FORMULES DE TAYLOR ET DE MACLAURIN
$ k". Formule de Taylor.
98. La génération des dérivées des divers ordres conduit au développement des fonctions en séries ordonnées par rapport aux puissances entières et ascendantes de la variable. Cette théorie importante, qu'il convient d'envisager sous plusieurs aspects, sera l'objet de ce chapitre.
Représentons , comme au chapitre IV du premier livre, par
« y, y±> y%> y.,---y-, les valeurs d'une fonction fx qui correspondent aux valeurs
xy xtùx, x +2A<r, x + 3ia?,. ..x+n\x de la variable indépendante : on aura [43]
ym=znx+nix)=y+^y^ ±-^-\*y+ < ^ A'y+^+A'y.
On peut mettre cette équation sous la forme n±x àfx , n*sx% /. \\ d%fx
ce qui donne, quand on fait nbx=h ,
Concevons maintenant que Ton diminue indéfiniment l'intervalle A&, en augmentant indéfiniment le nombre n, de manière que le produit nbx reste égal à la quantité constante h : le nombre de termes dont se compose le second membre de l'équation précédente ira en croissant indéfiniment, et les rapports
tfx b*fx a8/x
aa? ' AÎr* ' loi*' convergeront vers les limites
dfx d\fx d*fx
lïx'lhP'~d&'
ou
De plus, les fractions
(<4(<-s), o":ôo-iJo-à o-^.)
(i étant un nombre positif quelconque <n , qui reste constant tandis que n augmente) convergeront toutes vers l'unité. Donc, quelque grand que soit le nombre i, et quelle que soit la valeur assignée à l'accroissement fc, on pourra prendre n assez grand pour que la somme des t-f-1 premiers termes du second membre de l'équation (a), diffère d'aussi peu qu'on voudra de la somme
/W^/^^+ÎTÏ^ +ûL^ '"
Nous admettons que toutes les fonctions fx, f'x, f"xy..
^x conservent des valeurs finies, sans quoi le raisonnement qui précède tomberait en défaut.
Ceci ne nous autorise point encore à regarder la fonction f (x+h) comme étant la somme de la série (b) prolongée à l'infini [24]. Car, si Ton considère dans la suite (a) d'où nous sommes partis, et qui est la valeur exacte de f (#+&)> le terme de rang v-f- 1> v étant un nombre compris entre i et n, mais beaucoup plus grand que i et comparable à », ce terme ne se réduira plus sensiblement à
