Étant donnée la série des différences des divers ordres

ty,±*y>±'y,

qui deviennent, pour de très petites valeurs de Aar, respectivement comparables à

a#, Aa?», àx*, ,

Terreur que Ton commettra en négligeant A*y , Ax*, vis-àvis de Ay ? As ; &*y, A5#, vis-à-vis de A*t/, A*#, et aînsi de suite, sera d'autant moindre que l'on prendra pour Ax une quantité plus petite; et Ton pourra toujours prendre A# assez petit pour que Terreur relative commise tombe audessous de toute grandeur donnée. C'est ce qu'on exprime, d'après Leibnitz, d'une manière plus brève, en disant que A*y, Aa:*, sont rigoureusement négligeables vis-à-vis de Ay, A# ; que A*y, Ax5, le sont pareillement vis-à-vis de A*y, Ao;*, et ainsi de suite, lorsque la différence Ax est infiniment petite.

Ùlx et par suite Ay étant des quantités infiniment petites, A#*, A*t/ sont des quantités infiniment petites du second ordre; ce qui signifie que les rapports

Aa?f AJy A» ' Ay

deviennent aussi des quantités infiniment petites. Ar5, A3t/, sont des infiniment petits du troisième ordre ; ce qui revient à dire que les rapports

deviennent des quantités infiniment petites , ou que les rapports

Afl?8 A8y

àx y Ay

sont des infiniment petits du second ordre. Généralement , pour des valeurs infiniment petites de A#, les quantités Ait", A"y, deviennent, dans le sens qui vient d'être expliqué, des quantités infiniment petites du nm ordre.

Ce langage adopté, au lieu de dire que les dérivées

sont les limites vers lesquelles convergent indéfiniment les rapports

Ay A «y A»y

*x' À3f,Aa?8'

quand la différence àx converge indéfiniment vers zéro, nous énoncerons le même fait en disant que ces fonctions dérivées sont les valeurs mêmes des rapports correspondants, quand la différence A# devient infiniment petite, et quand par suite les différences At/, A*t/, A5!/, deviennent des quantités infiniment petites du premier, du

second, du troisième ordre, chacune rigoureusement

négligeable vis-à-vis des infiniment petits d'un ordre inférieur.

Afin d'exprimer la même chose avec la concision qui est propre à l'écriture algébrique, Leibnitz emploie la caractérisque d pour désigner des différences infiniment petites ; et d'après cette notation, nous poserons

du „ d*y ,„ d*y

dy = fx.dx, d*y =/" x.dx%, d*y = fxdx*, etc. 48. Pour faire comprendre tout de suite, par un exemple très simple, la raison et le but de cet algorithme, proposonsnous de trouver la dérivée de la fonction algébrique

y=x* + ax% + bx + c :

nous aurons, en formant d'abord la différence Ay pour pas-

Ay

ser de là au rapport ^* , et ensuite à la limite,

Ay = (x -f- *x)* -H« (x-h A^)* +- b (x H- A<r) 4- c — (x* «4- aw* -h bx 4- c) = (3a?* -f- 2ar -+- b) Aa? 4- (3x 4- a) &x* + &x';

(Toù nous tirons

Ay

-- = 3a?* + ax + b + (3a? + «) ** + *x*. &x

Or, si nous faisons converger indéfiniment Anvers zéro, les

termes

convergeront aussi indéfiniment vers zéro , et s'évanouiront à la limite : donc on a

y' = lim. — = 3a?* •+ 2 ax + b.

Ax

Au lieu d'employer ce tour de raisonnement, traitons les différences A#, Ay comme des quantités infiniment petites, et désignons-les par dx: dy: nous aurons

dy «= $x* 4- 2aa? + 6) dx + (3a? + a) dx* + dx9; (4)

mais les termes

(3a? 4- a) dx*, dx9

sont des infiniments petits du second et du troisième ordre , qui doivent être négligés vis-à-vis des quantités infiniment petites du premier ordre,

