NOTIONS SUR DES DIFFÉRENCES DES DIVERS ORDRES

variable par différences constantes, de manière à avoir

Xx = X + &x, xt = .a? + 2 Aar, xz = or + 3 A#, etc., les différences des ordres supérieurs A2# , A3a?, se réduisant toutes à zéro. Nous allons envisager dans cette hypopothèse les séries qui comprennent les valeurs consécutives de y, et leurs différences des divers ordres.

Il n'y aurait, pour notre but actuel, aucune remarque essentielle à faire, tant que la fonction y = fx reste indéterminée, si d'ailleurs on ne s'assujettissait à aucune condition dans le choix de la différence arbitraire Ax. Mais supposons que l'on prenne pour Ax une très petite fraction : les différences At/ , A* y , A3 y , deviendront , en général , très

petites aussi ; de manière toutefois (et ceci est très remarquable) que les rapports de A8 y à A y, de A*t/ à A2 y, etc., soient eux-mêmes exprimés par des fractions très petites. Plus la différence Ax sera petite, et plus cette subordination de grandeur entre les différences des divers ordres de la fonction y deviendra sensible.

En effet, nous pouvons remarquer que le rapport ^converge vers la limite ffx> quand Ax décroit indéfiniment. On a donc

en désignant par yx une fonction de x et de Ax qui s'évanouit avec Ar, quelle que soit x.

On a de même

*pL=zf'(x + ^x) + ?(x + ^x),

aX

d'où l'on déduit

aV Ayi&y f (*+**) — fx ffr + *x)— fx

bZ • &X û» bx ^X '

72 LIVRE ï. — CHAPITRE TV.

et, quand &x décroit indéfiniment,

lim.— ï=Fx + f'x.

Mais, quand àx s'évanouit, la fonction yx étant nulle pour toutes les valeurs de x, sa dérivée est nulle, et l'on a

Ceci nous montre que la fonction dérivée du second ordre fnx est la limite vers laquelle converge le rapport ^ quand A# décroit indéfiniment, de même que f'x exprime, dans la même circonstance, la limite du rapport ^. On a de même

^± = f (X + A*) + * (X+to),

d'où l'on déduit

et, quand Ax décroit indéfiniment.

lim.— ^= /™a? -h f» = /^

puisque <[>'« est identiquement nulle.

Gomme le même calcul peut être indéfiniment poursuivi, on voit que la dérivée f*x est la limite vers laquelle con-

verge, dans l'hypothèse admise, le rapport ^ , ce qui fournit

un moyen de calculer approximativement les valeurs de la fonction /*■*«, quand la fonction primitive fx est donnée par une table, pour des valeurs de x équidifférentes et très rapprochées. En effet, avec cette table on formera les valeurs de At/, A2 y, A{,°t/; et par suite on aura celle du rap-