CHAPITRE ffl
THÉORIE DES FONCTIONS DÉRIVÉES ET DES SOLUTIONS DE CON- TINUITÉ DES DIVERS ORDRES. — NOTIONS SUR LA THÉORIE DES FLUXIONS.
28. Étant données deux fonctions y = fx,Y = F*, on peut considérer une troisième fonction t* qui dépende d'une manière quelconque des fonctions t/, Y [10], de manière qu'on ait
" == ? (y> Y) = f (fx, Fx).
Examinons en particulier le cas où l'on poserait
ou bien
-ÙL U ""Fx'
Pour fa;re tout de suite l'hypothèse la plus générale, on peut admettre que les fonctions f, F, mathématiques ou empiriques, représentent les ordonnées de deux courbes actuellement tracées, et par le moyen desquelles il faut tracer la courbe qui a pour ordonnée u. Sur la fig. 10, MN, PQ, RS sont censées être les courbes qui ont respectivement pour ordonnées y, Y et u.
L'opération ne saurait offrir de difficultés tant que les ordonnées i/, Y, correspondantes à la même abscisse x, ont valeurs finies, positives ou négatives, différentes de zéro. Si l'ordonnée y devenait nulle, tandis que Y conserverait une valeur finie, l'ordonnée u serait nulle aussi. Ainsi, sur la
figure, les courbes MN, RS coupent Taxe des abscisses en un même point À.
Si l'ordonnée Y s'évanouissait , sans que y devînt nulle, la fonction u éprouverait une solution de continuité en passant par l'infini. Menons par le point B où la courbe PQ coupe Taxe des abscisses, une droite GK parallèle aux ordonnées : cette droite sera une asymptote commune aux deux branches RS, R'R' de la courbe qui a pour ordonnée u.
Supposons maintenant qu'il arrive que les deux fonctions fx9 ¥ x s'évanouissent à la fois, ou que les deux courbes MN, PQ (/ïg. H), coupent en un même point A l'axe des abscisses : l'expression de u se présentera sous la forme £ , qui est en algèbre le symbole de l'indétermination, et l'on ne pourra pas calculer directemant l'ordonnée AK de la courbe RS, correspondante à l'abscisse OA. Cependant la courbe RS rencontre nécessairement la droite AKL, menée par le point A parallèlement aux 'ordonnées, à moins que, par un cas singulier que nous pouvons d'abord écarter, elle n'ait cette même droite pour asymptote. L'ordonnée AK a donc une valeur déterminée; et si l'on prend sur l'axe des abscisses des points a', a", de plus en plus voisins de A, on pourra déterminer sur la courbe RS des points k\ k\ de plus en plus rapprochés de K, et des ordonnées a' k'y or k\ de moins en moins différentes de AK. Ainsi on conçoit , nonseulement qu'il existe une valeur déterminée de AK, mais qu'on peut l'évaluer avec une approximation indéfinie.
En pratique, cette approximation serait limitée par l'imperfection inhérente aux procédés graphiques, si les fonctions f, F n'étaient données que par le tracé des courbes MN, PQ, et à plus forte raison si elles n'étaient données que par des tables où il n'entre qu'un nombre limité de valeurs de la variable indépendante et de ses fonctions ; mais lorsqu'il s'agit de fondions mathématiques , on comprend la
possibilité de déterminer à priori la limite vers laquelle
fx converge le rapport — > lorsque les deux termes du rapport convergent indéfiniment vers zéro. Nous donnerons, par la suite, des méthodes générales pour déterminer cette limite, dont il suffit, quant à présent, de concevoir l'existence, non-seulement pour des fonctions mathématiques, mais pour des fonctions continues quelconques.
Cette limite pourrait avoir pour valeur zéro, aussi bien que toute autre valeur numérique, positive ou négative ; en d'autres termes, il n'est pas impossible que la courbe RS coupe précisément Taxe des abscisses au point A, qui est le point commun d'intersection de cet axe et des deux courbes MN, PQ. Nous avons déjà remarqué que , par un cas également exceptionnel, la droite AKL pourrait être une asymptote de la courbe RS, ce qui revient à dire que la limite en question aurait pour valeur l'infini positif ou négatif. Il n'en doit résulter aucune restriction dans nos énoncés, car on est habitué, en mathémathiques, à regarder zéro et l'infini comme des valeurs particulières qui peuvent, aussi bien que tout autre, être attribuées à des quantités variables, et par conséquent aux limites vers lesquelles ces quantités convergent.
