Les différences infiniment petites dx, dy, <Py, dhj

se nomment plus brièvement des différentielles. Les

rapports

dy d*y d'y

dx' dx*' dx*'

dont nous avons fait voir l'identité avec les fonctions dérivées y'9 y% t/'V-. quand la différentielle dx est constante, et avec les fluxions y, y, y,.... quand la fluente x varie ou s'écoule uniformément avec le temps, ont été nommés, par M. Lacroix, les coefficients différentiels de la fonction y, et l'on fait maintenant un usage fréquent de cette expression.

L'ordre dfun coefficient différentiel est celui de la différentielle et delà fonction dérivée correspondantes.

Différentier une fonction, c'est passer de cette fonction à sa différentielle : la branche de l'analyse qui a pour objet la différentiation des fonctions se nomme le Calcul différentiel.

On appelle équations différentielles celles qui ont lieu entre la variable indépendante, la fonction qui en dépend, et les dérivées ou les coefficients différentiels de cette fonction. L'ordre d'une équation différentielle est celui du coefficient différentiel de Tordre le plus élevé qui entre dans cette équation. Ainsi

f(t>, y> y') = 0, ou f(x, y, ^) = 0, est une équation différentielle du premier ordre ;

/f(^y,y',/) = o>ou/(a?,y,|,g) = of

est une équation différentielle du second ordre ; et ainsi de suite.

51. La différence finies — xa est la somme des incrémenteinfiniment petits que la variable indépendante a reçus successivement, en passant de la valeur x0 à la valeur x : de même la différence finie y — y0 est la somme des incréments infiniment petits ou des éléments différentiels dy =rx-dx,

par l'accession successive desquels la fonction a passé de la valeur y9 à la valeur y ; ces éléments peuvent d'ailleurs être de même signe que dx ou de signe contraire [30], selon que f x prend une valeur positive ou négative. On écrit en conséquence.

y — yo = / fx.dxy (3)

OU

fX—fXo=f fx.dx,

le signe /étant regardé comme l'abréviation du mot. somme ou summa; et Ton dit que

fx.dx

est l'intégrale de la différentielle fx. dx7 eitire les limites x0, x{1).

En d'autres termes, si l'on prend

X—Xo

la somme

fXo-*X + f{Xo + &X).*X + f (So-4- 2 àX).&X + . . . .

+ f[Xo(n+ 4)Aa;].Aa?

convergera vers la limite

fx — fXo

quand on prendra le nombre n de plus en plus grand, ou quand A# convergera vers zéro.

52. L'équation (3) montre qu'il ne suffit pas d'assigner la fonction fx pour déterminer complètement la fonction y dont fx est la dérivée, ou dont fxdx est la différentielle : il faut en outre assigner explicitement ou implicitement la valeur de la fonction y correspondant à une valeur déterminée de la variable indépendante, ce qui rentre tout à fait dans le principe déjà connu [31 et 39].

(') Leibnitz employait toujours le terme de somme, dont le signe/ est l'abréviation; celui d'intégrale a été proposé par les Bernoulli. Voy. Œuvres de Leibnitz, t. III, p. 326.

C'est un usage peu ancien que celui d'écrire en indices» au haut et au bas du signe /, les valeurs de la variable indépendante entre lesquelles la sommation ou l'intégration s'effectue : cette notation très commode a été proposée par Fourrier, et on Ta aussitôt généralement adoptée.

Il suit de là : 1° que, si l'on peut découvrir, par un moyen quelconque, une fonction fx qui jouisse de la propriété d'avoir pour dérivée fx, on aura, pour des valeurs quelconques des limites xoy x, la valeur de l'intégrale

fxdx = fx — fx9 \ 2° que

C désignant une constante arbitraire, est l'expression générale des fonctions qui ont pour dérivée f'x. En conséquence, on qualifie d'intégration indéfinie l'opération par laquelle on remonte de la dérivée f'x à l'expression générale des fonctions dont elle est la dérivée, ou de la différentielle fxdx à l'expression générale des fonctions dont elle est la différentielle, et l'on indique cette opération par le signe Jl sans désignation de limites. Ainsi l'on écrira

ffxdxzzfx + C,

J*fxdx =fx + const. *y

et Ton dira que l'expression

fx + const.

est Y intégrale indéfinie de la différentielle fxdx.

