NOTIONS SUR LES DIFFÉRENCES DES DIVERS ORDRES

port — i[, laquelle se confond sensiblement avec la valeur

de f'x.

On voit encore que , si toutes les dérivées de fx pestent finies, jusqu'à P9)x inclusivement, on pourra toujours prendre A# assez petit, non-seulement pour que les différences des divers ordres

forment une suite de fractions très petites, mais pour que cette série soit ordonnée , de manière que le rapport de chaque terme à celui qui le précède dans la série se réduise lui-même à une fraction très petite, on a en effet, d'après le théorème précédent ,

A-y = (f*x + f) A#% e étant une quantité très petite qui s'évanouit avec A#, ou avec une approximation relative indéfinie, et d'autant plus grande que Ax reçoit une plus petite valeur,

On en déduit approximativement

a*v fx a «y fx

—M--'— . lx> — 9- s= '—=- . àx, etc.

Ay f'x A «y f"x '

Ou pourra donc toujours prendre Ax assez petit pour que chacun de ces rapports tombe au-dessous de toute grandeur donnée.

45. La série des puissances d'une fraction très petite est le type arithmétique de la subordination des grandeurs. Si Ton élève, par exemple, à ses puissances successives la fraction 77^, on aura une suite rapidement décroissante 4 4 \

1000' 1000000' 1000000000' telle que, dans un calcul d'approximation, on pourrait regarder comme négligeable vis-à-vis d'un terme de la série, non-seulement le terme qui le suit, mais un multiple de

celui-ci, tant que le multiplicateur ne serait pas de Tordre des dizaines ou des centaines. Généralement, désignons par e une fraction très petite, et par ki9 kt, kv . . . . kn des nombres qui ne soient pas très grands, ou des nombres tels que les fractions

ne soient pas comparables pour leurs petitesse à e : la suite

AlS, A, s1, A8f», kne

sera formée de termes dont chacun pourra être considéré comme très petit par rapport à celui qui le précède, ou dont chacun serait exprimé par une fraction très petite, comparable dans sa petitesse à e, si Ton prenait pour unité la valeur du terme qui le précède immédiatement.

Appelons quantité très petite du premier ordre les fractions e et kxz : on exprimera la subordination qui vient d'être expliquée en disant que

sont des quantités très petites du second, du troisième,

du ne ordre.

Conséquemment à cet énoncé, nous dirons que, si aj; est une quantité très petite du premier ordre, et s'il n'y a aucune des fractions

/v fx' r»x* rx

comparable pour sa petitesse à A#, les différences

*y> A*y> AY A"y

seront des quantités très petites du premier, du second, du troisième, du n° ordre , ou des quantités respectivement du même ordre que

&x, A3?1, Aa?a, Aar.

46 r II ne sera pas hors de propos d'ajouter ici quelques