29. Maintenant, envisageons plus spécialement le cas où l'on ferait
fx
et supposons que la courbe i/= fx passe par l'origine des coordonnées, de manière qu'on ait à la fois x = o9fx = o. Soit NN cette courbe (fig. 12 ), et menons par le point 0 la tangente OT : la tangente trigonométrique de l'angle que la droite OT forme avec le demi-axe OX sera précisément la limite dont nous venons de reconnaître l'existence, et
fx vers laquelle converge le rapport —, quand x et fx pren-
nent des valeurs numériques de plus en plus petites. En effet, la tangente à une courbe quelconque est la droite dont la courbe s'écarte, dans le voisinage immédiat du point de contact, moins que de toute autre droite menée par le même point : ce qui équivaut à dire que la tangente est la droite dont s'approche indéfiniment, dans son mouvement de rota-" tion, une sécante menée par le point de contact, quand le second point d'intersection de la sécante et de la courbe se rapproche indéfiniment du premier; puisque, si rapproché que le point m soit de 0, on pourra assigner un point p. compris entre m et 0, et dont la distance à la sécante Om sera plus grande que sa distance aux sécantes qui passent par le point 0 et par des points de la courbe compris entre m et p. Donc, la propriété énoncée dans la première définition ne peut appartenir à aucune des sécantes et appartient à la droite dont les sécantes se rapprochent indéfiniment, par le rapprochement indéfini des points m et 0. Or, dans un système de coordonnées rectangulaires ,
y fz__mp
x~ x Op 9
est la tangente trigonométrique de l'angle que fait avec l'axe des abscisses la sécante Om, menée par le point dont
fx V abscisse Ojp =# : donc la limite du rapport — est la tangente trigonométrique de l'angle TOX, formé par la tangente et par l'axe.
Imaginons à présent que la courbe MN {fig.. 13), dont l'équation est toujours y = /#, se trouve située d'une manière quelconque dans le plan des coordonnées : soient m, m, , deux points de cette courbe qui ont respectivement pour
abscisses Op=zx, Opt =xt • la limite vers laquelle convergera le rapport fx, — fx
xt — x 9 quand les deux termes du rapport convergeront simultanément vers zéro, sera, d'après ce qui précède, la valeur de la tangente trigonométrique de l'angle m T X, que la droite m T,' tangente à la courbe en m, forme avec Taxe des abscisses, du côté des x positifs. Cette limite variera, en général, d'un point à l'autre de la courbe MN : ce sera une fonction de x qui dérive de la fonction fx, en ce sens que celle-ci détermine implicitement l'autre, de même que le tracé d'une courbe détermine la direction de la tangente en chaque point. Comme ce mode de dérivation a sans comparaison plus d'importance que tout autre, Lagrange a proposé d' appeler simplement la fonction dont il s'agit, la dérivée de fx3 et de la désigner par Tune des notations
qui rappellent la liaison de y1 avec y ou de f avec f.
Concevons qu'on ait tracé la courbe M'N' (fig. 14) dont l'équation est y' = fx : la tangente trigonométrique de l'angle que la tangente menée par un point de cette courbe forme avec l'axe des #, sera une autre fonction de x, qui dérive de f\ de la même manière que f dérive de f On l'appelle, en conséquence, la dérivée du second ordre ou la seconde dérivée de fx ; et, suivant l'analogie, on la désigne par l'un des symboles
On formerait de même des dérivées du troisième, du quatrième,.... du ne ordre, dont les relations avec la fonction primitive y = fx, et avec toutes les dérivées intermédiaires, seraient très simplement exprimées au moyen des notations
f" x> t z, fu) *•
30. Quand la fonction dérivée f'x est positive, ou quand la tangente à la courbe y = fx forme un angle aigu avec Taxe des abscisses x, du côté des x positifs, la fonction primitive y est évidemment croissante avec x : au contraire, la fonction y est décroissante pour des valeurs croissantes de x, quand les valeurs de x rendent f'x négative. Nous pouvons donner une forme plus simple au même énoncé, en disant que les variations de y sont de même signe que les variations de x ou de signe contraire, selon que la dérivée est positive ou négative; et alors nous considérerons l'accroissement comme une variation positive, le décroissement comme une variation négative. Plus ordinairement, les analystes emploient les mots d'accroissement ou d'incrément comme synonymes exacts de celui de variation ; et alors il est sous-entendu que les accroissements ou incréments peuvent avoir des valeurs positives ou négatives.
