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on lève l'indétermination en suivant les procédés indiqués au chapitre III du livre précédent ; mais si c'est une fonction z de deux variables indépendantes x, y, qui se présente sous l'une dé ces formes indéterminées pour une couple de valeurs des variables x et y, on ne peut trouver, par la méthode citée, la valeur numérique de la fonction, qu'après avoir établi arbitrairement une liaison entre les deux variables indépendantes ; et la valeur numérique qu'on obtient pourz varie en général avec la liaison établie entre y et x. On ne peut donc pas lever absolument l'indétermination delà fonction z, tant que x et y restent indépendantes, mais seulement, en général, assigner des limites entre lesquelles la valeur de z doit rester comprise.

Soit.

ftov)

et x0, y0 les valeurs de x, y qui annulent simultanément les

238 LIVRE III. — CHAPITRE m.

fonctions fet F. Désignons parp0, q0, r0, etc., les valeurs que prennent les dérivées partielles p, g, r, etc., de la fonction f[l 24], quand on y fait x=xQ, y=y0 ; appelons P0, Q0, R0, etc. , les quantités analogues pour la fonction F ; désignons enfin par j/'0la valeur que prend (pour le même système de valeurs

de x et de y) le rapport t/' = JL résultant de la liaison que

Ton conçoit établie arbitrairement entre y et x : la valeur de z sera

et sous cette forme générale elle restera indéterminée, à

cause de l'indétermination qui affecte le coefficient y\.

Mais si Ton avait

le coefficient y'., et par suite l'indétermination de *„ disparaîtraient.

Enfin, si Ton avait simultanément po=0, Po=0, go=0, Q„=0, il faudrait prendre les dérivées du second ordre des fonctions f, F, qui sont, en général,

r + isy' + ty,% + qy*, R + 2Sy/ + Ty'* + Qy",

et qui se réduiraient pour x=x„ y=y0, à

d'où

#R#+2syt+Tyv {)

valeur qui est généralement indéterminée, par suite de l'indétermination du coefficient y '0.

Si Ton avait encore

rt = 0, *• = 0, U = 0; R,= 0, S,= 0, T0 = O,

il faudrait passer aux dérivées du troisième ordre, et ainsi de suite. Rien n'est plus simple que de généraliser cette analyse pour un nombre quelconque de variables indépendantes.

1* exemple.

log#+logy *=<^-£Î *• = <>*>=<:

il vient

/>. = *, ?.= *,Po=*,Qo = «>

doù

* <+8yV x, est susceptible de prendre toutes les valeurs entre — » et +•• 2* exemple.

(x'—ifi-y + i on a

ce qui donne à «, la valeur déterminée — \. 3* exemple.

les dérivées du premier ordre s' évanouissant, on est obligé de passer aux dérivées du second ordre, et il vient

r,= î,«, = 2,<#=«;R, = 2,S.= 0,T,= 2, d'où

La valeur de zo7 quoique indéterminée, est renfermée entre les limites 0 et +2, comme on le trouverait en appliquant à cette fonction de y'0 la règle ordinaire des maxima et minima.