dy, (3a?f + 2aa? + b) dx; donc on a simplement

dy = (3a?1 + 2oa? + b) dx; (2) d'où l'on tire, comme ci-dessus,

xf — jL — 3a?1 + 2 ax + b, dx

Maintenant (et c'est en ceci que consiste essentiellement

l'avantage du procédé de Leibnitz) il est clair qu'on aurait

pu se dispenser d'écrire dans l'équation (1) et de calculer

préalablement les termes en dx* et d#3, sachant que ces

termes ne peuvent être que des infiniment petits d'ordres

supérieurs, destinés à disparaître vis-à-vis des infiniment

petits du premier ordre, de même et par la même raison

que ceux-ci disparaissent vis-à-vis des quantités finies. Il y a plus : pour former Ay on a eu besoin de connaître la formule qui donne les développements des puissances (x-j-Àr)5, (x-f A*)*; tandis que, pour former l'équation (2), il aurait suffi de connaître les termes affectés de la première puissance de A# dans les mêmes développements.

Supposons encore que nous voulions retrouver la dérivée de la fonction qui mesure Taire trapézoïdale comprise entre la courbe M' N' (fig. 20) , Taxe des abscisses et deux ordonnées m0jp0, mp, dont la première est fixe, tandis que l'autre se déplace. Cette question a été traitée au n° 33 par la considération des limites. Pour y appliquer les principes de Leibnitz, nous concevrons que F abscisse Op=x augmente de la quantité infiniment petite ppt = dx. L'aire mjpjpm étant désignée par t/, la valeur de dy sera le trapèze curviligne infiniment petit mppxmx. Mais, si nous menons les droites mnx, mxn, parallèles à ppx, la différence de dy au rectangle infiniment petit mppl n, sera moindre que l'aire du rectangle mnxmxn^ qui est elle-même un infiniment petit du second ordre, puisque les deux dimensions mn,, w^n, sont chacune des infiniment petits du premier ordre. Donc, en négligeant, comme on doit le faire, les infiniment petits du second ordre vis-à-vis de ceux du premier ordre, et en désignant par f'x l'ordonnée courante de la courbe M'N', on

aura

dy = fx.dx, d'où l'on tire

y'=— = f'x; y dx '

ce qui apprend que la dérivée de la fonction cherchée est précisément la fonction donnée f' x.

En général, on ne soumet à des raisonnements, à des

constructions et à des calculs, des infiniment petits de divers ordres, que pour assigner des rapports finis qui existent entre des infiniment petits du même ordre; et à cet effet on néglige constamment les infiniment petits d'ordre supérieur vis-à-vis des infiniment petits d'ordre inférieur : ce qui opère, dans le cours même des raisonnements , des constructions et des calculs, des simplifications qui constituent essentiellement l'avantage de la méthode.

49. Effectivement, si nous pouvions comparer dès le début , non plus seulement dans leurs germes, mais dans leurs applications aussi variées qu'étendues, la méthode des limites et la méthode infinitésimale, nous verrions que toutes deux tendent au même but, qui est d'exprimer la loi de continuité dans la variation des grandeurs, mais qu'elles y tendent par des procédés inverses. Dans la première méthode, étant donnée à traiter une question sur des grandeurs qui varient d'une manière continue , on suppose d'abord qu'elles passent subitement d'un état de grandeur à un autre; et l'on cherche ensuite vers quelles limites convergent les valeurs obtenues dans cette hypothèse, quand on resserre de plus en plus l'intervalle qui sépare deux états consécutifs. Il est clair qu'on n'obtient ainsi qu'après coup, à la fin de la solution, les simplifications qui résultent de la continuité, et que la méthode infinitésimale , par l'évanouissement successif des infiniment petits d'ordres supérieurs, donne directement et successivement, à mesure qu'on avance dans le traitement de la question.

Aussi peut on poser en fait que, quelque adresse que l'on mette à employer la méthode des limites, et quelques simplifications que les progrès des sciences apportent dans les théories mathématiques et physiques, on arrive toujours à des questions pour lesquelles il faut renoncer à cette mét. i. 6

thode, et y substituer, dans le langage et dans les calculs, Temploi des infiniment petits des divers ordres.