Lorsque f'x s'évanouit, en passant du positif au négatif, fx passe par une valeur maximum [6] ; et au contraire, la fonction primitive passe par un minimum, quand la fonction dérivée devient nulle en passant du négatif au positif. On voit déjà, d'après cet énoncé, comment la détermination des valeurs de la variable indépendante qui font passer une fonction par un maximum ou par un minimum, se ramène à la détermination des valeurs qui font évanouir sa fonction dérivée: question importante, à laquelle on donnera plus tard les développements convenables. La fonction dérivée pourrait changer de signe en passant, non plus par zéro, mais par l'infini ; et alors on aurait ces maxima ou minima singuliers, dont il a aussi été question dans le numéro cité.
Non-seulement le signe de la dérivée f'x fait connaître si la fonction fx éprouve un accroissement ou un décroissement pour des valeurs croissantes de x, mais encore la valeur absolue de f'x mesure de rapidité de l'accroissement t i. 4
ou du décroissement de fx. Bien que le terme de rapidité ne s'applique, dans le sens propre, qu'au phénomène du mouvement , chacun comprend l'acception extensive que nous lui donnons ici ; et si Ton disait, par exemple, que la température de l'atmosphère varie plus rapidement près de la surface de la terre que dans les hautes régions, le sens de cette phrase serait clair pour tout le monde, quoique ni l'idée de mouvement, ni celle de temps n'entrent dans la notion qu'il s'agit d'exprimer. Au reste, il est facile de définir mathématiquement l'idée que Ton se fait de la rapidité avec laquelle une fonction varie. D'abord, si f'x était une quantité constante, ce qui suppose manifestement que fx est une fonction linéaire de la forme ax-\- b,fx varierait uniformément avec #, en ce sens qu'à des variations égales de x correspondraient des variations égales de /#, de même signe que celles de x ou de signe contraire, selon que a aurait le signe positif ou négatif. Dans ce cas, la dérivée f'x n'étant autre chose que la constante a, ou que la tangente trigonométrique de l'angle que la droite y = ax + b forme avec les x positifs, et les variations de fx qui correspondent à des variations égales de x se trouvant proportionnelles au nombre a, ce nombre mesure évidemment la rapidité avec laquelle fx varie, toujours par comparaison avec la variable x qui est censée varier d'une manière uniforme. Lorsque y = fx cesse de désigner une fonction linéaire ou l'ordonnée d'une ligne droite, à des variations égales de x cessent de correspondre des variations égales de y. Cela posé, concevons que l'on prenne sur la courbe MN (fig. 15) dont l'équation est y = fx, des points m9mi9mtymi9.... très-voisins les uns des autres, et que Ton substitue pour un moment à la courbe MN le polygone mmjnjn^... : l'ordonnée variera avec des rapidités inégales d'un côté à l'autre de ce polygone ; et en un point tel que rw, on devra, d'après ce qui
précède, prendre pour mesure de la rapidité de la variation, la tangente trigonométrique de l'angle mjnx que la sécante mmt fait avec Taxe des abscisses ou avec une parallèle à cet axe, du côté des abscisses positives. Or, la courbe MN est la limite dont s'approche indéfiniment la ligne polygonale, quand les points — m,m0m^mv.... sont pris de plus en plus voisins : donc la dérivée f' x ou tang Tmx, qui est la limite dont s'approche indéfiniment tang mxmx, mesure la rapidité de la variation de l'ordonnée fx correspondant à l'abscisse #, toujours, bien entendu, par comparaison avec x, qui est censé varier partout uniformément.
