On trouve de la même manière que la valeur de la

fonction

converge vers zéro, et que celle de la fonction

converge vers l'infini quand on prend pour x une quantité positive de plus en plus petite. Conséquemment la valeur de la fonction

qui se présente sous la forme j[, quand on y fait #=0, est zéro ou l'infini, selon qu'on y considère zéro comme la limite des x positifs ou comme celle des x négatifs. Ceci tient à une solution de continuité de la fonction y, du genre de celles qui ont été signalées dans des fonctions analogues [ift et 87].

$ t. Maxima et minima des fonctions explicite» d'une seule variable.

91. Représentons-nous la succession des valeurs que prend la fonction y=fx, lorsqu'on donne à x toutes les valeurs possibles, sans que y cesse de conserver une valeur réelle et finie. Si les valeurs de y, après avoir été croissantes , deviennent décroissantes, y aura passé dans l'intervalle par une valeur plus grande que celles qui la précèdent et que celles qui la suivent immédiatement ; cette valeur se nomme un maximum. Au contraire, si les valeurs de y, après avoir diminué progressivement, viennent ensuite à augmenter progressivement, la valeur intermédiaire , plus petite que celles qui la précèdent et que celles qui la suivent immédiatement, se nomme un minimum. On voit qu'il est possible qu'une fonction n'ait ni maximum, ni minimum, ou qu'elle ait plusieurs maxima et minima, de manière qu'un minimum tombe toujours entre deux maxima, et un maximum entre deux minima consécutifs. La question con-

MAXDIJI ET MINIMA. 153

siste à déterminer les valeurs de la variable indépendante, s'il en existe, auxquelles correspondent des maxima ou des minima de la fonction.

Admettons d'abord, pour plus de clarté, que ni la fonction fx ni ses dérivées n'éprouvent de solution de continuité en même temps que l'une de ees fonctions atteint une valeur maximum ou minimum : il est évident, dans cette hypothèse, que la différentielle

dy—fx.dx

change de signe, en devenant nulle, au moment du maximum ou du minimum de fx; qu'elle passe du positif au négatif dans le cas du maximum, et du négatif au positif dans le cas du minimum. Donc, la condition commune au maximum et au minimum de fx est exprimée par l'équation

et il faut en outre pour le maximum que fx passe du positif au négatif, c'est-à-dire, soit une fonction décroissante quand x croit, et par conséquent que l'on ait

Par une raison semblable , il faut , dans le cas du minimum, que la valeur de x tirée de l'équation (1) vérifie

l'inégalité

Mais si f x s'évanouit , pour la même valeur de x qui fait évanouir fx, la valeur de fx qui est zéro, correspond à un maximum ou à un minimum de cette dernière fonction. Dans le premier cas, fx est négative en deçà et au delà de la valeur x, et fx est constamment décroissante pour des valeurs croissantes de x; dans le second cas, fx est positive en deçà et au delà de la valeur x , eifx est constamment croissante avec x: donc l'équation fx=b

154 LIVRE n. — CHAPITRE III.

n'éntralhe ni maximum ni minimum de fx, si elle est accompagnée de l'équation f* #=0.

Or, par la même raison, l'équation f"x=0 n'entraînera ni maximum ni minimum de f'x, si l'on a f"x=0, et si f"x passe elle-même par un maximum ou un minimum. Quand f"x passe par un maximum, f'x étant décroissante pour des valeurs croissantes de x, passe conséquemment du positif au négatif en s'annulant, et fx passe par un maximum. On verrait de même que le minimum de f x entraîne dans ce cas le minimum de fx.

Donc, pour le cas où Ton a simultanément

fx ne passe par un maximum ou un minimum qu'autant que fx passe elle-même par un maximum ou un minimum^ c'est-à-dire, qu'autant que l'on a

r'x=**,f»œ<Q, ou bien

Dans ce cas, l'analogie conduit à dire que fx passe par un maximum ou un minimum du second ordre.

