dans ses points de contact avec la théorie des fonctions, et nous terminerons par les observations suivantes.

De même que, dans le cours d'un calcul algébrique, on opère souvent sur des quantités imaginaires pour arriver plus brièvement à des relations entre des quantités réelles, après que les signes d'imaginarité se sont détruits les uns les autres, de même les analystes n'ont fait pendant longtemps aucune difficulté d'opérer sur des séries divergentes, de manière à arriver finalement à des séries convergentes ou à des relations entre des quantités exprimées sous forme finie. Mais on a été amené ensuite à reconnaître que ce mode de procéder, fondé seulement sur l'analogie et sur un sentiment vague de la généralité de l'algèbre, peut induire en erreur, et on ne le regarde plus comme rigoureux.*

Soit néanmoins F (#, a) une fonction de la variable x et d'un paramètre arbitraire a, qui se trouve exprimée au moyen d'une série dont le terme général est Wu (#, a), et que nous désignerons par 2. x¥n (#, a), le signe 2 indiquant une somme de termes en nombre infini. Supposons que cette série ne cesse d'être convergente que pour certaines valeur particulières du paramètre «, par exemple pour « = o : en posant a = o dans l'équation

F (X, a) = 2 . ¥„ (ar, a),

on lui donnera la forme

équation inexacte, ou plutôt qui n'oflre aucun sens précis, puisque, par hypothèse, 2. <]/. [x) est une série divergente.

11 peut se faire toutefois si Ton remplace, dans le cours de certaines opérations de calcul, la fonction F (#, a) par son développement en série 2. Wu (x, a), on arrive à des résultats indépendants de la valeur du paramètre a, et à des séries convergentes d'où a a disparu. Il est clair que l'emploi immédiat et transitoire de la série divergente 2. <k (x) à la place de f(x), dans le cours des mêmes opérations, conduira à des résultats exacts.