Prenons, pour plus de simplicité, l'origine arbitraire de la grandeur y, de manière que y reste positif dans toute la portion de la courbe y = fx que l'on veut considérer. Cette courbe MN peut tourner sa convexité (fig. 16) ou sa concavité {fig. 17) vers l'axe des abscisses. Il y a inversion dans le sens de la courbure ou inflexion dans la courbe {fig. 18), lorsque l'on passe de la convexité à la concavité, ou inversement. Or, une telle inversion suppose que la fonction f' x, d'abord croissante, devient décroissante, ou que, d'abord décroissante, elle devient croissante ; ce qui fait changer de signe à la fonction f"x9 et implique en général le passage de la première dérivée par une valeur maximum ou minimum. Ainsi, sur la figure„l'angle que la tangente raT forme avec l'axe des abscisses, du côté des x positifs, après avoir été en croissant de M en m, point où la courbe MN subit une inflexion, va en décroissant de m en N.
31. Lorsque Ton donne la fonction dérivée fx, on ne détermine pas complètement par cela seul la fonction primitive fx, de la même manière qu'on détermine la première dérivée, et par suite les dérivées de tous les ordres, en donnant la fonction primitive. Effectivement, si l'on conçoit que la courbe MN {fig. 19), dont l'équation est y = fx, soit suc-
cessivement transportée en M, N,, Mt Nt, etc., de façon que toute les ordonnées de la première courbe se trouvent augmentées d'une longueur constante, les tangentes m T, m1 Tt, m, T,, etc., seront parallèles; et, par conséquent, la dérivée y' = f x sera commune à toutes les courbes qui ont pour équation y = fx + C, C désignant une constante quelconque, que Ton appelle pour cette raison constante arbitraire. Soit donc y une fonction inconnue de x> qui doit avoir pour première dérivée une fonction connue y' = fx, et, soit fx une fonction qui a pour dérivée fx : on posera
y = fx + C,
et il faudra déterminer la constante arbitraire C par une autre condition ; au moyen, par exemple, de la condition que la courbe MN passe par un point donné (#0, t/0), ou que la fonction prenne une valeur y0 pour ime valeur donnée de x désignée par x0. Il résulte en effet de cette condition
y, = fx. -+- C, et par suite
y — y. = fx — fxm, équation d'où la constante arbitraire C se trouve éliminée, et où il n'entre que des quantités connues.
32. Une fonction périodique a pour ses dérivées de tous les ordres des fonctions périodiques. Une fonction paire a pour sa première dérivée et pour toutes ses dérivées d'ordre impair des fonctions impaires, tandis que sa seconde dérivée et toutes ses dérivées d'ordre pair sont des fonctions paires. L'inverse a lieu pour les fonctions primitives impaires. La vérité de ces diverses propositions ressort de la simple intuition des courbes, et elles s'appliquent à des fonctions quelconques, mathématiques ou empiriques.
33. De même que nous avons défini géométriquement le passage de la fonction primitive à sa dérivée, nous pouvons
donner une signification géométrique à l'opération inverse par laquelle on remonte d'une fonction dérivée à sa fonction primitive. Soit en effet M' N' (fig . 20 ) la courbe qui a pour équation
y' = fx, et proposons «nous d'évaluer Taire trapézoïdale comprise entre Taxe des abscisses, la courbe M' N' et deux ordonnées mop0, m p, dont Tune correspond à l'abscisse déterminée 0po = x„ et l'autre à l'abscisse variable Gjp = a:. Cette aire est une fonction de la variable x que nous désignerons provisoirement par <j> x. Si x augmente et prend la valeur 0pt = xl7 l'aire augmente du trapèze curviligne mppjn^
et Ton a
y xx — * x aire mppim1
en sorte que la dérivée de la fonction <p est la limite vers laquelle converge le rapport du trapèze curviligne mppiml à son côté pp±J quand ppt converge indéfiniment vers zéro. Mais l'aire de ce „ trapèze est comprise entre celle du rectangle mppini et celle du rectangle pnmtp^ et le rapport des aires de ces deux rectangles, qui est
mp mi Pi' converge indéfiniment vers l'unité, quand ppx converge indéfiniment vers zéro. Donc aussi le rapport de l'aire d'un de ces rectangles à celle du trapèze intermédiaire converge indéfiniment vers l'unité, et l'on peut écrire
airempw.w, mpxppx -,
km. — — - =z r rr = mp = fx.