D'ailleurs la méthode infinitésimale ne constitue pas seulement un artifice ingénieux : elle est l'expression naturelle du mode de génération des grandeurs physiques qui croissent par éléments plus petits que toute grandeur finie. Ainsi, pour revenir sur un exemple cité [42] , quand un corps, en se refroidissant , émet sans cesse de la chaleur thermométrique, la perte de température qu'il éprouve dans un intervalle de temps quelconque, si petit qu'on le suppose, est un effet composé, résultant, comme de sa cause, de la loi suivant laquelle le corps émet sans cesse, en ohaque instant infiniment petit, une quantité infiniment petite de chaleur thermomé tique. Le rapport entre les variations élémentaires de la chaleur et du temps est la raison du rapport qui s'établit entre les variations de ces mêmes grandeurs quand elles ont acquis des valeurs finies, le terme de raison étant pris ici dans son acception philosophique.

De même, pour employer un exemple déjà familier à la plupart de nos lecteurs, les espaces décrits par un corps qui tombe librement, en cédant à l'action de la pesanteur , varient proportionnellement aux carrés des temps écoulés depuis le commencement de la chute, parce que l'accroissement infiniment petit de l'espace parcouru est proportionnel à la vitesse acquise, qui elle-même, par un résultat évident de l'action continuelle et constante de la pesanteur, est proportionnelle an temps écoulé depuis que le corps est en mouvement. De cette relation si simple entre les éléments du temps écoulé et de l'espace décrit, dérive, comme de sa cause, la loi moins simple qui lie entre elles les variations finies de ces deux grandeurs.

Sous ce point de vue, on a pu dire avec fondement , que les infiniment petits existent dans la nature ; et il convien-

draH certainement, dans le même ordre d'idées, d'appeler px la fonction génératrice ou primitive, et fx la fonction dérivée, an lieu d'appliquer ces dénominations en sens inverse, comme l'a fait Lagrange, guidé en cela par des considérations de pure algèbre.

Du reste, ces remarques ne concernent pas exclusivement les grandeurs douées d'une existence physique : en géométrie pure, les grandeurs continues ont aussi ou peuvent avoir leur mode naturel de génération, par le mouvement de certains points, lignes ou surfaces ; et, en pareil cas, on trouve le même avantage à saisir directement la loi des variations infinitésimales, de laquelle résulte la loi des variations à l'état de grandeurs finies.

En résumé, la méthode infinitésimale est mieux appropriée à la nature des choses : elle est la méthode directe , au point de vue objectif ; et c'est pour cela que l'algorithme de Leibnitz, qui prête à cette méthode le secours d'une notation régulière, est devenu un si puissant instrument, a changé la face des mathématiques pures et appliquées, et constitue à lui seul une invention capitale dont l'honneur revient sans partage à ce grand philosophe. D'un autre côté, le concept de l'infiniment petit ne peut se définir logiquement que d'une manière indirecte, par l'intermédiaire des hittites ; de sorte qu'au point de vue logique et subjectif, la rigueur démonstrative appartient directement à la méthode des limites ; et indirectement à la méthode infinitésimale, en tant que celle-ci devient, à l'aide de certaines définitions de mots, une pure traduction de la première. La conséquence de ce double fait, c'est qu'on ne peut se dispenser de mettre en évidence, dans les cas les plus simples, l'identité des résultats des deux méthodes ; mais qu'une fois cette traduction bien comprise, il convient de s'abandonner à la méthode infinitésimale , qui seule peut conduire à la solution des

questions compliquées, par la suppression de tout échafaudage inutile.

Quoique la méthode des limites ait certainement toute la rigueur logique désirable, le concept sur lequel elle repose ne semblait pas encore assez rigoureusement défini aux géomètres de l'antiquité, habitués aux subtilités de la dialectique grecque, et qui cherchaient toujours à réduire le nombre des concepts immédiats, en tirant le plus grand parti possible du principe d'identité ou de contradiction sur lequel repose la démonstration logique. En conséquence, ils substituaient à la méthode des limites le procédé si connu dans les éléments, de la réduction à l'absurde ou de Yexhaustion : procédé le plus indirect et le plus compliqué de tous; celui, par conséquent, qu'on est forcé d'abandonner le plus tôt , quand on s'élève graduellement des questions les plus simples aux questions plus complexes.

Il y aurait à tirer, du rapprochement de ces diverses théories mathématiques , des inductions précieuses pour l'étude générale des opérations et des lois de l'entendement ; mais ce serait faire, dans le champ de la philosophie pure, une excursion incompatible avec le but essentiel de cet ouvrage.