La méthode que Ton vient d'exposer peut tomber

240 LIVRE m. — CHAPITRE m.

en défaut, quand les quantités p0, q0, P0, Q0, etc., sont infinies, ou se présentent elles-mêmes sous des formes indéterminées ; et alors il faut recourir à des artifices particuliers de calcul. Considérons, par exemple, la fonction

z = yVxm + y% dont les dérivées partielles du premier et du second ordre sont

{x* + y*)l' ~(x*+y*)f (*■ +*■)*' Le système de valeurs x0=0, yo=0 annule la fonction z et donne à ses dérivées partielles la forme ~ : de plus, il est facile de s'assurer que la méthode précédente ne serait pas propre à déterminer les véritables valeurs des quantités Pi ?> r> 5, t; mais, si Ton considère un système de valeurs très voisines, pour lequel

X=zx0 + A#0=: Arr#,

y = yo + ty0 = *y9, et si l'on pose Ay0=aAx0, il viendra

a* 4 3a' + 3ft

r° ~ 0 + «■»' S° " 0 + «*)*' '° ~ (i + «')i' On peut faire maintenant converger Ax0 vers la limite zéro, et à cette limite a se changeant eny'0, on aura pQ=0, q0 = Q,

?0 " (< + y*'x)iJ ° (« + *.'•)!' ° (* + *'■)! "

Les valeurs de r0, s0, t0 restent indéterminées; mais elles demeurent pourtant comprises entre de certaines limites qui sont, pour :

rof — 4 et + 1, répondant à y\ « — oo, y\ « + oo ;

*•< Oet+1 y'0-±oo,y'0 = o;

«h — 2et+2, »'• = —», y'. = + oo#

J S. Résolution des cas d'indétermination pour les fonctions implicites.