En généralisant ce raisonnement, on en conclut qu'il ne peut y avoir maximum ou minimum de la fonction fx, pour une valeur donnée de x, qu'autant que le premier coefficient différentiel de la fonction, que cette valeur n'annule pas, est d'ordre pair. Il y a maximum ou minimum suivant que le coefficient prend une valeur négative ou positive.

Tous ces résultats prennent une forme sensible lorsqu'on représente graphiquement la fonction par l'ordonnée d'une courbe. L'équation fx=0 exprime que la tangente est parallèle à Taxe des abscisses : les inégalités f x<0 ou fx>0 expriment que la courbe tourne sa concavité ou sa convexité vers l'axe des x, dans le cas d'une ordonnée positive ; sa

MAXIMA ET MINIMÀ. 155

convexité ou sa concavité vers le même axe , dans le cas d'une ordonnée négative. Enfin, si l'on àf'a^O, sans que f'x s'évanouisse, la courbe subit une inflexion [30], en sorte que le parallélisme de la tangente à l'axe des x n'empêche pas l'ordonnée de croître ou de décroître, de part et d'autre du point de contact.

92. D'après ce qui précède, toutes les fois que la fonction fx aura un coefficient différentiel f x, exprimé algébriquement, on obtiendra les valeurs de # qui correspondent à des valeurs maxima ou minima de la fonction, en résolvant par rapport à x l'équation fx=Q. On distinguera ensuite le maximum du minimum , en substituant pour x les racines de cette équation dans la fonction ff'x, puis dans f'"x> si f'x s'évanouit aussi , et ainsi de suite.

Mais il faut observer que souvent , par la nature de la question , on sait à priori qu'une fonction ne comporte pas de maximum y ou qu'elle ne comporte pas de minimum : alors on est dispensé d'une discussion de signes , et il suffit de résoudre l'équation />x=0; en supposant toutefois que l'on sache aussi que les racines de cette équation n'annulent pas les dérivées subséquentes.

Appliquons la règle générale à la fonction prise pourexemple dans le n° 5,

w% — *lx -+• 6

fx= *-** :

on aura

L'équation à résoudre est

x* — 20a?-t-64 = 0> dont lés racines sont x«= 1 6 et x=i . On trouve ensuite

fnx — ,

156 LIVRE H. — CHAPITRE Ut.

valeur qui devient positive pour #=»16, négative pour x=i : ainsi la racine 16 correspond à un minimum , et la racine 4 à un maximum.

Si Ton donne

fx =z e* + 2 cos x -H e", on trouvera :

fx = e — 2 sin x — *~*, /"a; = e* — 2 cos x -*- e-*, /**# = e9 -f- 2 sin a? — e~9, f"x = c* -f- 2 cos a? -f- e~* = /ïr.

La valeur x—O, qui fait évanouir /*' x, f" x, fmx, donne à flvx la valeur positive 4 : la valeur correspondante de fx, qui est aussi 4, constitue donc une valeur minimum de cette fonction.

93. Maintenant il peut se faire que f"x change de signe en passant par l'infini , et que néanmoins fx n'éprouve qu'une solution de continuité du second ordre, en sorte que

la différentielle

dy = f xdx

reste infiniment petite [35 et 54]. Dans ces circonstances y passe par un maximum ou par un minimum , selon que dy passe du positif au négatif, ou du négatif au positif ; mais il faut s'en assurer directement par la discussion de la fonction fx, attendu que toutes les dérivées f" #, f19 x, etc., prennent, en même temps que ff x, des valeurs infinies. Si , par exemple, on avait

fx=:(X-<)*,

doù

la valeur x=l rendrait f x infinie et fx nulle. Il est d'ailleurs évident que f x sera négative ou positive pour des valeurs de x < ou > t, tandis que fx restera constamment positive : ainsi la valeur x=i correspond à un minimum