Par opposition, on appelle intégrales définies celles qui sont prises entre des limites indiquées, et que n'accompagne plus la constante arbitraire inhérente à l'intégrale indéfinie.

53. Le Calcul intégral, que l'on peut considérer comme l'inverse du calcul différentiel, a pour objet la détermination des intégrales, indéfinies et définies. On comprend à la fois, sous la dénomination de Calcul infinitésimal, le calcul différentiel et le calcul intégral.

Le calcul infinitésimal, en tant qu'il a pour objet de démon trer, à l'aide d'un langage et d'un algorithme partirai-

liera, les relations générales qui subsistent entre les fonctions et leurs dérivées des divers ordres, renferme -ce qu'il y a de plus important dans la théorie des fonctions, et se confond en quelque sorte avec cette théorie, dans l'état de la science ; mais il faut pourtant distinguer, au point de vue rationnel, le calcul qui n'est qu'un instrument, d'avec la théorie à laquelle on l'applique.

Il ne faut pas identifier non plus la méthode infinitésimale (méthode que l'on avait déjà appliquée avant Leibnitz et que Ton applique encore dans les parties élémentaires de la géométrie et de la statique) avec l'algorithme différentiel imaginé par Leibnitz, en vue des applications de la méthode infinitésimale à la théorie des fonctions.

L'usage apprendra que cet algorithme, malgré ses avantages généraux, n'est pas exempt de quelques imperfections inhérentes au mode d'écriture, et qui ne tiennent pas au fond de la méthode infinitésimale. Dans certains cas, l'algorithme de Lagrange est plus commode, et alors les analystes ne font aucune difficulté de l'employer, tout en se servant plus habituellement de la notation leibnitzienne.

54. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que la fonction n'éprouve point de solution de continuité, résultant de ce que cette fonction ou ses dérivées des divers ordres passent par l'infini, ou passent brusquement d'ime valeur finie à une autre. En effet, dire que la fonction y éprouve une solution de continuité du premier ordre, c'est dire que, pour une variation infiniment petite d#, la variation correspondante dy a une valeur finie ou infinie : infinie si y passe par l'infini, finie, si y passe brusquement d'une valeur finie à une autre ; et dans l'un et l'autre cas il n'ept plus permis da traiter dy comme un infiniment petit du même ordre que dx. Pareillement, si la fonction y éprouve

nne solution de continuité du second ordre, du' =f — ^ est

u dx une quantité finie ou infinie a, et la différentielle seconde (fy = adx n'est plus un infiniment petit du second ordre, négligeable vis-à-vis des infiniment petits du premier ordre, et ainsi de suite. Donc toutes les formules auxquelles on est parvenu en employant la différentielle dy et en la traitant comme un infiniment petit du premier ordre, cesseront en général d'être exactes, si la fonction y éprouve une solution de continuité du premier ordre ; toutes celles qui ont exigé Temploi de la différentielle seconde d?yf traitée comme un infiniment petit du second ordre, cesseront aussi en général d'être exactes, non-seulement lorsque y éprouvera, dans les limites de l'application des formules, une solution de continuité du premier ordre, mais lors même qu'elle ne subirait, entre les mêmes limites, qu'une solution de continuité du second ordre ; et ainsi à l'infini.

Toutes les fois que des valeurs infinies de dy correspondent à des valeurs infiniment petites de dx, le coefficient

différentiel -r- devient infini; mais la réciproque n'est pas

vraie généralement; ee qui revient à cette remarque déjà faite, et rendue évidente par la considération des courbes [35], que la dérivée y' peut passer par l'infini sans que la fonction y cesse d'être finie. En regardant d'ailleurs dy comme h, limite de la valeur de Ay tirée de l'équation

on conçoit que la limite du produit de deux facteurs, dont

l'un — converge vers l'infini, et l'autre A# converge vers

zéro, peut être l'infini, ou une quantité finie, ou même zéro. Dans les deux premiers cas

dy 3? fx d^

est une quantité infinie ou finie, et la fonction y éprouve une solution de continuité du premier ordre ; mais dans le troisième cas dy reste une quantité infiniment petite, et y n'éprouve qu'une solution de continuité du second ordre. De

même, si dy1 =-r- passe par l'infini, le coefficient différends tiel du second ordre —, devient à plus forte raison infini ;

mais l'inverse n'est pas généralement vrai, et ce coefficient différentiel ou la dérivée correspondante fx peut passer par

d*y l'infini, sans que dy' = -r- cesse d'être une quantité infiniment petite du premier ordre, et par conséquent sans que cTy cesse d'être une quantité infiniment petite du second ordre; auquel cas y ne subit qu'une solution de continuité du troisième ordre.

