MAXIMA ET M1N1MA
de fx. C?est le cas où la courbe dont fx est l'ordonnée a un point de rebroussement répondant à l'ordonnée minimum (/îgr-31).
Au contraire, si l'on posait
d'où
fx = ^(x — 4)~?,
la valeur x=i rendrait encore f x infinie et fx nulle ; mais f x ne changerait plus de signe en passant par l'infini, tandis que fx passerait du négatif au positif, et consëquemment n'atteindrait ni maximum m minimum. En pareilles circonstances, la courbe subit, une inflexion, et la tangente au point d'inflexion est perpendiculaire aux abscisses (fig. 32).
Dans le cas où la racine de f ar=0 rend infinie f"x, ce qui correspond à une solution de continuité du troisième ordre pour la fonction fx , il faut encore examiner directement si f x passe du positif au négatif, ou du négatif au positif, ou bien, enfin, si elle s'évanouit sans changer de signe ; car dans 1$ première supposition il y a maximum, dans la seconde, minimum , et dans la troisième on n'a ni maximum ni minimum.
Ces trois suppositions se réalisent respectivement pour les fonctions
fx= - (x -1)*, /* = {* — K)\,fx = (x — \)\.
Enfin , le cas où toutes les dérivées d'une fonction s'évanouissent simultanément [89] est évidemment un de ceux qui échappent à la règle générale des maxima et minima.
Les maxima et minima singuliers, dont il est question dans ce n°, ne vérifient plus le principe de Kepler [6], et leur théorie est de peu d'importance dans les applications aux questions physiques : aussi ne nous y arrêterons-nous
pas davantage. Au contraire , l'importance de la théorie des maxima et minima ordinaires nous engage h Téclaircir encore par la discussion des trois problèmes suivants, qui se rattachent à des questions de physique ou de géométrie appliquée.
94. iw problème. Un disque m, posé sur une table horizontale ÂB (fig. 33), est éclairé par une lampe F, dont le pied B est fixé à une distance invariable du disque m , mais que Ton peut hausser ou baisser suivant la verticale BF. On demande à quelle hauteur on doit la fixer pour que le disque m reçoive la plus grande clarté possible. On regarde comme des quantités très petites et négligeables les dimensions du disque et du foyer lumineux par rapport à la distance qui les sépare , et l'on sait d'ailleurs , par la théorie et par l'expérience , que l'intensité de la lumière projetée par un point lumineux sur un élément de surface, est en raison directe du sinus de l'angle que les rayons lumuieux font avec la surface, et en raison inverse du carré de la distance de l'élément éclairé au point lumineux.
Soient a la distance invariable iwB du centre du disque au pied de la verticale menée par le point lumineux F, x l'angle variable B m F.
cos a?
la distance m F, fx l'intensité de la lumière projetée sur le disque, A l'intensité de la lumière qu'il recevrait , sous l'incidence perpendiculaire des rayons , et à une distance du foyer égale à l'unité linéaire : on aura
Asina? A .
fx = — — - = -- .sin x cos* x.
L'équation f x=0 déviée , dans ce cas ,
cos* x — 2 cos x sinf x = 0,
IfAXIlfA ET MIN1MA 1 5Q
et se décompose en
cos * = 0, tang«=±— =. On a ensuite
f"x~ -j ,(9sinfa?— 7)sin0.
La solution cos x=0 donne
/fc = 0, sin x = ± l,f"x = ±— .
Les valeurs négatives de x ou de sin x donneraient pour fx des valeurs négatives, et sont étrangères à la question telle qu'on Ta posée, bien qu'on puisse admettre par convention que les valeurs fx seront considérées comme positives ou comme négatives, selon que le disque sera éclairé par sa surface supérieure ou par sa surface inférieure. En écartant donc les solutions négatives, on voit que la solution cos * = 0 correspond à un minimum. Effectivement, il est manifeste que, si Ton élève indéfiniment le foyer lumineux, l'intensité de la lumière projetée sur le disque s'affaiblit indéfiniment : conséquemment il ne s'agit ici que d'un minimum mathématique, impossible à réaliser physiquement.
La solution
la seule qui nous intéresse , donne
et correspond.au maximum cherché.
95. 2* problème. Trouver le point le moins échauffé sur la droite qui joint deux foyers de chaleur, sachant que Fin* tensité de la chaleur rayonnante varie en raison inverse du carré de la distance au foyer calorifique.
160 LIVRE Iï. — CHAPITRE ni.
Supposons que les pouvoirs échauffants des foyers À, B, à l'unité de distance , soient entre eux comme les nombres o? et |35 ; désignons par a la distance des foyers A , B, et par x celle de la particule échauifée au foyer A : l'intensité de la chaleur rayonnante reçue par cette particule aura pour
mesure
«• fi*
fx — -- I p
1 x* ^(a — xf
expression qu'il faudra rendre un maximum, en posant
fX*= --4-7 ^"7 = 0.
D'abord les valeurs x= ±<x> satisfont à cette équation en
faisant évanouir fx; la solution que l'on cherche s'obtient
quand on fait
j3J X1 = a* (fl— x)*,oux = -:
et comme la dérivée f x a pour valeur
U4 (a — xyy
expression qui reste constamment positive, il en résulte que la solution correspond bien à un minimum.
Enfin , les valeurs x=0 et x=za, qui rendent fx infinie, faisant subir à fx la même solution de continuité, ne correspondent pas à des maxitna, dans le sens ordinaire du terme. D'ailleurs, ces valeurs infinies de fx sont inadmissibles physiquement , par des raisons analogues à celles qui ont déjà été indiquées [4].
96. 3* problème. Quand on veut mesurer la hauteur h d'une ligne verticale A B {fig. 32), on mesure, à partir du pied de la verticale , une distance horizontale BC=fr; on observe l'angle BC A=a?, et l'on a
A=£tang0. (2) Cela posé , il s'agit de choisir la base arbitraire i, de manière
MAXIMA ET MINIMÀ. 161
à former le triangle le plus avantageux , c'est-à-dire , celui qui est tel qu'à une même erreur sur l'angle x correspond Terreur minimum sur la hauteur cherchée h.
Si, au lieu d'observer exactement l'angle x> on observe un angle x-{-Ax qui en diffère peu , la valeur qu'on en conclura pour la hauteur cherchée pourra s'exprimer par h-\-Ah, et l'on aura sensiblement
d.(bismgx)A b
A n =Z ; AX — r — . A#.
dx 4 cos* x
Donc , pour que le rapport de l'erreur A h sur la valeur calculée , à Terreur d'observation Aar, soit un minimum , il faut que la vraie valeur de Tangle x et celle de la base b qui en dépend, rendent un minimum le facteur
b cos1^' c'est-à-dire (substitution faite pour b de sa valeur donnée par l'équation (2) en fonction de x et de la constante h), le
facteur
tgacos'a?* Le problème revient par conséquent à rendre un maximum
la fonction
fx-=z tang x cos* x = smx cos x. Or, on a
f *=cos'0<— frin10,/ir0= — isinarcosar.
Donc le maximum cherché correspond à
sm« = cosaî = — -,b=zh.
C'est la règle pratique que Ton découvre, pour ainsi dire, instinctivement, mais dont le calcul seul peut donner une démonstration rigoureuse.
La solution . __ 1
résoudrait aussi le problème analytiquement , mais ne présenterait aucun sens , d'après les conditions géométriques de la question.