PPi PPt
Donc la fonction désignée provisoirement par y x satisfait à la<îondition d'avoir fx pour dérivée: donc c'est une des (onctions primitives de fx comprises dans la formule fx-\- C,
1)4 uvre r. — CHAPrrRE m.
C désignant une constante arbitraire ; et comme elle doit s'évanouir quand on y fait x=x0 puisque Ton mesure les aires à partir de l'ordonnée fixe m^p0, il s'ensuit que cette fonction est complètement déterminée et égale à fx — fx0.
Pour cette raison on donne communément le nom de quadrature à toute opération par laquelle on détermine une fonction, en l'assujettissant à la double condition d'avoir pour dérivée une fonction donnée, et de prendre une valeur numérique déterminée pour une valeur particulière de la variable dont elle dépend.
Si l'on divise en n parties égales l'intervalle pQp (fig. 21), et qu'on mène les ordonnées équidistantes m,pnmMpM, etc., on a, en désignant par &>, «,,... les aires des rectangles pj},mtr0, pspHm*r„ et par e l'intervalle constant pj),
msPé = - , mâpg = - , etc., e c
MiPi + mnPu + etc w + », + etc.
ni
c'est-à-dire que la moyenne arithmétique des ordonnées mtpn mitpJt1 etc., égale la somme des aires w„ «, etc., divisée par la ligne j»0p=x — x0. Mais quand le nombre n devient de plus en plus grand, l'intervalle e décroissant en raison inverse, afin que le produit n s reste constant, la somme des aires «, g>„ etc., converge indéfiniment vers une limite qui est l'aire trapézoïdale mjp^m. Donc le rapport de cette aire à l'intervalle p0p, ou bien le rapport
fx — fx0
X •— - Xq
exprime la moyenne de toutes les valeurs, en nombre infini, que prend la fonction dérivée f'.x, pour les valeurs, aussi
en nombre infini, de la variable indépendante, comprises entre x0 et x.
Pour la généralité de cette règle, et de toutes celles qui se rattachent à la théorie des quadratures, il faut considérer comme négatives les aires telles que qss'q', limitées par des ordonnées négatives.
34. On conclut facilement de ce qui précède, que si une fonction y était donnée par la condition d'avoir pour dérivée nm ordre une fonction connue.
il faudrait en outre, pour déterminer complètement y, assigner explicitement ou implicitement les valeurs
yo, y'o, y\, y0{m-l) ,
que prennent les fonctions.
pour une valeur déterminée de x9 telle que x0. Soit en effet M" N'(/îg. 22) la courbe donnée par l'équation (a„) : le tracé de cette courbe détermine en fonction de l'abscisse variable Op = x l'aire trapézoïdale m0p0 pm, et détermine par conséquent la courbe dont l'équation est
pourvu qu'on assigne /' M~l)x0, ou la valeur de y{H~l) correspondant à x = x0. La courbe (a„,) étant tracée, détermine par la même raison celle qui a pour ordonnée ^-■■. = />-..:*,
pourvu qu'on assigne l'ordonnée /'c,,"~,;.r0, et ainsi de suite.
35. On a supposé tacitement dans ce qui précède, que l'ordonnée f x ne devient point infinie entre les limites de la quadrature. 11 pourrait se faire néanmoins que les raisonnements et les constructions fussent encore applicables.
56 LIVRK I. GHAPITKK III.
même lorsque la fonction f x prendrait entre les limites de la quadrature une valeur infinie. Soit en effet
y=fx
l'équation d'une courbe MRN (fig.*23 ) qui a un rebroussement en R [6], l'ordonnée PR étant tangente aux deux arcs MR, RN : la courbe M'N', dont l'ordonnée est la dérivée f #, aura pour asymptote la droite P'R' menée parallèlement à OY' par le point P' dont l'abscisse OP' = OP. Dans ce cas, il résulte de la définition même de la courbe M'N', que Taire comprise entre une ordonnée fixe m'0//0, l'asymptote P'R', l'axe des x et la courbe M', à une valeur finie numériquement égale à la différence des ordonnées PR, p0m0. En d'autres termes, il arrive en pareil cas que l'aire trapézoïdale m'0p0p'm' converge vers la valeur finie PR — m^ quand le point p' se rapproche de plus en plus du point P' . Alors rien ne s'oppose à ce que l'ordonnée de la courbe MRN soit censée déterminée par une quadrature, au delà comme en deçà de l'ordonnée PR. La même observation s'applique à la courbe MRN (fig. 24), qui est touchée au point R par l'ordonnée PR , et qui subit une inflexion en ce point.