L'équation

dy = fxdx

et celle qui s'en déduit [51]

y—y*—l f*dx,

cessent d'offrir un sens quand la différence dy passe par l'infini, pour des valeurs de x comprises entre les limites de l'intégrale : ce qui suppose, d'après ce qu'on vient d'expliquer, non-seulement que fx devient infinie , mais encore que le produit fxdx conserve une valeur infinie. Cependant, si fx désigne une fonction dont la dérivée soit fx, de manière qu'on ait l'intégrale indéfinie

ffxdx = fx+C, on en conclura

y— yf=/fc- fo, pour l'équation d'une courbe dont la courbe dérivée 'aurait pour ordonnée y' = fx, et qui serait en outre assujettie à passer par le point (#0,t/0), mais dont l'ordonnée y passerait

par l'infini 9 pour des valeurs de l'abscisse comprises entre x0 et x. L'expression fx — fx0 représenterait encore la différence des ordonnées y, y„, mais ne représenterait plus la somme des valeurs de la différentielle dy = fx dx, entre les valeurs x„ x de la variable indépendante. Nous reviendrons par la suite sur des exemples de ce cas exceptionnel, déjà présenté sous une autre forme [35], et qu'il suffit de rappeler! ci.

55. Parla même raison, nous nous contenterons d'indiquer rapidement la forme que prennent les théorèmes généraux sur les fonctions dérivées, démontrés dans le chapitre précédent, lorsqu'on y adapte la méthode et les notations du calcul infinitésimal,

1° Si Ton pose

y = w + t; + ttr+ etc.,

u, v, w, etc„ désignant des fonctions d'une même variable indépendante x, on a évidemment , en passant aux différentielles,

dy = du + dv-hdw + etc.

Ainsi la différentielle d'une somme de fonctions est la somme de leurs différentielles , le mot de somme devant être pris dans son acception algébrique. On en conclut

du du dv dw

dx dx dx dx équation qui est l'expression du théorème sur les fonctions dérivées, démontré directement au n° 39. On a inversement

ydx = I udx +J vdx +J wdx + ete.,

ce qu'on énonce en disant que l'intégrale définie d'une somme de fonctions est la somme de leurs intégrales définies, entre les mêmes limites.

Il est permis d'établir la même identité entre les intégrales indéfinies, et d'écrire

Jydx zzjudx +Jvdx +Jwdx + etc, (4)

Pour l'intelligence de cette dernière formule, admettons qu'on ait trouvé séparément

jydx = F* + G, judx = fx + c, fvdx = fxx + cl,Jwdx =

A + c„etc,

C, c, c1, c1, etc., désignant des constantes arbitraires : d'après la formule (4) il faudra qu'on puisse, par un choix convenable de la constante G, établir l'identité

Fx + C = fx + c + fxx + ct + fxx + c, + etc.,

quelles que soient les valeurs attribuées aux constantes c, c y c , etc.

2° La différentielle du produit de deux fonctions est la somme des produits qu'on obtient en multipliant chacune des fonctions par la différentielle de l'autre. En effet Ton a

d.uv = (w + du) (v+dv) — uv,

d'où, en développant, et en négligeant l'infîniment petit du

second ordre du dv vis-à-vis des infiniment petits du premier

ordre,

d . uv = vdu + udv. (5)

Si l'on passe aux coefficients différentiels, il viendra d.uv du dv dx dx dxy

ce qui est l'expression d'un autre théorème sur les fonctions dérivées, contenu dans l'équation (6) du n° cité. On met l'équation (5) sous la forme d.uv du dv

• uv U V '

et Ton en conclut facilement

d.iww du . dv dw

= —H — + — + etc. (6)

Si u est un nombre constant a, du devient nul , et l'on a simplement

d.av = adv.

Inversement on aurait

et

avdx = a / vdx,

javdx = ajvdx,

cette dernière équation étant interprétée comme la formule (4).

