JS.o. . . .v

parce que le facteur

ne se réduira plus sensiblement à l'unité , et au contraire se réduira sensiblement à zéro , pour des valeurs de v très voisines de n.

Mais du moins il sera toujours permis de poser

R, étant une fonction inconnue de x et de h ; et si nous fixons les conditions pour que la valeur de cette fonction tombe entre les limites susceptibles de se resserrer indéfiniment, pour des valeurs indéfiniment croissantes de l'indice t, nous aurons par cela même déterminé les conditions sous lesquelles la fonction f[xr\-h) peut être considérée comme la somme de la série (b), prolongée à l'infini.

99. A cet effet, nous remarquerons d'abord que, si une fonction yh est nulle pour ft=0, et si la dérivée <f'h conserve le même signe entre les limites 0 et h, sans passer par l'infini, la fonction <? sera de même signe que <f'h ; car on peut la considérer comme la somme d'éléments infiniment petits,

tous de même signe que y'h. On suppose que la variable h est indépendante et que la limite h est positive : les résultats seraient inverses s'il s'agissait d'une limite négative.

Cela posé , donnons , ce qui est permis , à la fonction inconnue R, la forme

J.2.3....(»+4)'*(*'A)' vp étant une autre fonction inconnue : on déterminera évidemment des limites inférieure et supérieure de R,, si l'on assigne des nombres P, Q tels que l'on ait, pour toutes les valeurs de h allant de zéro à h,

fvx j " p (>oJ

A«+»HJ^ + *r*+^+ï^ir*+.

:f'H<flo ,,^Q <0,

Soient <pt/i, <ptft les premiers membres de ces inégalités :

les fonctions <p,, <pt s'évanouissent quand on y fait fc=0 ;

donc les inégalités seront satisfaites , d'après la remarque

précédente, si l'on a pour toutes les valeurs de h, de zéro à k

OU

Mais <f\h, <f\h sont aussi des fonctions de h qui s'évanouissent pour ft=0 : donc les inégalités (c'), et par suite les inégalités (c), seront satisfaites si Ton a

?lA = "d)F>0,?t*-'^F"<0'

ou