Au contraire, si l'aire limitée d'une part par l'ordonnée m'qP'o ( fis- 23 )> de l'autre par l'asymptote P'R', était infinie, ou si l'aire trapézoïdale m\p\ p'mr devenait infinie, quand le point p! se rapproche de plus en plus du point P', l'ordonnée PR serait aussi une asymptote de la courbe M qui éprouverait une solution de continuité ; et Ton ne pourrait plus passer, par la continuation de la même quadrature, de la branche M à la branche N.
Nous conclurons de ces remarques que, quand une fonction éprouve une solution de continuité en passant par l'infini, sa première dérivée, et par suite ses dérivées ulté-
rieures de tous les ordres, éprouvent la même solution de continuité ; mais que l'inverse n'a pas généralement Heu, une fonction pouvant devenir infinie sans que la fonction primitive dont elle dérive devienne infinie, pour la même valeur de la variable indépendante.
36. Une fonction quelconque y = fx étant représentée par l'ordonnée delà courbe MRN (fig. 25), cette courbe peut être continue (en ce sens que l'ordonnée reste finie, sans passer brusquement d'une valeur finie à une autre), et offrir au point R ce que, dans les arts graphiques, on appelle un jarret; c'estrà-dire que la tangente, après avoir varié d'inclinaison d'une manière continue de M en R, passe brusquement de la direction T'RT à la direction SRS', pour varier ensuite d'inclinaison, sans discontinuité, de R en N. Nous dirons qu'en pareil cas la ligne MRN a un point saillant en R. La courbe dont l'ordonnée est la fonction dérivée y' = fx éprouve une rupture , et cette fonction dérivée elle-même subit une solution de continuité résultant du passage brusque d'une valeur finie à une autre, pour la valeur de x qui est l'abscisse du point saillant de la courbe y= fx. Les dérivées de fx, des ordres supérieurs, éprouvent toutes en général, pour la même valeur de x> la solution de continuité qui consiste dans le passage brusque d'une valeur finie à une autre.
Dans ce cas, aussi bien que dans celui où f'x devient infinie , fx restant finie , nous dirons que la fonction f'x>et toutes les dérivées subséquentes, éprouvent une solution de continuité dupremier ardre, et que la fonction primitive fx éprouve une solution de continuité du second ordre.
La fonction f'x pourrait elle-même n'éprouver qu'une solution de continuité du second ordre ; celle de la seconde dérivée fx et des dérivées subséquentes étant du premier ordre ; et alors nous dirions que la fonction primitive fx
subit une solution de continuité du troisième ordre. En général , on dira qu'une fonction éprouve une solution de continuité du ne ordre, lorsque sa dérivée du (n — l)e ordre, et, par suite, les dérivées d'ordres plus élevés, éprouvent une solution de continuité du premier ordre, résultant, soit du passage de ces fonctions par l'infini, soit de leur passage brusque d'une valeur finie à une autre.
37. La distinction des solutions de continuité des divers ordres, telle qu'on vient de rétablir, est d'une grande importance dans la théorie des fonctions, soit qu'on l'applique à l'algèbre, à la géométrie ou aux questions de physique mathématique. Jusqu'à ces derniers temps , les analystes entendaient, et l'on entend communément encore par fonctions discontinues celles qui s'expriment, dans diverses portions de leurs cours, par des formules algébriques différentes. Effectivement, il sera prouvé plus loin que toute fonction y égale à la fonction algébrique fx, pour les valeurs de x plus petites que x0, et à la fonction également algébrique f\x , pour les valeurs de x plus grandes que x0, éprouve , pour l'abscisse x=x0 , une solution de continuité d'un ordre déterminé ; ou que ces fonctions, à moins d'être identiques, ne peuvent satisfaire à la série d'équations
f$o:==fixo>î xo> ^^ I ixoy f xo == / 1 xo> etC.
prolongée à l'infini; en sorte que si la dernière des équations de cette série à laquelle on peut satisfaire, est
la fonction x éprouvera, pour l'abscisse x09 une solution de continuité de l'ordre n-f-2.