Soit

U = fX, V = $X9 UV = fX. fx as fx :

l'équation (5) prendra la forme

fxdx-zz $x. f'xdx H- tpx.yxdx, d'où

#c fx dx-zzfxdx — fx.f'x dx, (7) et en intégrant

yfx.pxdx = fx — fx. — / tx.y'xdx, ou bien

/ fX.VxdX =:fX.}X — fX*.$X. — / yjfX. f'xdx. (8)

De cette manière, l'intégration de la fonction yx.ty'xdx a été ramenée à l'intégration de la fonction ty'x dx (ce qui fait connaître la fonction 40 > et à celle de la fonction tyx.yx dx ; Tune et l'autre intégration pouvant, dans beaucoup de cas, s'opérer plus simplement que celle de la fonction proposée. Ce procédé, dont nous verrons que Ton fait le plus fréquent

usage dans le calcul intégral, est connu sous le nom d'intégration par parties.

Si l'on prend les intégrales des deux membres de l'équation (7), sans égard aux limites, il viendra

ou

7fX.yxdx = fx — jix.f'xdx, J^x.yxdx = fX^x —Jix.f'xdx. (%)

Il serait inutile d'ajouter une constante arbitraire à l'intégrale du terme f'x dx, parce qu'elle se confond avec la constante arbitraire qui accompagne nécessairement l'intégrale indéfinie tyx . y'xdx. Par ce moyen, chaque membre de Tidentité (9) est censé accompagné d'une constante arbitraire, de façon que Ton puisse toujours disposer de la valeur de l'une des constantes pour établir l'identité, quelle que soit la valeur numérique assignée arbitrairement à l'autre constante, comme nous l'avons expliqué au sujet de la formule (4).

3° Soit

r u» = r,ouv = — •; u

il viendra, par l'équation (5),

rf.wt? — vdu r udr — rdu

aw= , oud. — = . MO)

Dans le cas der=l , on a

, 4 du

rf.- = - — . (44) u u*

56. Nous avons, dans tout ce qui précède, traité y comme une fonction immédiate de la variable indépendante x : si* était elle-même une fonction de la variable *, et qu'on eût à la fois

y=fz,x = ii9

la différentielle dx cesserait d'être constante et serait donnée

par l'équation

dx = ?'t.dt, d'où Ton tirerait

dy = fx.f't.dt,

ou bien, en passant aux coefficients différentiels,

équation qui est l'expression de la règle pour la dérivation des fonctions médiates, déjà établies [40]. Il n'y a aucune difficulté à la généraliser, en supposant un nombre quelconque de variables intermédiaires entre y et t. 57. Si l'on différentie les deux membres de l'équation

¥ dx9 en cessant de considérer la variable x comme indépendante, et par suite sa variation comme uniforme, ou dx comme une quantité constante, on aura, en vertu de la formule (1 0) où l'on fera r = dy> u = dx,

, , d*ydx—dyd*x

rfy= 1P '

et par suite

dy' d*ydx — dyd*x

y —Tx— d? • (l2) Quand # et y seront donnés en fonction de la variable indépendante t par des équations de la forme

on en tirera

dxzz f'tdtydy = ytdt,

d*x =f'tdi*9d*y=:ptdi*.

Après qu'on aura substitué ces valeurs dans la formule (1 2),

di s'en ira comme commun aux deux termes du rapport ,

et Ton retombera sur l'équation [d) du n° 41 .

On trouverait, au moyen de calculs semblables, les formules par lesquelles les dérivées supérieures y'% y", etc., s'expriment en fonction des différentielles

dy, d*y, d*y, dky ; dx, d*x, d*x9 dkx ,

quand on cesse de regarder la différentielle dx comme constante : mais, pour effectuer commodément ces calculs , il convient de s'être familiarisé avec l'application des règles du calcul différentiel aux fonctions algébriques, application qui doit faire l'objet du chapitre suivant.

Pour revenir au cas où la variable x est traitée comme indépendante, on fera dans l'équation (1 2) cPx = 0, et l'on retombera sur la formule

dx*9

comme cela doit être. Si l'on veut, au contraire prendre y pour variable indépendante, on posera d?y = 0, et il viendra

y dy*'\dx)'

dy* formule identique avec l'équation (e) du n° cité plus haut.