Considérons une équation différentielle

t{x,y,tf) = 0, (O

et supposons-la d'abord mise sous la forme

désignons par x0 , y0 les valeurs de x, y qui annulent à la fois les fonctions f, F, et par y'0 la valeur correspondante de y1 : en vertu de la formule (a), la valeur de y\ sera donnée par l'équation du second degré

Si les quantités p0, q0, P0, Q0 étaient nulles , la valeur de y'0, d'après la formule (fr), serait racine de l'équation du troisième degré

y° RQ+*S0y'0 + T0yV ou

Toy'»0 + (8Sê - *0)y'% + (R0 - ts.)y\ -r0 = 0;

et ainsi de suite.

Il peut se faire néanmoins que la valeur de y'0 soit effectivement indéterminée : comme cela arriverait, par exemple, si l'équation

Qy'1+(P-?)y'-p=0 était satisfaite par toutes les valeurs de y, indépendamment des valeurs attribuées à x et à y. Alors l'équation

Ty« + (8B — oîT-kr— 2*) y'— r=o, et toutes celles qu'on pourrait obtenir par des différentiations subséquentes, jusqu'à l'infini, seraient aussi satisfaites identiquement. On reconnaît ainsi que la valeur de y' donnée par l'équation

est réellement indéterminée pour le système de valeurs av=0,t/o=0.

En général, lorsque les valeurs particulières a>0, y0 satisferont à l'équation (e), indépendamment de y', la dérivée de cette équation

rff , dî , . d{ ,r A

Tx + Tyy'+Ty>^ se réduira pour les mêmes valeurs à

l'expression (ji) , qui représente la valeur de -r-7, pour

y/=0, devant s'évanouir d'après le raisonnement qu'on a fait plus haut [141). Les fonctions (dt\ /rff>

fe) •' fe)

doivent généralement renfermer les trois quantités xo7 t/0, t/'0 ; ce qui empêchera que l'équation (c 0) ne soit linéaire par rapport à l'inconnue y'0.

Admettons que l'équation (c') soit algébrique par rapport à y', ou qu'elle ait la forme

U toy) + fi i*>y) y' + i* (*#)• y'* + etc= o :

l'équation (c"0) deviendra

et conséquemment elle sera, en général, par rapport à tf,9 d'un degré supérieur d'une unité au degré de l'équation [c) par rapport à t/\

5 3. Mcurima eiminima des fonctions explicites de plusieurs variables.