Cette proposition cesserait d'être exacte si les fonctions jf, ft n'étaient pas des fonctions algébriques, explicites ou implicites. Nous verrons, en effet, sur des exemples,. qu'une fonction peut recevoir dans diverses portions de son cours.
des expressions transcendantes de formes essentiellement différentes, sans qu'il y ait de solution de continuité d'un ordre quelconque, correspondant au passage d'une forme à l'autre.
Nous verrons aussi qu'une môme expression transcen* dante peut équivaloir à une certaine fonction algébrique fx pour les valeurs de x < xQ , et à une autre fonction algébrique ft x , distincte de la première , pour les valeurs de x > x0. Ainsi une série couvergente, qui est une expression transcendante, peut avoir successivement pour somme les fonctions algébriques distinctes fx et fx x.
Dans tous les cas, les caractères essentiels des solutions de continuité sont ceux que nous avons donnés dans le numéro précédent, sans égard à la circonstance accessoire que la fonction puisse ou non s'exprimer mathématiquement, sous forme algébrique ou transcendante, dans la totalité ou ou dans une portion de son cours.
38. Nous avons dit [4] que les fonctions qui représentent des grandeurs physiques et mesurables ne peuvent devenir infinies, mais qu'il y en a parmi elles qui sont susceptibles d'éprouver les solutions de continuité consistant dans le passage brusque d'une valeur finie à une autre, au moins sous le point de vue où nous nous trouvons placés pour observer les phénomènes matériels, et pour les soumettre au calcul. Ceci se rattache aux notions sur les limites et sur les fonctions dérivées qui font Tobjet du présent chapitre. Admettons, pour fixer les idées, que y désigne la densité d'un cylindre ABCD {fig. 26), supposée la même dans toute l'étendue d'une section perpendiculaire à l'axe OX, et variable d'une section à l'autre. La- distance Op de la base du cylindre à la section mw, pour laquelle la densité a la valeur jf , étant représentée par x9 y deviendra une fonction de x; mais comme la notion de densité n'est pas applicable en soi
à une surface mathématique, il faudra, pour définir rigoureusement la grandeur t/, imaginer un plan mini parallèle à mn. et qui peut s'en rapprocher indéfiniment, tandis que mn reste fixe. La masse de la tranche mm^i^n, divisée par son volume, donnera un quotient variable avec la distance ppt = xi — x9 Ce quotient convergera vers une certaine limite quand xt — x convergera indéfiniment vers zéro \ et la limite du quotient sera précisément la fonction de x que nous prenons pour mesure de la densité du cylindre dans l'étendue de la section mn. On appliquerait ce que nous venons de dire au sujet de là mesure de la densité à la mesure de la température et généralement de toutes les grandeurs qui ne peuvent être conçues qu'à la faveur de cette explication comme des fonctions des coordonnées d'un point, d'une ligne ou d'une surface mathématiques.
En général, la limite qui mesure la fonction y ne changera pas, soit qu'on mène le plan mxni en avant ou en arrière du plan mn ; mais, pour certaines valeurs particulières de x, la limite pourra être différente dans les deux cas ; et alors, la fonction y éprouvera la solution de continuité de premier ordre qui consiste dans le passage brusque d'une valeur finie à une autre. Elle pourrait aussi éprouver une solution de continuité du second, du troisième ordre, et ainsi à l'infini.
Si l'on détermine la fonction x en menant deux plans parallèles mtnl9 m'n', l'un en avant, l'autre en arrière du plan mn, et en cherchant la limite vers laquelle converge le rapport de la masse m^^riri à son volume quand les deux plans mjitj, m'ri se rapprochent indéfiniment de mn, en général la fonction y sera encore la même ; mais , pour la valeur de x qui fait éprouver à la fonction une solution de continuité du premier ordre, la valeur de la limite, calculée dans la seconde hypothèse, sera la demi-somme des
deux valeurs distinctes correspondant à cette valeur de xy dans la première hypothèse.
